2021年湖北省襄陽(yáng)四中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）附答案解析

2021年湖北省襄陽(yáng)四中高考數(shù)學(xué)模擬試卷(一)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

x

1.已知集合/={y\y=log2(x+1),%>0],B={y\y=(|),x>1],則ZUB=()

1

A.{y\y>-}B.{y\y>0]c.{y|o<y<|}D.{y|0<y<-}

2.復(fù)數(shù)(l+i)2等于()

A.2B.-2C.2iD.—2i

3.己知國(guó)，回，則S的值為()

A.0B.□c.0D.0

4.己知點(diǎn)a在拋物線y2=4x±,且點(diǎn)4到直線X-y-l=0的距離為魚，則點(diǎn)4的個(gè)數(shù)為(

A.1B.2C.3D.4

5.已知幕函數(shù)y=/(%)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,四)，則/(9)=()

A.3B.|C.9D4

6.已知｛廝｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，Sn是它的前幾項(xiàng)和，若C13與as的等比中項(xiàng)是2,且614與2a7的等差中項(xiàng)

為:,則55=()

A.35B.33C.31D.29

7.拋擲一枚均勻的骰子(骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn))一次，觀察擲出向上的

點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件4為擲出向上為偶數(shù)點(diǎn)，事件B為擲出向上為3點(diǎn)，則.耀兩用|=()

8.若％6(0,1),。=等，。=喈2c=(等丁，則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.在下列向量組中，不能把向量8=(3,2)表示出來(lái)的是()

A.宙=(0,0),e；=(1,2)B.瓦>=(-1,2),互=(5,-2)

C.瓦=(3,5),弒=(6,10)D.e7=(2,—3),&=(-2,3)

10.下列結(jié)論正確的是()

A.如果一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，則這條直線平行這個(gè)平面

B.如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直

C.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線a,b分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線a',b',那么

這兩個(gè)平面互相平行

D.如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直

11.某位同學(xué)連續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的骰子10次，向上的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,

則這10個(gè)數(shù)（）

A.眾數(shù)為2和3B.標(biāo)準(zhǔn)差為:

C.平均數(shù)為3D.第85百分位數(shù)為4.5

12.下列命題中是真命題的是（）

A.存在一個(gè)實(shí)數(shù)支，使—2/+%—4=0

B.所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)

C.在同一平面中，同位角相等且不重合的兩條直線都平行

D.至少存在一個(gè)正整數(shù)，能被5和7整除

E.菱形是正方形

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知函數(shù)/（x）=/+：：；7+a,aeR,若對(duì)于任意的％eN*,/（x）>4恒成立，貝Ua的取值范圍是

14.已知函數(shù)丫=在05（k0在區(qū)間CW）單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.

15.湖面上漂著一球，湖結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個(gè)直徑為24,深為8的空穴，則該球的表

面積為.

16.以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線C的一條漸近線傾斜角為壬則雙曲線C的

離心率為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.已知△力BC,中a,b,c分別是力，B,C的對(duì)邊，關(guān)于久的方程/cosC+4起山C+6<0的解集

為空集.

（1）求角C的最大值；

（2）若c=gS=越，求當(dāng)C最大時(shí)a+6的值.

22

18.已知如圖甲，在矩形44/聲中，AB>^AAr,C,Q分別在4B,上，^.AC=

現(xiàn)將四邊形a&GC沿CG折起,使平面44GC，平面B/GC得到幾何體乙，設(shè)分別為

Be1的中點(diǎn).

(1)求證：?！?/平面4BC；

(2)求證：BD1DQ.

(乙)

19.一袋子中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3的小球各2個(gè)，共6個(gè)球，現(xiàn)從袋子中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被

取出的可能性都相等，用f表示取出的3個(gè)小球的數(shù)字之和.

求：(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；

(2)求隨機(jī)變量f的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(f)(其中E(f)=X1P1+x2p2+…+XnPn).

20.數(shù)列｛5｝,｛4｝滿足：a1=2,2an+1=an+n,bn=an-n+2(nEN*)

(1)求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛a",｛,｝的前n項(xiàng)和分別為人心B”，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)人使得｛包詈｝為等差數(shù)列？若存

在，求出2的值；若不存在，說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù)/(%)=e~x+ax(aGR).

(1)討論/(%)的最值；

(2)若a=0,求證：/(%)>--X2+

22.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其離心率6=立，短軸長(zhǎng)為4.

3

(I)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(H)已知點(diǎn)Q(l,l),直線I：y=x+zn(?neR)和橢圓C相交于4、B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m,使A4BQ

的面積S最大？若存在，求出血的值；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：集合4=（y\y-log2（x+l）,x>0]={y\y>0],

B={y\y=（q）x,x>1}={y|0<y<1},

則力UB={y\y>0}.

故選:B.

求值域得集合4、B,根據(jù)并集的定義寫出4UB.

本題考查了求函數(shù)的值域與集合的運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

2.答案：C

解析：解：（l+i）2=1+2?+產(chǎn)=23

故選：C.

直接展開(kāi)兩數(shù)和的平方公式求解.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

3.解析：試題分析：由國(guó)，所以回，又因?yàn)閲?guó)，故叵I,叵I,解得回，0.

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)關(guān)系，三角恒等變化.

4.答案：C

解析：解：設(shè)4（3）,

???點(diǎn)4到直線x-y-l=0的距離為迎，

\x-y--2,

當(dāng)x—y—1=2,即?—y—3=0,方程有兩解；

x—y—1=—2,即彳一y+l=0,方程有一解，

.??滿足條件的點(diǎn)4有3個(gè).

故選：C.

根據(jù)點(diǎn)4到直線x-y-l=0的距離為迎，列出方程，解方程可得結(jié)論.

本題考查拋物線方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：A

解析：解：設(shè)/'（X）=xa,

_-1

則f(2)=2。=近,解得a=

貝好Q)=?,/(9)=強(qiáng)=3，

故選：A.

利用待定系數(shù)法求出〃久)的表達(dá)式即可.

本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算以及哥函數(shù)解析式的求解，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵.

6.答案：C

解析：解：C13與的等比中項(xiàng)是2,且口4與2a7的等差中項(xiàng)為：，

4

貝(Ja3a5=4,ci^,+2a7~

｛。九｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)公比為q,

436

可得Giq2.arq=4,arq+2a1q=j,

解得q=5，的=16,

則Ss=16°了)=31.

故選：C.

運(yùn)用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，｛/J為正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)公比為q,得

到首項(xiàng)和公比的方程，解方程可得首項(xiàng)和q,再由等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到所求值.

本題考查等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想

和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：B

解析：試題分析：事件四為擲出向上為偶數(shù)點(diǎn)，:假御:=白，事件點(diǎn)為擲出向上為3點(diǎn)，.??盛蜀:=2，

3倒

又事件■、蜃是互斥事件，事件：《題3置j：為事件■、點(diǎn)有一個(gè)發(fā)生的事件，理律.3卷!：=3,故選

3

B.

考點(diǎn)：互斥事件的概率.

8.答案：D

解析：解：令〃久)=*,xG(0,1),則「(X)=x-sy

令9(%)=x—sinxcosx,xe(0,1)，g'(x)=1—cos2x>0,

??.g(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，

g(%)>g(0)=0,則/'(%)>0,

???/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，

又當(dāng)％G(0,1)時(shí)，0</v%<1,故/(/)</(%),即b<a；

令h(%)=tanx—x,xE(0,1),h(%)=去短—1=tan2%>0,

???h(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，則九(%)>九(0),即tern%—%>0,則可^>1,

otCLTLX口口

???>即c>a；

綜上，b<a<c.

故選：D.

令/(%)=E(0,1),判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性,結(jié)合0VM<%v1,可比較a與b的大小;令九(%)=

tanx-x,XG(0,1),判斷函數(shù)拉。)的單調(diào)性，可知等>1,進(jìn)而判斷a與c的大小關(guān)系，綜合即可

得出答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查實(shí)數(shù)的大小比較,考查構(gòu)造函數(shù)思想以及運(yùn)算求解能力，

屬于中檔題.

9.答案：ACD

解析：對(duì)4零向量與任何向量都是共線向量，故瓦=(0,0),石=(1,2)不能做為一組基底，故A不

能；

對(duì)B,(-l)x(-2)^5x2,e7=(-1,2),石=(5,-2)不共線，故8能.

對(duì)C,???3x10=5x6,.,.前=(3,5),正=(6,10)不能做為一組基底，故C不能.

對(duì)D,2x3=(-2)x(-3),.?.瓦=(2-3),石=(一2,3)不能做為一組基底，故。不能.

故選：ACD.

10.答案：CD

解析：解：對(duì)于4如果一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，則這條直線平行這個(gè)平面或直線在平面內(nèi),

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直，故選項(xiàng)8

錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由面面平行的判定定理的推論可知，如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線a,b分別平行于另一

個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線a',b',那么這兩個(gè)平面互相平行，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,由面面垂直的判定定理可知，如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面

相互垂直，故選項(xiàng)。正確.

故選：CD.

根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，依次判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可.

本題考查了空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的理解與應(yīng)用，考查了邏輯推理

能力與空間想象力，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：AC

解析:解:「眾數(shù)為2和3,正確，

1+3X2+3X3+4+2X5

???平均數(shù)為=3,正確,

10

...標(biāo)準(zhǔn)差S=什3)2+(2-3)2+…+(5-3/=空史,.4錯(cuò)誤，

\105

???這組數(shù)按照從小到大排為1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,

X---10x85%=8.5,且8.5非整數(shù)，.?.第85百分位數(shù)為第九個(gè)數(shù)5,二。錯(cuò)誤.

故選：AC.

利用眾數(shù)的定義判斷4求出平均數(shù)判斷C,求出標(biāo)準(zhǔn)差判斷B,求出百分位數(shù)判斷D.

本題考查眾數(shù)，平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，百分位數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案：CD

解析：解：對(duì)于力，△=-31<0,.?.不存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使一2/+%-4=0,

對(duì)于B,2是素?cái)?shù)也是偶數(shù)不是奇數(shù)是奇數(shù)，故說(shuō)法錯(cuò)誤，

對(duì)于C,根據(jù)定義知，在同一平面中，同位角相等且不重合的兩條直線都平行，正確.

對(duì)于0,35的倍數(shù)都能被5和7整除，正確，

對(duì)于E,根據(jù)定義知正方形是菱形，菱形不一定是正方形，

故選：CD.

根據(jù)定義逐個(gè)判斷即可.

本題以命題的真假判斷為載體，考查了數(shù)學(xué)基本知識(shí)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：6,+8)

解析：解：?.?函數(shù)/(%)=今產(chǎn)，且/(久)24,對(duì)于任意的XCN*恒成立

即a>=—(x+-+D+8=_[(x+i)+2]+6

—x+1x+1LV'x+lJ

o_

令g(x)=-[(%+1)+力]+6,貝！|g(無(wú))W6-4"日，當(dāng)且僅當(dāng)x=2混一1時(shí)g(x)取最大值

又?：xeN*,

二當(dāng)久=2時(shí)，g(x)取最大值1

故a濘

即a的取值范圍是由+8)

故答案為：E，+8)

根據(jù)已知中函數(shù)f(乃=1：：+。,aeR,若對(duì)于任意的xeN*,f(x)>4恒成立，我們可將其轉(zhuǎn)化

—

為a>[(x+1)++6恒成立，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為a>g(x)max=一+1)+~^]+6,解不等式

可得a的取值范圍.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，其中將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，是轉(zhuǎn)化思想在解答此類問(wèn)題時(shí)

的亮點(diǎn)，應(yīng)引起大家的注意.

14.答案：[-6,-4]U(0,3]U[8,9]U{-12}

解析：

本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論思想，屬于中檔題.

對(duì)k的符號(hào)進(jìn)行討論，利用符合函數(shù)的單調(diào)性及余弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式組求出/(久)的減區(qū)間，令

區(qū)間為/(%)單調(diào)減區(qū)間的子集解出人的范圍.

解：當(dāng)k〉0時(shí)，令2爪兀WkxW兀+2爪兀，解得勺竺+mEZ,

kkk

???函數(shù)y=々COS(/C%)在區(qū)間單調(diào)遞減，

71〉2m7T

廠J，解得{的列A，mez,0<fc<3^8</c<9.

囚v三+2mn<3+6m

(3~kk

當(dāng)/c<0時(shí)，令一7T+27H7TW—々X<27H7T,解得?一%W—%匕TTlEZ,

kkk

???函數(shù)y=/ccos(kr)在區(qū)間《譚)單調(diào)遞減，

：>:—

「k2-,解得小J4r8m,mez,.-.-6<k<-4,或k=-12,

巴<zmnIk>—6m

I3~k

綜上,k的取值范圍是[一6,—4]U(0,3]U[8,9]U{-12}.

故答案為：[—6,—4]U(0,3]U[8,9]U[-12}.

15.答案：6767r

解析：解：設(shè)球的半徑為r,依題意可知122+8產(chǎn)=產(chǎn)，解得丁=知.

二.球的表面積為4兀產(chǎn)=6767T.

故答案為：6767r.

先設(shè)出球的半徑，進(jìn)而根據(jù)球的半徑，球面上的弦構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理建立等式，求

得r,最后根據(jù)球的表面積公式求得球的表面積.

本題主要考查了球面上的勾股定理和球的面積公式.屬基礎(chǔ)題.

16.答案：2或2

3

解析：解：???以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為以

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在久軸上時(shí)，-=tan^=V3,

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，J=tan^=V3,

當(dāng)2=百時(shí)，b=V3a,

a

c2=a2+3a2=4a2,c—2a,

此時(shí)e=-=2,

a

當(dāng)?=時(shí)，b=—a^c2=a2+b2=a2=^a2,c=—a,

b3333

此時(shí)e=￡=速，

a3

???雙曲線C的離心率2或辿，

3

故答案為：2或2，

3

由雙曲線的焦點(diǎn)位置，分類討論：^=tan==V3,或^=1211日=聲，根據(jù)=。2+爐即可求得即

a3D3

可求得a和c的關(guān)系，根據(jù)雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線C的離心率.

本題考查雙曲線的漸近線方程及雙曲線的離心率公式，考查分類討論思想，屬于中檔題.

17.答案：解：(1)?.?不等式/cosC+4xsinC+6<0的解集是空集，

cosC>0即,cosC>0

△<0'tl6sin2C—24cosC<

cosC>0

整理得:

cosC<-2或cosC>

解得：cosC>p

??.ce(0,60。］,

則角C的最大值為60。；

(2)當(dāng)C=60。時(shí)，S*BC=-absinC=-

22

???ab=6,

由余弦定理得=a2+b2-2abcosC=(a+b}2-2ab—2abcosC,

71

c——,ctb—6,cosC——，

22

(a+bp=c2+3ab=亨

,,ii

???a+b=—

2

解析：(1)根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷出判別式小于或等于0且cose>0,求得cosC的范圍，進(jìn)而根據(jù)

余弦函數(shù)的單調(diào)性求得C的最大值;

(2)根據(jù)(1)中求得C,利用三角形面積公式求得ab的值，進(jìn)而代入余弦定理求得a+b的值.

此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的

關(guān)鍵.

18.答案:證明：(1)取BC的中點(diǎn)F,連接EF,AF,

E,F分另IJ是BC的中點(diǎn)，EF//CG，EF=

沁，

???四邊形4CC121是矩形，。是A41的中點(diǎn),

(乙)

ADZ/CC1,AD=|CC1；

AD//EF,AD=EF,

.??四邊形4DEF是平行四邊形，.?.￡)￡〃河,

又DEC平面力BC,AFu平面ABC,

DE〃平面ABC.

(2)???四邊形是矩形，AC1CC1；

又平面a&GC1平面平面441GCn平面B81GC=CC1；ACu平面ACCMI，

AC1平面BCQBi，ACVBC,

同理可證：ADLAB,

設(shè)A4]=a,BC=b,則2C=AD=A1D=ArCr=

222

22

BCl=BBl+B居=a+b,DC1=DAj+ArCl=9+亍=券，

AB2=AC2+BC2=—+b2,BD2=AB2+AD2=—+b2+—=b2+—,

4442

.--BD2+DCl=BCl，

：.BD1DC1.

解析：（1）取BC中點(diǎn)F,證明四邊形ADEF是平行四邊形得出DE〃/IF,故而DE〃平面ABC；

（2）設(shè)=a,BC=b,計(jì)算△BDC1的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出BD1DCr.

本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

19.答案：解：（1）記“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件”為4…（1分）

則PQ4）=喏=|.…（3分）

所以取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率為|.…（4分）

（2）由題意f可能的取值為4,5,6,7,8,...（5分）

「低=4）=等=a.”（6分）

%1U

P鉉=5）=叱陰=g...（7分）

c6D

尸（6=6）=殳浮=|,...（8分）

P（f=7）=殳等經(jīng)建，…（9分）

c63

P（f=8）=警….（10分）

所以隨機(jī)變量f的概率分布為

45678

11211

p

1055510

…(12分)

11711

E(f)=4x—+5x-+6x-+7x-+8x—=6....(14^)

1055510vJ

解析：(1)記“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件”為4由古典概型公式結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)

能夠得到P(a)="聾=I.由此能求出取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率.

c65

(2)由題意§可能的取值為4,5,6,7,8,P(f=4)=等=2，P(f=5)="筆晅=1,p(f=6)=

c

61UC6b

蟲歲=1，PG=7)=附號(hào):犯=gP(f=8)=萼.由此能求出隨機(jī)變量f的概率分布和期

望.

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，解題時(shí)要注意古典概型的靈活運(yùn)用，理解古典概型的特

征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想，掌握列舉法，

學(xué)會(huì)運(yùn)用統(tǒng)籌思想解決概率的計(jì)算問(wèn)題.

20.答案：解：(1)由b九=(1rl—+2得，。九=力九十九一2,

2an+1=an+n,

2[%w+i+(n+1)—2]=bn+2n—2,即“+1=號(hào)》n，

???也｝是首項(xiàng)為%=%+1=3,公比為扣勺等比數(shù)列.

711

故6n=3X(I)-.

(2)由(1)知,an=b九+九一2,

.?.An=Bn+中，

又???｛加｝是首項(xiàng)為瓦=的+1=3,公比為[的等比數(shù)列，

n

.An+ABn_(l+a)Bn+)Q_n-3+6(1+4)(1-圭),

nn2n

故當(dāng)且僅當(dāng)4=-1時(shí)，｛組普｝為等差數(shù)列.

解析：(1)根據(jù)所給的兩個(gè)式子，變形消去即+1和廝，得到有關(guān)｛g｝的遞推公式，進(jìn)而判斷出該數(shù)列

是等比數(shù)列，再代入通項(xiàng)公式即可；

(2)由(1)的結(jié)果和等差(等比)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求出4”、％的關(guān)系式，再表示出電善，再由等

差數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)進(jìn)行求值.

本題是數(shù)列的綜合題，涉及了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，還涉及了求等差(等比)數(shù)列的前幾項(xiàng)

和公式，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

21.答案：解：(1)?函數(shù)/(%)=?一%+eR),

???/'(%)=—e~x+a,

①當(dāng)a<0時(shí)，/'(%)<0,/(%)在R上單調(diào)遞減,

故/(%)不存在最值.

②當(dāng)a>0時(shí)，由/'(%)=0,得久=—Ina,

當(dāng)%變化時(shí)，/(%)與［。)的變化情況如下表：

X(—8,—Ina)—Ina(—Ina,+oo)

f'(x)—0+

f(x)J極小值T

/(%)在(-8,-伍Q)上單調(diào)遞減，在(-仇a,+8)上單調(diào)遞增，

故/(%)的最小值為/(一,a)=a-abia.不存在最大值.

綜上，當(dāng)a40時(shí)，/(%)不存在最大值和最小值；

當(dāng)a>0時(shí)，最小值為a-。仇a.不存在最大值.

(2)證明：當(dāng)。=0時(shí)，/(%)=e~x,設(shè)g(%)=?一汽+一&

28

則——e~x+x,

設(shè)九(%)=—e~x+x,則九'(%)=e~x+1>0,g'(x)在R上單調(diào)遞增,

，g'G)=/+K。g(i)=-}+1>。，

.??存在唯一的&6(|,1),使得g'(0)=0,

當(dāng)x變化時(shí)，g(x)與￡(久)的變化情況如下表：

X(-8,3%0Oo,+oo)

g'Q)—0+

g(x)i極小值T

g(%)在(-8,%0)上單調(diào)遞減，在(%0,+8)上單調(diào)遞增，

???9^min=g(%0)=L+%_A

Zo

由g'Oo)=o,得-e-&+xo=0,■.g(久o)一|,

Xo6(j,1),函數(shù)gOo)單調(diào)遞增，

2

???g(x°)=|x^+x0-|>|x(|)+|-|=o,

g(x)2g?))>o,e-x>-^x2+|,