有關(guān)輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)的問題市公開課一等獎(jiǎng)省賽課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

相關(guān)輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)問題第1頁探究一,輾轉(zhuǎn)相除法思索1:在小學(xué)中我們是怎樣求出兩個(gè)正整數(shù)最大條約數(shù)呢?算法案例之求最大條約數(shù)求以下幾組正整數(shù)最大條約數(shù)。(注：若整數(shù)m和n滿足n整除m，則（m,n）=n。用（m,n）來表示m和n最大條約數(shù)。)（1）（18，30）（2）（24，16）（3）（63，63）（4）（72，8）（5）（301，133）解：21824用公有質(zhì)因數(shù)2除，

3912用公有質(zhì)因數(shù)3除，

343和4互質(zhì)不除了。得：18和24最大條約數(shù)是：2×3＝6

例、求18與24最大條約數(shù)：6；8；63；8；7；短除法想一想，怎樣求8251與6105最大條約數(shù)？

第2頁

思索2:對于8251與6105這兩個(gè)數(shù)，它們最大條約數(shù)是多少？你是怎樣得到？

因?yàn)樗鼈児匈|(zhì)因數(shù)較大，利用上述方法求最大條約數(shù)就比較困難.有沒有其它方法能夠較簡單找出它們最大條約數(shù)呢？第3頁

思索3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251與6105這兩個(gè)數(shù)條約數(shù)和6105與2146條約數(shù)有什么關(guān)系？

我們發(fā)覺6105=2146×2+1813，同理，6105與2146條約數(shù)和2146與1813條約數(shù)相等.

思索4：重復(fù)上述操作，你能得到8251與6105這兩個(gè)數(shù)最大條約數(shù)嗎？2146=1813×1+333，148=37×4+0.333=148×2+37，1813=333×5+148，8251=6105×1+2146，6105=2146×2+1813，定義:所謂輾轉(zhuǎn)相除法,就是對于給定兩個(gè)數(shù),用較大數(shù)除以較小數(shù),若余數(shù)不為零,則將余數(shù)和較小數(shù)組成新數(shù)對,繼續(xù)上面除法,直到大數(shù)被小數(shù)除盡,則這是較小數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)最大條約數(shù)第4頁輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)最大條約數(shù)，其算法能夠描述以下：輾轉(zhuǎn)相除法是一個(gè)重復(fù)執(zhí)行直到余數(shù)等于0停頓步驟，這實(shí)際上是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)

思索4：輾轉(zhuǎn)相除直到何時(shí)結(jié)束？主要利用是哪種算法結(jié)構(gòu)？如此循環(huán)，直到得到結(jié)果。①輸入兩個(gè)正整數(shù)m和n；②求余數(shù)r：計(jì)算m除以n，將所得余數(shù)存放到變量r中；③更新被除數(shù)和余數(shù)：m=n，n=r。④判斷余數(shù)r是否為0：若余數(shù)為0則輸出結(jié)果，不然轉(zhuǎn)向第②步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行。第5頁第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n(m>n).第二步，計(jì)算m除以n所得余數(shù)r.第三步，m=n，n=r.

第四步，若r=0，則m，n最大條約數(shù)等于m；不然，返回第二步.

思索5:你能把輾轉(zhuǎn)相除法編成一個(gè)計(jì)算機(jī)程序嗎？第6頁程序框圖開始輸入m，n求m除以n余數(shù)rm=nn=rr=0？是輸出m結(jié)束否INPUTm，nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND第7頁

思索6:假如用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)算法，則用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)m、n最大條約數(shù)程序框圖和程序分別怎樣表示？第8頁開始輸入m，n求m除以n余數(shù)rm=nr≠0？否輸出m結(jié)束是n=rINPUTm，nWHILEr<>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND第9頁練習(xí)：用輾轉(zhuǎn)相除法求以下兩數(shù)最大條約數(shù)：（1）（225，135）（2）（98，196）（3）（72，168）（4）（153，119）45982417第10頁二、更相減損術(shù)

《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著，其中“更相減損術(shù)”也能夠用來求兩個(gè)數(shù)最大條約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之.”意思是：

第一步：任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù).若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步.

第二步：以較大數(shù)減去較小數(shù)，接著把差與較小數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù).繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得數(shù)相等為止，則這個(gè)等數(shù)或這個(gè)數(shù)與約簡數(shù)乘積就是所求最大條約數(shù).第11頁例1：用更相減損術(shù)求98與63最大條約數(shù).98-63=35，14-7=7.21-7=14，28-7=21，35-28=7，63-35=28，因?yàn)?3不是偶數(shù)，所以所以最大條約數(shù)是7.第12頁

例2分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求168與93最大條約數(shù).168=93×1+75，93=75×1+18，75=18×4+3，18=3×6.輾轉(zhuǎn)相除法：更相減損術(shù):168-93=75，

93-75=18，

75-18=57，

57-18=39，

39-18=21，

21-18=3，

18-3=15，

15-3=12，

12-3=9，

9-3=6，

6-3=3.第13頁

例4求325，130，270三個(gè)數(shù)最大條約數(shù).

因?yàn)?25=130×2+65，130=65×2，所以325與130最大條約數(shù)是65.

因?yàn)?70=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以65與270最大條約數(shù)是5.

故325，130，270三個(gè)數(shù)最大條約數(shù)是5.第14頁

練習(xí):用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)m，n最大條約數(shù)，能夠用什么邏輯結(jié)構(gòu)來結(jié)構(gòu)算法？其算法步驟怎樣設(shè)計(jì)？

第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n(m>n).

第二步，計(jì)算m-n所得差k.

第三步，比較n與k大小，其中大者用m表示，小者用n表示.

第四步，若m=n，則m，n最大條約數(shù)等于m；不然，返回第二步.

討論:該算法程序框圖怎樣表示？第15頁開始輸入m，nn>k？m=n是輸出m結(jié)束m≠n？k=m-n是否n=km=k否

討論:該程序框