2023-2024學年四川省綿陽市綿陽中學高三第二次聯(lián)考數學試卷含解析_第1頁
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2023-2024學年四川省綿陽市綿陽中學高三第二次聯(lián)考數學試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在平面直角坐標系中,已知是圓上兩個動點,且滿足,設到直線的距離之和的最大值為,若數列的前項和恒成立,則實數的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知雙曲線與雙曲線沒有公共點,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知復數,其中為虛數單位,則()A. B. C.2 D.4.已知函數(其中,,)的圖象關于點成中心對稱,且與點相鄰的一個最低點為,則對于下列判斷:①直線是函數圖象的一條對稱軸;②點是函數的一個對稱中心;③函數與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③5.已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上與不重合的動點,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.26.已知函,,則的最小值為()A. B.1 C.0 D.7.已知函數fx=sinωx+π6+A.16,13 B.18.若的展開式中的系數之和為,則實數的值為()A. B. C. D.19.已知數列滿足,(),則數列的通項公式()A. B. C. D.10.的展開式中含的項的系數為()A. B.60 C.70 D.8011.在中,角的對邊分別為,若,則的形狀為()A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形12.拋物線的焦點為,則經過點與點且與拋物線的準線相切的圓的個數有()A.1個 B.2個 C.0個 D.無數個二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.記數列的前項和為,已知,且.若,則實數的取值范圍為________.14.已知向量與的夾角為,||=||=1,且⊥(λ),則實數_____.15.某外商計劃在個候選城市中投資個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過個,則該外商不同的投資方案有____種.16.已知雙曲線(,)的左,右焦點分別為,,過點的直線與雙曲線的左,右兩支分別交于,兩點,若,,則雙曲線的離心率為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足bcosA﹣asinB=1.(1)求A;(2)已知a=2,B=,求△ABC的面積.18.(12分)古人云:“腹有詩書氣自華.”為響應全民閱讀,建設書香中國,校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計學生一周課外讀書的時間,從全校學生中隨機抽取名學生進行問卷調査,統(tǒng)計了他們一周課外讀書時間(單位:)的數據如下:一周課外讀書時間/合計頻數46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171(1)根據表格中提供的數據,求,,的值并估算一周課外讀書時間的中位數.(2)如果讀書時間按,,分組,用分層抽樣的方法從名學生中抽取20人.①求每層應抽取的人數;②若從,中抽出的學生中再隨機選取2人,求這2人不在同一層的概率.19.(12分)已知函數,.(1)若不等式對恒成立,求的最小值;(2)證明:.(3)設方程的實根為.令若存在,,,使得,證明:.20.(12分)△ABC的內角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.21.(12分)在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,是的中點.(1)證明:平面;(2)設是線段上的動點,當點到平面距離最大時,求三棱錐的體積.22.(10分)已知等差數列和等比數列的各項均為整數,它們的前項和分別為,且,.(1)求數列,的通項公式;(2)求;(3)是否存在正整數,使得恰好是數列或中的項?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點到此直線距離的二倍,所以只需求中點到此直線距離的最大值即可。再得到中點的軌跡是圓,再通過此圓的圓心到直線距離,半徑和中點到此直線距離的最大值的關系可以求出。再通過裂項的方法求的前項和,即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由,得,.設線段的中點,則,在圓上,到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍,點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和,而圓的圓心到直線的距離為,,,..故選:【點睛】本題考查了向量數量積,點到直線的距離,數列求和等知識,是一道不錯的綜合題.2、C【解析】

先求得的漸近線方程,根據沒有公共點,判斷出漸近線斜率的取值范圍,由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于雙曲線與雙曲線沒有公共點,所以雙曲線的漸近線的斜率,所以雙曲線的離心率.故選:C【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎題.3、D【解析】

把已知等式變形,然后利用數代數形式的乘除運算化簡,再由復數模的公式計算得答案.【詳解】解:,則.故選:D.【點睛】本題考查了復數代數形式的乘除運算,考查了復數模的求法,是基礎題.4、C【解析】分析:根據最低點,判斷A=3,根據對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T,再代入最低點可求得解析式為,依次判斷各選項的正確與否.詳解:因為為對稱中心,且最低點為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯誤,②正確,③當時,,所以與有6個交點,設各個交點坐標依次為,則,所以③正確所以選C點睛:本題考查了根據條件求三角函數的解析式,通過求得的解析式進一步研究函數的性質,屬于中檔題.5、D【解析】

設,,,根據可得①,再根據又②,由①②可得,化簡可得,即可求出離心率.【詳解】解:設,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質,考查了斜率的計算,離心率的求法,屬于基礎題和易錯題.6、B【解析】

,利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知,又,,故當,即時,.故選:B.【點睛】本題考查整體換元法求正弦型函數的最值,涉及到二倍角公式的應用,是一道中檔題.7、A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3,根據x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當x∈0,π時,又f0=3sin由fx在0,π上的值域為32解得:ω∈本題正確選項:A【點睛】本題考查利用正弦型函數的值域求解參數范圍的問題,關鍵是能夠結合正弦型函數的圖象求得角的范圍的上下限,從而得到關于參數的不等式.8、B【解析】

由,進而分別求出展開式中的系數及展開式中的系數,令二者之和等于,可求出實數的值.【詳解】由,則展開式中的系數為,展開式中的系數為,二者的系數之和為,得.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理的應用,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.9、A【解析】

利用數列的遞推關系式,通過累加法求解即可.【詳解】數列滿足:,,可得以上各式相加可得:,故選:.【點睛】本題考查數列的遞推關系式的應用,數列累加法以及通項公式的求法,考查計算能力.10、B【解析】

展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數項和項相乘得到,由二項式的通項,可得解【詳解】由題意,展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數項和項相乘得到,所以的展開式中含的項的系數為.故選:B【點睛】本題考查了二項式系數的求解,考查了學生綜合分析,數學運算的能力,屬于基礎題.11、C【解析】

利用正弦定理將邊化角,再由,化簡可得,最后分類討論可得;【詳解】解:因為所以所以所以所以所以當時,為直角三角形;當時即,為等腰三角形;的形狀是等腰三角形或直角三角形故選:.【點睛】本題考查三角形形狀的判斷,考查正弦定理的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬于基礎題.12、B【解析】

圓心在的中垂線上,經過點,且與相切的圓的圓心到準線的距離與到焦點的距離相等,圓心在拋物線上,直線與拋物線交于2個點,得到2個圓.【詳解】因為點在拋物線上,又焦點,,由拋物線的定義知,過點、且與相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點,這樣的交點共有2個,故過點、且與相切的圓的不同情況種數是2種.故選:.【點睛】本題主要考查拋物線的簡單性質,本題解題的關鍵是求出圓心的位置,看出圓心必須在拋物線上,且在垂直平分線上.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據遞推公式,以及之間的關系,即可容易求得,再根據數列的單調性,求得其最大值,則參數的范圍可求.【詳解】當時,,解得.所以.因為,則,兩式相減,可得,即,則.兩式相減,可得.所以數列是首項為3,公差為2的等差數列,所以,則.令,則.當時,,數列單調遞減,而,,,故,即實數的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查由遞推公式求數列的通項公式,涉及數列單調性的判斷,屬綜合困難題.14、1【解析】

根據條件即可得出,由即可得出,進行數量積的運算即可求出λ.【詳解】∵向量與的夾角為,||=||=1,且;∴;∴λ=1.故答案為:1.【點睛】考查向量數量積的運算及計算公式,以及向量垂直的充要條件.15、60【解析】試題分析:每個城市投資1個項目有種,有一個城市投資2個有種,投資方案共種.考點:排列組合.16、【解析】

設,由雙曲線的定義得出:,由得為等腰三角形,設,根據,可求出,得出,再結合焦點三角形,利用余弦定理:求出和的關系,即可得出離心率.【詳解】解:設,由雙曲線的定義得出:,,由圖可知:,又,即,則,為等腰三角形,,設,,則,,即,解得:,則,,解得:,,解得:,,在中,由余弦定理得:,即:,解得:,即.故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的定義的應用,以及余弦定理的應用,求雙曲線離心率.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)由正弦定理化簡已知等式可得sinBcosA﹣sinAsinB=1,結合sinB>1,可求tanA=,結合范圍A∈(1,π),可得A的值;(2)由已知可求C=,可求b的值,根據三角形的面積公式即可計算得解.【詳解】(1)∵bcosA﹣asinB=1.∴由正弦定理可得:sinBcosA﹣sinAsinB=1,∵sinB>1,∴cosA=sinA,∴tanA=,∵A∈(1,π),∴A=;(2)∵a=2,B=,A=,∴C=,根據正弦定理得到∴b=6,∴S△ABC=ab==6.【點睛】本題主要考查了正弦定理,三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于基礎題.18、(1),,,中位數;(2)①三層中抽取的人數分別為2,5,13;②【解析】

(1)根據頻率分布直方表的性質,即可求得,得到,,再結合中位數的計算方法,即可求解.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,根據抽樣比,求得在三層中抽取的人數;②由①知,設內被抽取的學生分別為,內被抽取的學生分別為,利用列舉法得到基本事件的總數,利用古典概型的概率計算公式,即可求解.【詳解】(1)由題意,可得,所以,.設一周課外讀書時間的中位數為小時,則,解得,即一周課外讀書時間的中位數約為小時.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,抽樣比為,又因為,,的頻數分別為20,50,130,所以從,,三層中抽取的人數分別為2,5,13.②由①知,在,兩層中共抽取7人,設內被抽取的學生分別為,內被抽取的學生分別為,若從這7人中隨機抽取2人,則所有情況為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有21種,其中2人不在同一層的情況為,,,,,,,,,,共有10種.設事件為“這2人不在同一層”,由古典概型的概率計算公式,可得概率為.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方表的性質,中位數的求解,以及古典概型的概率計算等知識的綜合應用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎題.19、(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】

(1)由題意可得,,令,利用導數得在上單調遞減,進而可得結論;(2)不等式轉化為,令,,利用導數得單調性即可得到答案;(3)由題意可得,進而可將不等式轉化為,再利用單調性可得,記,,再利用導數研究單調性可得在上單調遞增,即,即,即可得到結論.【詳解】(1),即,化簡可得.令,,因為,所以,.所以,在上單調遞減,.所以的最小值為.(2)要證,即.兩邊同除以可得.設,則.在上,,所以在上單調遞減.在上,,所以在上單調遞增,所以.設,因為在上是減函數,所以.所以,即.(3)證明:方程在區(qū)間上的實根為,即,要證,由可知,即要證.當時,,,因而在上單調遞增.當時,,,因而在上單調遞減.因為,所以,要證.即要證.記,.因為,所以,則..設,,當時,.時,,故.且,故,因為,所以.因此,即在上單調遞增.所以,即.故得證.【點睛】本題考查函數的單調性、最值、函數恒成立問題,考查導數的應用,轉化思想,構造函數研究單調性,屬于難題.20、(1)(2).【解析】試題分析:(1)由三角形面積公式建立等式,再利用正弦定理將邊化成角,從而得出的值;(2)由和計算出,從而求出角,根據題設和余弦定理可以求出和的值,從而求出的周長為.試題解析:(1)由題設得,即.由正弦定理得.故.(2)由題設及(1)得,即.所以,故.由題設得,即.由余弦定理得,即,得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時,要注意抓住題目所給的條件,當題設中給定三角形的面積,可以使用面積公式建立等式,再將所有邊的關系轉化為角的關系,有時需將角的關系轉化為邊的關系;解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角,求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角,再有另外一個條件,求面積或周長的值”,這類問題的通法思路是:全部轉化為角的關系,建立函數關系式,如,從而求出范圍,或利用余弦定理以及基本不

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