專題之研究新函數(shù)題型-滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教案（教育機(jī)構(gòu)專用）

滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年度高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題之研究新函數(shù)題型教學(xué)目標(biāo)初步了解研究新函數(shù)題型的主要命題方式，并熟悉掌握一些基本的做法?！窘庾x：研究新函數(shù)題型難度很大】知識(shí)梳理無(wú)典例精講【說(shuō)明：此部分所給題量較大，難度也很大，大都是高考原題、一二?？碱}。各位老師可以根據(jù)學(xué)生的程度、是否做過(guò)等因素，自由組合課前作業(yè)、課堂例題、課堂練習(xí)、課后作業(yè)等。建議要優(yōu)質(zhì)生源使用，最好有課前作業(yè)，無(wú)需面面俱到，但是一定要講透】例1.（★★★）若實(shí)數(shù)、、滿足，則稱比遠(yuǎn)離．（1）若比1遠(yuǎn)離0，求的取值范圍；（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，證明：比遠(yuǎn)離；（3）已知函數(shù)的定義域．任取，等于和中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值．寫出函數(shù)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．解：（1）由題意得（2），；又，則；于是，，比遠(yuǎn)離．（3）若，即；同理，若，即。所以，函數(shù)的解析式是：大致圖像如下：函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是，是非奇非偶函數(shù)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得最大值1； 當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得最小值-1；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減?！驹u(píng)述：此題考查學(xué)生對(duì)于新運(yùn)算法則的理解，這個(gè)不難。還有就是不等式的運(yùn)算與證明，這個(gè)也不難。主要是第三小問(wèn)，考查學(xué)生對(duì)于新函數(shù)的理解，究竟哪些是函數(shù)的基本性質(zhì)的掌握，難度尚可，不少學(xué)生容易搞錯(cuò)成，沒(méi)看懂題意所致】例2.（★★★★）已知函數(shù)的反函數(shù)。定義：若對(duì)給定的實(shí)數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“和性質(zhì)”；若函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“積性質(zhì)”。判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；設(shè)函數(shù)對(duì)任何，滿足“積性質(zhì)”。求的表達(dá)式。解：（1）函數(shù)的反函數(shù)是，，而，其反函數(shù)為故函數(shù)不滿足“1和性質(zhì)”……4分（2）設(shè)函數(shù)滿足“2和性質(zhì)”，。,……6分而，得反函數(shù)，……8分由“2和性質(zhì)”定義可知對(duì)恒成立。即所求一次函數(shù).……10分（3）設(shè)且點(diǎn)圖像上，則在函數(shù)圖像上，故可得，……12分令，.……14分綜上所述，此時(shí)其反函數(shù)是，而故互為反函數(shù)。……16分【評(píng)述：此題考查函數(shù)的新性質(zhì)，涉及到了抽象函數(shù)、反函數(shù)，學(xué)生容易搞錯(cuò)的是的含義?！坷?.（★★★★）已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)，對(duì)任意，有成立．（1）函數(shù)是否屬于集合？說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)（且）的圖像與的圖像有公共點(diǎn)，證明：；若函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）對(duì)于非零常數(shù)，，.因?yàn)閷?duì)任意，不能恒成立，所以。（2）函數(shù)（且）的圖像與的圖像有公共點(diǎn)，所以方程組：有解，消去得，顯然不是方程的解，所以存在非零常數(shù)，使。于是對(duì)于有，故.（3）當(dāng)時(shí)，，顯然.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋源嬖诜橇愠?shù)，對(duì)任意，有成立，即.因?yàn)?，且，所以，，于是，，故要使成立，只有；?dāng)時(shí)，成立，則；當(dāng)時(shí)，成立，即成立，則.綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是【評(píng)述：此題將函數(shù)的新性質(zhì)與集合綜合在一起，是函數(shù)常見(jiàn)的命題方法。第一問(wèn)較容易，第二問(wèn)考查了函數(shù)與方程的思想，在理解上和表述上有一定難度，第三問(wèn)是本題的大難點(diǎn)，特別是“要使成立，只有”，屬于“退步思考法”（兩個(gè)函數(shù)相等，則至少值域相等），學(xué)生較難想到?！坷?.（★★★）對(duì)定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對(duì)任意的都有，且對(duì)任意的都有恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“U型”函數(shù)。（1）求證：函數(shù)是上的“U型”函數(shù)；（2）設(shè)是（1）中的“U型”函數(shù)，若不等式對(duì)一切的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)是區(qū)間上的“U型”函數(shù)，求實(shí)數(shù)和的值.解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故存在閉區(qū)間和常數(shù)符合條件，所以函數(shù)是上的“U型”函數(shù)（2）因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切的恒成立，所以由（1）可知所以解得：（3）由“U型”函數(shù)定義知，存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有即所以對(duì)任意的成立所以①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，由題意知，符合條件②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，由題意知，不符合條件綜上所述，【評(píng)述：此題考查一類滿足某些特定條件的函數(shù)，難度并不大，但是抓住每個(gè)條件。特別是第三問(wèn)，在所有條件中，以確定條件（）入手，再去做取舍，這是解決此類題關(guān)鍵所在?！快柟叹毩?xí)1.（★★★）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系上放置一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，此正方形沿軸滾動(dòng)(向左或向右均可)，滾動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)位于原點(diǎn)處,設(shè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系是，該函數(shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為.（1）寫出的值并求出當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度；（2）寫出函數(shù)的表達(dá)式；研究該函數(shù)的性質(zhì)并填寫下面表格：函數(shù)性質(zhì)結(jié)論奇偶性單調(diào)性遞增區(qū)間遞減區(qū)間零點(diǎn)（3）試討論方程在區(qū)間上根的個(gè)數(shù)及相應(yīng)實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），；（2）；函數(shù)性質(zhì)結(jié)論奇偶性偶函數(shù)單調(diào)性遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，零點(diǎn)，（3）考慮圖像和分類討論，可得：（1）當(dāng)時(shí)，方程只有1實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)或時(shí)，方程有5個(gè)實(shí)數(shù)根；（4）當(dāng)或時(shí)，方程有7個(gè)實(shí)數(shù)根；（5）當(dāng)時(shí)，方程有9個(gè)實(shí)數(shù)根；（6）當(dāng)時(shí)，方程有11個(gè)實(shí)數(shù)根.【評(píng)述：此題前兩問(wèn)考查新函數(shù)的基本性質(zhì)，較為簡(jiǎn)單，第三問(wèn)考查了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想，計(jì)算上情況較多，較為繁瑣，但是難度并不大】2.（★★★）定義：對(duì)函數(shù)，對(duì)給定的正整數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)為“性質(zhì)函數(shù)”。（1）判斷函數(shù)是否為“性質(zhì)函數(shù)”？說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)為“2性質(zhì)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)與的圖像有公共點(diǎn)，求證：為“1性質(zhì)函數(shù)”。解：（1）若存在滿足條件，則即，，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，與假設(shè)矛盾。不能為“k性質(zhì)函數(shù)”。（2）由條件得：，即，化簡(jiǎn)得,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，即，。綜上，。（3）由條件存在使，,,令，則，,為“1性質(zhì)函數(shù)”。【評(píng)述：此題考查函數(shù)的新性質(zhì)，直接代入即可，注意定義域，難度不大】3.（★★★）若函數(shù)定義域?yàn)?，滿足對(duì)任意，有，則稱為“形函數(shù)”；若函數(shù)定義域?yàn)椋愦笥?，且對(duì)任意，有，則稱為“對(duì)數(shù)形函數(shù)”．（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否為形函數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，證明：是對(duì)數(shù)形函數(shù)；（3）若是形函數(shù)，且滿足對(duì)任意，有，問(wèn)是否為對(duì)數(shù)形函數(shù)？證明你的結(jié)論．解：（1）不滿足對(duì)任意，有當(dāng)時(shí)，不是“形函數(shù)”(2)的定義域?yàn)?且對(duì)任意，有是對(duì)數(shù)形函數(shù)（3）是對(duì)數(shù)“形函數(shù)”，證明如下：證明：，即是對(duì)數(shù)“形函數(shù)”【評(píng)述：此題考查函數(shù)的新性質(zhì)，直接代入即可，注意定義域，難度不大】4.（★★★★）若函數(shù)，如果存在給定的實(shí)數(shù)對(duì)，使得恒成立，則稱為“函數(shù)”.（1）判斷下列函數(shù)，是否為“函數(shù)”，并說(shuō)明理由；①②（2）已知函數(shù)是一個(gè)“函數(shù)”，求出所有的有序?qū)崝?shù)對(duì).解：（1）①若是“函數(shù)”，則存在實(shí)數(shù)對(duì)，使得，即時(shí)，對(duì)恒成立，而最多有兩個(gè)解，矛盾，因此不是“函數(shù)”②答案不唯一：如取，恒有對(duì)一切都成立，即存在實(shí)數(shù)對(duì)，使之成立，所以，是“函數(shù)”．一般地：若是“函數(shù)”，則存在實(shí)數(shù)對(duì)，使得即存在常數(shù)對(duì)滿足，故是“函數(shù)”．（2）函數(shù)是一個(gè)“函數(shù)”，設(shè)有序?qū)崝?shù)對(duì)滿足，則恒成立當(dāng)時(shí)，，不是常數(shù)；因此，當(dāng)時(shí)，則有，即恒成立，所以當(dāng)時(shí)，滿足是一個(gè)“函數(shù)”的實(shí)數(shù)對(duì)【評(píng)述：此題考查某一類函數(shù)，難度不大，但是第二問(wèn)，很多學(xué)生沒(méi)有考慮定義域，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)?！炕仡櫩偨Y(jié)通過(guò)本專題的學(xué)習(xí)，你對(duì)研究新函數(shù)題型了解了多少？有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這些題目在命題特點(diǎn)上和解法上有沒(méi)有什么共性？涉及到了哪些知識(shí)點(diǎn)？又要注意