新編人教A版高中數(shù)學必修5全冊教案版本

人教版高中數(shù)學必修5

全冊教案

目錄

1.1.1正弦定理

1.1.2余弦定理

1.1.3解三角形的進一步討論

1.2.1解三角形應用舉例

1.2.4解三角形應用舉例

2.1數(shù)列的概念與簡單表示法

2.2等差數(shù)列

2.3等差數(shù)列的前n項和

2.4等比數(shù)列

2.5等比數(shù)列的前n項和

3.1不等關系和不等式

3.2一元二次不等式及其解法

3.3T二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

3.3-2二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

3.3-3二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

3.3-4二元一次不等式（組）與平面區(qū)域一簡單的線性規(guī)劃問題

3.4-1基本不等式

3.4-2基本不等式

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1.1.1正弦定理

（一）教學目標

1.知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方

法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關

系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用

的實踐操作。

3.情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情

推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間

的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學重、難點

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

（三）學法與教學用具

學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：=「紇接著就一般斜

sin/sin6sinC

三角形進行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導，

讓學生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎。

教學用具：直尺、投影儀、計算器

（四）教學設想

［創(chuàng)設情景］

如圖1.1T,固定AABC的邊CB及NB,使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動。/A

思考：ZC的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？\

顯然，邊AB的長度隨著其對角NC的大小的增大而增大。能否才/\

用一個等式把這種關系精確地表示出來？-----------XB

［探索研究］（圖1.1-D

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等

式關系。如圖1.12,在RtAABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)

的定義，有g=sin4,—=sinS,又sinC=l=￡,A

cccK\\

sin/sinbsinC

從而在直角三角形ABC中,

sin/lsinbsinC

（圖1.1-2）

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立?

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況:

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如圖L1-3,當AABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的

定義，有CD二asin夕=Z?sin4貝ijI~~-

sin/sin夕

c_b

同理可得

sinCsinB

ab

從而

sin/sinBsinC

（§11.1-3）

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究

這個問題。

（證法二）：過點A作

由向量的加法可得AB=AC+CB

則j,AB=j.（AC+CB）

:.j.AB=J-AC+j?CB

|J||AB|COS（90°-A）=0+|J||CB|COS（900-C）

csinA=6fsinC,艮|J

si，nA=sinC

同理，過點C作可得

sin/sin/?sinC

類似可推出，當AABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。(由學生課后自己推導)

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a_b_c

sin4sin6sinC

［理解定理］

(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即

存在正數(shù)k使a=Asin/,b=ksinB,c—ksinC；

(2)——=口—=，—等價于——==

sin%sin5sinCsin/sin8sinCsinBsin/sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a="￥；

sin3

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sin/=msin8。

b

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

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［例題分析］

例1.在AABC中，已知A=32.0°,8=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180°-M+B)

=180°-(32.0°+81.8°)

=66.2°；

根據(jù)正弦定理，

76/sinB42.9sin81.8°

n=----------*80.1(?！?；

sinAsin32.0°

根據(jù)正弦定理,

=asinC_42.9sin66.2°

C~sinA~sin32.0°?74.\(crri).

評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2.在A4BC中，已知。=20cm,〃=28cm,A=40°,解三角形(角度精確到1°,邊

長精確到1cm)。

解：根據(jù)正弦定理，

.?bsinA28sin40°

sin8=-------?0.8999.

~20~

因為00V5V180°,所以BB64°,或3X116°.

⑴當8*64°時，

C=180°-(A+8)=180°-(40°+64°)=76°,

_asinC_20sin76°

C~sinA一sin40°?30(cm).

(2)當5?16°時,

C=18O°-(A+B)?18Oo-(4O°+l16°)=24°,

_asinC_20sin240

c-sinA-sin40°H13(O%).

評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

［隨堂練習］第5頁練習第1(1)、2(1)題。

例3.已知AABC中，ZA=60°,a=6，求a+8+c

sin/1+sin夕+sinC

分析：可通過設一參數(shù)k(k>0)使g=，===j=A,

smAsmBsine

a_bc_a+6+c

證明出

si"sinBsinCsin4+sin8+sinC

b

解：設=k(k>o)

sin力sinBsinC

則有a=4sin/,b=kstxxB,c=ksinC

a+6+c_公行力+人1.11一+公打。

從而=k

sin/+sin8+sinCsin力+sin5+sinC

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又上=^^=2=k,所以——""——

sinJsin60sin/+sin夕+sin。

_____d+6+c

評述：在AABC中，等式昌=—個二——=k(k>0)

sin力sinz>sinesinZ+sin6+sin。

恒成立。

［補充練習］已知△ABC中,sin力：sin夕：sinC=l:2:3,求a:6:c

（答案：1：2：3）

［課堂小結］（由學生歸納總結）

a+b+c

（1）定理的表示形式：［三=——=—、=4（A>0）；

sin/sinnsmcsin/+sin8+sin。

^a=ksir\A,b=ksinB,c=ksinC(A>0)

（2）正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

（五）評價設計

①課后思考題：（見例3）在AABC中，「工=」==_￡）=4（左>0）,這個k與AABC有

sin力sin￡sine

什么關系？

②課時作業(yè)：第10頁［習題L1］A組第1（1）、2（1）題。

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基本不等式

第一課時

(1)教學目標

(a)知識與技能：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的不等式的證明；理解兩個

正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋

(b)過程與方法：本節(jié)學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數(shù)和形兩方

面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的理

解，并為以后實際問題的研究奠定基礎。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分

析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學品質(zhì)

(c)情感與價值：培養(yǎng)學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生

數(shù)形結合的想象力

(2)教學重點、難點

教學重點：兩個不等式的證明和區(qū)別

教學難點：理解“當且僅當a=b時取等號”的數(shù)學內(nèi)涵

(3)學法與教學用具

先讓學生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實際問題還原

出數(shù)學本質(zhì)，可積極調(diào)動地學生的學習熱情。定理的證明要留給學生充分的思考空間，讓他

們自主探究，通過類比得到答案

直角板、圓規(guī)、投影儀(多媒體教室)

(4)教學設想

1、設置情境

(投影出圖3.4T)同學們，這是北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，大家想一想，你

能通過這個簡單的風車造型中得到一些相等和不等關系嗎？

提問1：我們把“風車”造型抽象成圖3.4-2.在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設

直角三角形的長為“、b,那么正方形的邊長為多少？面積為多少呢？

生答：\Ja2+b2,a2+b2

提問2：那4個直角三角形的面積和呢？

生答：2ab

提問3：好，根據(jù)觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個不等

式，a2+b2>2ab.什么時候這兩部分面積相等呢？

生答：當直角三角形變成等腰直角三角形，即。=。時，正方形EFGH變成一個點，這時有

a2+b2=2ab

2、新課講授

(1)(板書)一般地，對于任意實數(shù)a、b,我們有勿心，當且僅當。=匕時，

等號成立。

提問4：你能給出它的證明嗎？

(學生嘗試證明后口答,老師板書)

證明：a2+b~-lab-(a-h)2,^aH〃時,(a-b)2>0,當a=萬時，3—6)2=0,

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所以a2+b2>2ah

注意強調(diào)當且僅當a=8時，a2+b2=2ah

(2)特別地,如果。>()力>(),用尚和的分別代替a、b,可得a+bN2新,也可寫成

4abW竺幺(a>0,6>0),引導學生利用不等式的性質(zhì)推導

2

(板書，請學生上臺板演)：

要證：空瘋3〉()乃〉0)①

2

即證a+b>②

要證②，只要證a+b—>0③

要證③，只要證(-)2>0④

顯然，④是成立的，當且僅當a=6時，④的等號成立

(3)觀察圖形3.4-3,得到不等式①的幾何解釋

(4)變式練習：

已知x、y都是正數(shù)，求證：

①如果積xy是定值P，那么當x=y時，和x+y有最小值26

②如果和x+y是定值S,那么當x=y時，積xy有最大值

4

3、課堂練習

課本第113頁練習第1題

4、歸納總結

比較兩個重要不等式的聯(lián)系和區(qū)別

(5)評價設計

1、課本習題3.4第1題

2、思考題：若x<0,求x+L的最大值

X

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1.1.2余弦定理

（一）教學目標

1.知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問題。

2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問題，

3.情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、

余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（-）教學重、難點

重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用；

難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

（三）學法與教學用具

學法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已

知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易

地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角

教學用具：直尺、投影儀、計算器

（四）教學設想

［創(chuàng)設情景］

如圖如1-4,在AABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和NC,求邊c

［探索研究］

聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

如圖1.1一5,設CB=a,CA=b,AB—c,那么c=w—則

|c|=

=a-a+b'b-2a-bCaB

=|c?|4-|/?|-2a-b

從而c~=a2+if-2abcosC（圖1.1-5）

同理可證=b2+c2-2bccosA

A2=/+/_2accos8

于是得到以下定理

余弦定理:三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角

的余弦的積的兩倍。即a2=b2+c2-2bccosA

bz=az+c2-2accosB

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c2=a2+Z>2-2abcosC

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由

三邊求出一角？

（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2+c2-a2

cosA=——------

2bc

q2+c2―/72

cos3=

2ac

b1+c^-c1

-2ba-

［理解定理］

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

（由學生總結）若AABC中,C=90°,則8SC=O,這時/=/+〃

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

［例題分析］

例1.在AABC中，已知a=26，c=#+08=60。，求b及A

⑴解：?；

=(26)2+(遙+偽2—226(6+偽cos45°

=12+(遙+◎—4百(0+1)

=8

Ab=2-j2.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

.b2+c2-a2(2V2)2+(V6+V2)2-(2^)21

⑵解法一:

cos—―2x2V2x(V6+V2)=2,

A=60°.

解法二:VsinA=*in?sin45°,

b272

又,:76+72>2.4+1.4=3.8,

273<2x1.8=3.6,

：.a<c,即。。〈人〈鄉(xiāng)。。，

A=60°.

評述：解法二應注意確定A的取值范圍。

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例2.在AABC中，已知。=134丘利，b=87&TM,c=161.7cm,解三角形

(可由學生通過閱讀進行理解)

解：由余弦定理的推論得：

b+c-礦

COSAA=——---

2bc

222

=87.8+161.7-134.6

2x87.8x161.7

-0.5543,

A?56°20r；

7+/_62

nC

cosB=—

2ca

134.62+161.72-87.82

=~2x134.6x161.7

70.8398,

腔32°53'；

C=1800-(A+B)?180o-(56o20,+32°53,)

=90°47.

［隨堂練習］第8頁練習第1(1)、2(1)題。

［補充練習］在AABC中,若/=加+02+A，求角A(答案：A=120°)

［課堂小結］

(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的應用范圍：①.已知三邊求三角；②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

(五)評價設計

①課后閱讀：課本［探究與發(fā)現(xiàn)］

②課時作業(yè)：［習題LI］A組第3(1),4(1)題。

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1.1.3解三角形的進一步討論

（一）教學目標

1.知識與技能:掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無

解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。

2.過程與方法:通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理,

三角函數(shù)公式及三角形有關性質(zhì)求解三角形問題。

3.情態(tài)與價值：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質(zhì)和三角函數(shù)

的關系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事

物之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（二）教學重、難點

重點：在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；

三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。

難點：正、余弦定理與三角形的有關性質(zhì)的綜合運用。

（三）學法與教學用具

學法：通過一些典型的實例來拓展關于解三角形的各種題型及其解決方法。

教學用具：教學多媒體設備

（四）教學設想

［創(chuàng)設情景］

思考：在^ABC中，己知@=22功，b=25cz?,4=133°,解三角形。

（由學生閱讀課本第9頁解答過程）

從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在己知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條

件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。

［探索研究］

例1.在AABC中，已知a,6,4,討論三角形解的情況

分析：先由sin6="也4可進一步求出B；

a

則C=180°—（/+6）

1.當A為鈍角或直角時，必須a>6才能有且只有一解；否則無解。

2.當A為銳角時，

如果那么只有一解；

如果a<6,那么可以分下面三種情況來討論：

（1）若a>6sin/,則有兩解；

（2）若a=6sin/,則只有一解；

（3）若a<6sin/,則無解。

（以上解答過程詳見課本第910頁）

評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且

6sin/<a<6時.，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。

［隨堂練習1］

（1）在AABC中，已知a=80,6=100,Z/=45°,試判斷此三角形的解的情況。

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(2)在AABC中，若a=l,c=1,47=40°,則符合題意的b的值有個。

(3)在AABC中，a=xcm,6=加，N8=45°,如果利用正弦定理解三角形有兩解，求

x的取值范圍。

(答案：(1)有兩解；(2)0；(3)2Vx<2五)

例2.在AABC中，已知a=7,6=5,c=3,判斷AABC的類型。

分析：由余弦定理可知

a2=62+c2o4是直角o△ABC是直角三角形

si1>b2+c2/是鈍角=AABC是鈍鬲三面形

a2<b2+c2力是銳角，'AABC是銳角三角形

(注意：4是銳角與AABC是銳角三角形)

解:72>52+32,即

/.AABC是鈍角三角形。

［隨堂練習2］

(1)在AABC中，已知sin』：sin中：sinC=l:2:3,判斷AABC的類型。

(2)已知AABC滿足條件acos/=6cos6,判斷AABC的類型。

(答案：(1)AABC是鈍角三角形；(2)AABC是等腰或直角三角形)

例3.在AABC中，/=60°,6=1,面積為g,求-----”--------的值

2sinyl+sinZ?+sinc

分析：可利用三角形面積定理S=；加sinC=；acsin4=；Z?csin/以及正弦定理

a_b_c_a-\-b-\-c

sin/sinBsinCsinZ+sin6+sinC

解：由S=；力csin/=得c=2,

則a2=Z?2+c2-2bccosA=3,即a=正，

從而-----廿紀二-----=」—=2

sin/+sin8+sinCsinJ

［隨堂練習3］

(1)在AABC中，若a=55,。=16,且此三角形的面積S=2206,求角C

2?22

(2)在AABC中，其三邊分別為a、b、c,且三角形的面積S=.'［一0一，求角C

4

(答案:(1)60°或120°；(2)45°)

［課堂小結］

(1)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形;

(2)三角形各種類型的判定方法；

(3)三角形面積定理的應用。

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(五)評價設計(課時作業(yè))

(1)在AABC中，已知6=4,c=10,6=30°,試判斷此三角形的解的情況。

(2)設x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù)x的取值范圍。

(3)在AABC中，1=60°,a=l,6+c=2,判斷AABC的形狀。

(4)三角形的兩邊分別為3cm,5cm,它們所夾的角的余弦為方程5/-7犬-6=0的根,

求這個三角形的面積。

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解三角形應用舉例

第一課時

(1)教學目標

(a)知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際

問題，了解常用的測量相關術語

(b)過程與方法：首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以后的兒節(jié)課做良好鋪墊。其

次結合學生的實際情況，采用“提出問題一一引發(fā)思考一一探索猜想一一總結規(guī)律一一反饋

訓練”的教學過程，根據(jù)大綱要求以及教學內(nèi)容之間的內(nèi)在關系，鋪開例題，設計變式，同

時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例

2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，開放多種思路，引導學生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當?shù)闹更c

和矯正

(c)情感與價值：激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，并體會數(shù)學的應用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、

數(shù)學符號表達題意和應用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題的能力

(2)教學重點、難點

教學重點：由實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的

解

教學難點：根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖

(3)學法與教學用具

讓學生回憶正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形，讓學生嘗試繪制知識

綱目圖。生活中錯綜復雜的問題本源仍然是我們學過的定理，因此系統(tǒng)掌握前一節(jié)內(nèi)容是學

好本節(jié)課的基礎。解有關三角形的應用題有固定的解題思路，引導學生尋求實際問題的本質(zhì)

和規(guī)律，從一般規(guī)律到生活的具體運用，這方面需要多琢磨和多體會。

直角板、投影儀(多媒體教室)

(4)教學設想

1、復習舊知

復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、設置情境

請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙

不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出

了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度

等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借

助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實

施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。

于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理

在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。

5、新課講授

(1)解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的

條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的己知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解

(2)例1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在

所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離是55m,ZBAC=51°.ZACB=75°?求A、B兩點

的距離(精確到0.Im)

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人數(shù)A版高中數(shù)學必修5教案

啟發(fā)提問LAABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？

啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。

分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條

件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算

出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。

解：根據(jù)正弦定理，得

AB=4C

sinZACBsinZABC

AB=ACsinZACB

sinZABC

二55sinZACB

sinZABC

-55sin75°

sin(180°-51°-75°)

=55sin75°

sin54°

%65.7(m)

答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30°,

燈塔B在觀察站C南偏東60°,則A、B之間的距離為多少？

老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。

解略：72akm

例2、(動畫演示輔助點和輔助線)如圖，A、B兩點都在河的對岸(不可到達)，設計一種測

量A、B兩點間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造

三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可

求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

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人數(shù)A版高中數(shù)學必修5教案

圖1.2-2

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D,測得CD二a,并且在C、D兩點分別測得NBCA二

ZACD=p,NCDB=y,NBDA二S,在AADC和ABDC中，應用正弦定理得

AC=〃sin(7+b)=4sin(y+b)

sin[180°-(/?+/+^)]sin(/7+y+b)

BC=〃si”=asiny

sin[180°-(a+^+/)]sin(a+/7+/)

計算出AC和BC后，再在AABC中，￡用余弦定理計算出AB兩點間的距離

AB=VAC2+BC2-2.CxBCcosa

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。

變式訓練:若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得NBCA=60°,ZACD=30°,ZCDB=45°,

ZBDA=60

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20而

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些

過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選

擇最佳的計算方式。

6、學生閱讀課本,了解測量中基線的概念,并找到生活中的相應例子。

7、課堂練習

課本練習第1、2題

8、歸納總結

解斜三角形應用題的一般步驟：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建

立一個解斜三角形的數(shù)學模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解

(4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解

(5)評價設計

3、課本第1、2、3題

4、思考題：某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公

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人教A版高中數(shù)學必修5教案

路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40°?開始時，汽車到A的距離為31千米,

汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽

車站？

北個

解：由題設，畫出示意圖，設汽車前進20千米后到達B處。在AABC中，AC=31,BC=20,

AB=21,由余弦定理得

AC2+BC2-AB223

cosC=

2AC-BC31

則sin2c=1-cos2C=——,

312

.r_12V3

s1nC---------,

31

所以sinZMAC=sin(120°-C)=sinl200cosC-cosl20°sinC二更也

62

在AMAC中，由正弦定理得

ACsinZMAC31赴4

MC-----------------------------二-x

sinZAMC百62

~T

從而有MB=MC-BC=15

答：汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站。

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人教A版高中數(shù)學必修5教案

解三角形應用舉例

第四課時

(1)教學目標

(a)知識和技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題,

掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用

(b)過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設疑，引導學生證明，同時總結

出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學

知識的生動運用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦

定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思

維，有利地進一步突破難點，。

(c)情感與價值：讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；

進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗

(2)教學重點、教學難點

教學重點：推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目

教學難點：利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題

(3)學法與教學用具

正弦定理和余弦定理的運用除了記住正確的公式之外，貴在活用，體會公式變形的技巧以及

公式的常規(guī)變形方向，并進一步推出新的三角形面積公式。同時解有關三角形的題目還要注

意討論最終解是否符合規(guī)律，防止丟解或增解，養(yǎng)成檢驗的習慣。

直角板、投影儀

(4)教學設想

1、設置情境

師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它的另一個表達公式。在

△ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h〃、％、h,,那么它們?nèi)绾斡眉褐吅徒潜?/p>

示？

生：ha=bsinC=csinB

h/,=csinA=asinC

hc=asinB=bsinaA

師：根據(jù)以前學過的三角形面積公式S='ah,應用以上求出的高的公式如h“=bsinC代入，

2

可以推導出下面的三角形面積公式，S=-absinC,大家能推出其它的幾個公式嗎？

2

生：同理可得，S=—bcsinA,S=—acsinB

22

師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的

面積呢？

生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解

2、新課講授

例1、在AABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S(精確到0.Icn^)

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人教A版高中數(shù)學必修5教案

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;

(3)已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關系，

我們可以應用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求

出三角形的面積。

解：(1)應用S=,acsinB,得

2

S=-x14.8x23.5xsinl48.5°~90.9(cm2)

2

(2)根據(jù)正弦定理，

b-c

sin8sinC

C=bsinC

sinB

S=-bcsinA=-b2sinCsinA

22sinB

A=180°-(B+0=180°-(62.7°+65.8°)=51.5"

1sin65.8sin51.5-

S=-x3.1692x------------：----^4.0(zcm2)

2sin62.7

⑶根據(jù)余弦定理的推論，得

Dc2a2-h2

COSD=----+--------

2ca

=38.72+41.42-273

2x38.7x41.4

心0.7697

2

sinBA/1-COS2B憶71-0.7697^0.6384

應用S=,acsinB,得

2

1

S-x41.4x38.7x0,6384^511.4(cm20)

2

例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設中，要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園，經(jīng)過測量

得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？(精確到

0.1cm2)?

師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學題目嗎？

生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。

由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結。

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人教A版高中數(shù)學必修5教案

解：設a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論,

°c2^a2-b2

cosB=-----------

2ca

222

127+68-88八

---------------------------------------弋0.7532

2x127x68

sinB=Vl-0.75322工0.6578

應用S=—acsinB

2

Sx68x127x0.6578=?2840.38(m2)

2

答：這個區(qū)域的面積是2840.38m2。

例3、在AABC中,求證：

,1、a2+b~sin2A+sin2B

(l)----1——=--------；---------；

c"sin"C

(2)(72+/?2+C2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到

用正弦定理來證明

證明：(I)根據(jù)正弦定理，可設

。二。二c二k

s\nAsin5sinC

顯然kxO,所以

,,,,a2+b2Z:2sin2A+Z:2sin2B

左一邊二---：-=------：----：-------

sin2A+sin2B

=右邊

sin2C

(2)根據(jù)余弦定理的推論,

220

右邊二2(bcbf+cc2-b2,a2+b2-c2

+ca-----------------+ab--)---------------

2bc2ah

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊

變式練習l：已知在AABC中，/B=30°,b=6,c=6g,求a及AABC的面積S

提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。

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人教A版高中數(shù)學必修5教案

答案：a=6,S—9s/3;a=12,S—18y/3

變式練習2：判斷滿足下列條件的三角形形狀,

(1)acosA=bcosB

.八sinA+sinB

(2)smC=-----------

cosA+cosB

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”

(1)師：大家嘗試分別用兩個定理進行證明。

生1：(余弦定理)得

b2+c2-a2,c2+a2-b2

ax----------=bx----------

2bclea

.-.c2(?2-h2)=a4-h4^(a2+h2)(a2-b2)

a2=82或=a2+b2

.??根據(jù)邊的關系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：(正弦定理)得

sinAcosA=sinBcosB,

/.sin2A=sin2B,

2A=2B,

A=B

.??根據(jù)邊的關系易得是等腰三角形

師：根據(jù)該同學的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學的做法有兩種，請大家思考，

誰的正確呢？

生：第一位同學的正確。第二位同學遺漏了另一種情況，因