七年級數(shù)學下冊同步講義（人教版）第04課 平行線的性質(zhì)及平移（教師版）

第04課平行線的性質(zhì)及平移目標導航目標導航課程標準1．掌握平行線的性質(zhì)，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)進行簡單的推理；2．了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，理解兩條平行線的距離的概念；3.掌握命題的定義，知道一個命題是由“題設”和“結論”兩部分組成，對于給定的命題，能找出它的題設和結論；4．了解圖形的平移變換，知道一個圖形進行平移后所得的圖形與原圖形之間所具有的聯(lián)系和性質(zhì)，能用平移變換有關知識說明一些簡單問題及進行圖形設計.知識精講知識精講知識點01平行線的性質(zhì)如右圖：a∥b,截線c與這兩條平行線相交，他們相交所成的角分別為∠1，∠2……….∠8.測量他們的角并填入下表中。并回答下列問題角∠1∠2∠3∠4∠5∠6∠7∠8度數(shù)100°80°100°80°100°80°100°80°哪些角是同位角，他們具有怎樣的數(shù)量關系？同位角∠1=100°∠5=100°∠2=80°∠2=80°∠3=100°∠7=100°∠4=80°∠8=80°關系相等相等相等相等由此得出平行線的性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；哪些角是內(nèi)錯角，他們具有怎樣的數(shù)量關系？內(nèi)錯角∠3=100°∠5=100°∠4=80°∠6=80°關系相等相等由此得出平行線的性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；哪些角是同旁內(nèi)角，他們具有怎樣的數(shù)量關系？內(nèi)錯角∠3=100°∠6=80°∠4=80°∠5=100°關系互補互補由此得出平行線的性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.注意：

（1）“同位角相等、內(nèi)錯角相等”、“同旁內(nèi)角互補”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不可忽視前提“兩直線平行”，即沒有說明兩直線平行，同位角，內(nèi)錯角及同旁內(nèi)角的關系不確定；(2)從角的關系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補關系，是平行線的性質(zhì)．比較平行線的判定平行線的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等同位角相等，兩直線平行兩直線平行，內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等，兩直線平行兩直線平行，同旁內(nèi)角互補同旁內(nèi)角互補，兩直線平行知識點02兩條平行線的距離同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離．注意：（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點，向另一條直線作垂線，垂線段的長度就是兩條平行線的距離．(2)兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，即平行線間的距離處處相等．知識點03命題、定理、證明1.命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．

注意：（1）命題的結構：每個命題都由題設、結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項.（2）命題的表達形式：“如果……，那么…….”，也可寫成：“若……，則…….”（3）真命題與假命題：真命題：題設成立結論一定成立的命題，叫做真命題.假命題：題設成立而不能保證結論一定成立的命題，叫做假命題.2.定理：定理是從真命題（公理或其他已被證明的定理）出發(fā)，經(jīng)過推理證實得到的另一個真命題，定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).3.證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證明.注意：（1）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當然”，這些根據(jù)可以是已知條件，學過的定義、基本事實、定理等.（2）判斷一個命題是正確的，必須經(jīng)過嚴格的證明；判斷一個命題是假命題，只需列舉一個反例即可．知識點04平移1.定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移．注意：（1）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離．（2）圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.2.性質(zhì)：圖形的平移實質(zhì)上是將圖形上所有點沿同一方向移動相同的距離，平移不改變線段、角的大小，具體來說：（1）平移后，對應線段平行且相等；（2）平移后，對應角相等；（3）平移后，對應點所連線段平行且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對全等圖形.注意：（1）“連接各組對應點的線段”的線段的長度實際上就是平移的距離．(2)要注意“連接各組對應點的線段”與“對應線段”的區(qū)別，前者是通過連接平移前后的對應點得到的，而后者是原來的圖形與平移后的圖形上本身存在的.3.作圖：平移作圖是平移基本性質(zhì)的應用，在具體作圖時，應抓住作圖的“四步曲”——定、找、移、連．(1)定：確定平移的方向和距離；(2)找：找出表示圖形的關鍵點；(3)移：過關鍵點作平行且相等的線段，得到關鍵點的對應點；(4)連：按原圖形順次連接對應點．能力拓展能力拓展考法01平行線的性質(zhì)【典例1】下列說法：①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段叫做平行線；②過一點，有且只有一條直線平行于已知直線；③兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等；④同旁內(nèi)角相等，兩直線平行．正確的個數(shù)有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】①根據(jù)平行線的定義進行判定；②根據(jù)平行線的性質(zhì)進行判定；③根據(jù)平行線的性質(zhì)定理進行判定，兩條直線平行，同位角相等；④根據(jù)平行線的判定定理進行判定，同旁內(nèi)角互補兩條直線平行．【詳解】①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，故原命題錯誤；②過直線外一點，有且只有一條直線平行于已知直線，故原命題錯誤；③兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，正確；④同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，故原命題錯誤．故選：A【點睛】本題考查了平行線的定義，平行線性質(zhì)定理和平行線的判定定理．【典例2】下列圖形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是A． B．C． D．【答案】B【詳解】分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)應用排除法求解：A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°．故本選項錯誤．B、如圖，∵AB∥CD，∴∠1=∠3．∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．故本選項正確．C、∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本選項錯誤．D、當梯形ABDC是等腰梯形時才有，∠1=∠2．故本選項錯誤．故選B．【即學即練】如圖，直線AB∥CD，則下列結論正確的是（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠1+∠3=180° D．∠3+∠4=180°【答案】D【詳解】分析：依據(jù)AB∥CD，可得∠3+∠5=180°，再根據(jù)∠5=∠4，即可得出∠3+∠4=180°．詳解：如圖，∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，又∵∠5=∠4，∴∠3+∠4=180°，故選D．點睛：本題考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．【即學即練】如圖，OC是∠AOB的角平分線，l//OB,若∠1=52°，則∠2的度數(shù)為（）A．52° B．54° C．64° D．69°【答案】C【分析】先根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠AOB=128°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠BOC=64°，繼而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】∵l//OB，∴∠1+∠AOB=180°，∴∠AOB=128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=64°，又∵l//OB，∴∠2=∠BOC=64°，故選C.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關鍵.【即學即練】如圖，已知∠1=∠2，∠3=30°，則∠B的度數(shù)是()A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得AB∥CE，再根據(jù)性質(zhì)得∠B=∠3.【詳解】因為∠1=∠2，所以AB∥CE所以∠B=∠3=故選B【點睛】熟練運用平行線的判定和性質(zhì).【即學即練】如圖，，，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用平行線的性質(zhì)結合等腰三角形的性質(zhì)得出∠2的度數(shù)．【詳解】，，，，=180°-∠ACD-∠CAD=，故選A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，正確得出的度數(shù)是解題關鍵．【即學即練】如圖，直線AB、CD相交于點E，DF∥AB．若∠AEC=100°，則∠D等于（）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】B【詳解】因為AB∥DF，所以∠D+∠DEB=180°，因為∠DEB與∠AEC是對頂角，所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故選B．【即學即練】如圖，，平分，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得答案．【詳解】∵，∴，∵平分，∴，故選B．【點睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，關鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【典例3】如圖，將一塊含有30°的直角三角板的頂點放在直尺的一邊上，若∠1＝48°，那么∠2的度數(shù)是（）A．48° B．78° C．92° D．102°【答案】D【分析】直接利用已知角的度數(shù)結合平行線的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：如圖：∵將一塊含有30°的直角三角板的頂點放在直尺的一邊上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°故選D．【點睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確得出∠3的度數(shù)是解題關鍵．【即學即練】將等腰直角三角形紙片和矩形紙片按如圖方式折疊放在一起，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠3=∠1=30°，∴∠2=45°-∠3=15°.以及等腰直角三角形的性質(zhì)，故選B【點睛】此題主要考查平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等.【即學即練】如圖，有一塊含有30°角的直角三角形板的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果∠2=44°，那么∠1的度數(shù)是（

）

A．14° B．15° C．16° D．17°【答案】C【分析】依據(jù)∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根據(jù)BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=16°．【詳解】如圖，∵∠ABC=60°，∠2=44°，∴∠EBC=16°，∵BE∥CD，∴∠1=∠EBC=16°，故選C．【點睛】考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【即學即練】把一塊直尺與一塊含的直角三角板如圖放置，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．124°【答案】D【分析】根據(jù)角的和差可先計算出∠AEF，再根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補即可得出∠2的度數(shù)．【詳解】解：由題意可知AD//BC，∠FEG=90°，∵∠1=34°，∠FEG=90°，∴∠AEF=90°-∠1=56°，∵AD//BC，∴∠2=180°-∠AEF=124°，故選：D．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)．熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補并能正確識圖是解題關鍵．考法02輔助線與平行線【典例4】如圖，直線a∥b，將一個直角三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠1=58°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．32° C．42° D．58°【答案】B【詳解】試題分析：如圖，過點A作AB∥b，∴∠3=∠1=58°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°﹣∠3=32°，∵a∥b，AB∥B，∴AB∥b，∴∠2=∠4=32°，故選B．考點：平行線的性質(zhì)．【即學即練】如圖，，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點E作，先根據(jù)平行線的判定可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)分別可得和的度數(shù)，然后根據(jù)角的和差即可得．【詳解】如圖，過點E作，，，又，，，，故選：D．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關鍵．【即學即練】如圖，若AB∥CD，則α、β、γ之間的關系為()A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180°C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°【答案】C【分析】過點E作EF∥AB，如圖，易得CD∥EF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，進一步即得結論．【詳解】解：過點E作EF∥AB，如圖，∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，∴∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，∴∠FEA=β﹣γ，∴α+(β﹣γ)=180°，即α+β﹣γ=180°．故選：C．【點睛】本題考查了平行公理的推論和平行線的性質(zhì)，屬于?？碱}型，作EF∥AB、熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．【即學即練】如圖，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，則∠BCD的值為（）A．20° B．30° C．40° D．70°【答案】B【詳解】試題分析：延長ED交BC于F，∵AB∥DE，∠ABC=70°，∴∠MFC=∠B=70°，∵∠CDE=140°，∴∠FDC=180°﹣140°=40°，∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°，故選B．考點：平行線的性質(zhì)．【即學即練】如圖，已知AB∥CD∥EF，則∠、∠、∠三者之間的關系是()A．° B．°C．° D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CEF=180°-y，x=z+∠CEF，利用等量代換可得x=z+180°-y，再變形即可．【詳解】解：∵CD∥EF，

∴∠C+∠CEF=180°，

∴∠CEF=180°-y，

∵AB∥CD，

∴x=z+∠CEF，

∴x=z+180°-y，

∴x+y-z=180°，

故選：B．【即學即練】如圖，AB∥CD，則下列等式成立的是()A．∠B＋∠F＋∠D＝∠E＋∠G B．∠E＋∠F＋∠G＝∠B＋∠DC．∠F＋∠G＋∠D＝∠B＋∠E D．∠B＋∠E＋∠F＝∠G＋∠D【答案】A【分析】E作EM,過F作FH,過G作GH,推出AB,得出,,,,求出即可.【詳解】過E作EM,過F作FH,過G作GN,

,.

,,

,

,

所以A選項是正確的.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的應用，主要考查學生的推理能力.【即學即練】如圖，已知AB∥CD，則∠A、∠C、∠P的關系為_____．【答案】∠A+∠C﹣∠P=180°【詳解】如圖所示，作PE∥CD，

∵PE∥CD，∴∠C+∠CPE=180°，又∵AB∥CD，∴PE∥AB，∴∠A=∠APE，∴∠A+∠C-∠P=180°，故答案是：∠A+∠C-∠P=180°．【即學即練】珠江流域某江段江水流向經(jīng)過B、C、D三點拐彎后與原來相同，如圖，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，則∠CDE=__________度．【答案】20【分析】由已知珠江流域某江段江水流向經(jīng)過B、C、D三點拐彎后與原來相同，得AB∥DE，過點C作CF∥AB，則CF∥DE，由平行線的性質(zhì)可得，∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，繼而求出∠DCF，又由CF∥DE，所以∠CDE=∠DCF．【詳解】解：過點C作CF∥AB，已知珠江流域某江段江水流向經(jīng)過B、C、D三點拐彎后與原來相同，∴AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC=180°，∴∠BCF=60°，∴∠DCF=20°，∴∠CDE=∠DCF=20°．故答案為20．【點睛】此題考查的知識點是平行線的性質(zhì)，關鍵是過C點先作AB的平行線，由平行線的性質(zhì)求解．【即學即練】如圖，直線AB∥CD，∠C＝44°，∠E為直角，則∠1等于（）A．132° B．134° C．136° D．138°【答案】B【詳解】過E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．解：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC為直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，故選B．“點睛”本題考查了平行線的性質(zhì)的應用，能正確作出輔助線是解此題的關鍵．【即學即練】如圖，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，則∠BEC＝________°.【答案】40【詳解】根據(jù)平行線的性質(zhì)，先求出∠BEF和∠CEF的度數(shù)，再求出它們的差就可以了．解：∵AB∥EF，

∴∠BEF=∠ABE=70°；

又∵EF∥CD，

∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，

∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°；

故應填40．“點睛”本題主要利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及兩直線平行，內(nèi)錯角相等進行解題．考法03折疊問題【典例5】如圖折疊一張矩形紙片，已知∠1=70°，則∠2的度數(shù)是__．【答案】55°【詳解】,,.【即學即練】如圖，將矩形ABCD沿GH折疊，點C落在點Q處，點D落在AB邊上的點E處，若∠AGE=32°，則∠GHC等于（）A．112° B．110° C．108° D．106°【答案】D【詳解】分析：由折疊可得：∠DGH=∠DGE=74°，再根據(jù)AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．詳解：∵∠AGE=32°，∴∠DGE=148°，由折疊可得：∠DGH=∠DGE=74°．∵AD∥BC，∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．故選D．點睛：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．【即學即練】如圖所示，把一張長方形紙片沿折疊后，點分別落在點的位置．若，則等于________．【答案】50°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DEF的度數(shù)，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠D′EF的度數(shù)，根據(jù)平角的定義即可得出結論．【詳解】∵AD∥BC,∠EFB=65°，

∴∠DEF=65°，

又∵∠DEF=∠D′EF，

∴∠D′EF=65°，

∴∠AED′=50°.【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題）和平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握翻折變換（折疊問題）和平行線的性質(zhì).【即學即練】將一個矩形紙片按如圖所示折疊，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【分析】根據(jù)折疊的知識和直線平行判定即可解答.【詳解】解：如圖可知折疊后的圖案∠ABC=∠EBC，又因為矩形對邊平行，根據(jù)直線平行內(nèi)錯角相等可得∠2=∠DBC，又因為∠2+∠ABC=180°，所以∠EBC+∠2=180°，即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°.可求出∠2=70°.【點睛】掌握折疊圖形的過程中有些角度是對稱相等的是解答本題的關鍵.【即學即練】如圖，一個寬度相等的紙條按如圖所示方法折疊一下，則________度．【答案】65【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，以及折疊關系列出方程求解則可．【詳解】解：如圖，由題意可知，AB∥CD，∴∠1+∠2=130°，由折疊可知，∠1=∠2，∴2∠1＝130°，

解得∠1＝65°．

故答案為：65．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和折疊的知識，題目比較靈活，難度一般．【即學即練】如圖，將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，使頂點C，D分別落在點C′、D′處，C′E交AF于點G，若∠CEF=64°，則∠GFD′=_____________.【答案】520【解析】因為AD∥BC，所以∠CEF=∠AFE=64°，∠DFE=180°-∠CEF=180°-64°=116°，由折疊得∠EFD=∠EFD′，所以∠EFD′=116°，所以∠GFD′=∠EFD′-∠AFE=116°-64°=52°，故答案為52°.【即學即練】如圖，把長方形ABCD沿EF對折，若∠1=500，則∠AEF的度數(shù)等于__.【答案】【詳解】∵把矩形ABCD沿EF對折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．故答案為115°.考法04綜合證明【典例6】如圖，已知，，試說明直線AD與BC垂直請在下面的解答過程的空格內(nèi)填空或在括號內(nèi)填寫理由．理由：，已知____________，__________________又，已知______等量代換____________，____________，已知，，____________．【答案】GD

AC

同位角相等，兩直線平行

兩直線平行，內(nèi)錯角相等

AD

EF

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

兩直線平行，同位角相等

AD

BC【解析】【分析】結合圖形，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)逐一進行填空即可．【詳解】解：，已知，同位角相等，兩直線平行兩直線平行，內(nèi)錯角相等又，已知等量代換，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行兩直線平行，同位角相等，已知，，．【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，已經(jīng)垂線的定義，解答此題的關鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運用．【即學即練】如圖,已知AC∥DF,直線AF分別與直線BD、CE相交于點G，H,∠1=∠2.求證：∠C=∠D．解：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠DGH（），∴∠2=_______（等量代換）∴_______∥_______（同位角相等，兩直線平行）∴∠C=_______（兩直線平行，同位角相等）又∵AC∥DF（）∴∠D=∠ABG（）∴∠C=∠D（）【答案】對頂角相等，∠DGH，BD∥CE，∠ABG，已知，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，等量代換，【詳解】整體分析:根據(jù)平行線的性質(zhì),判定和對頂角相等解題,注意理解圖形.證明:∵∠1=∠2（已知）∠1=∠DGH(對頂角相等)，∴∠2=∠DGH（等量代換）∴BD∥CE（同位角相等，兩直線平行）∴∠C=∠ABG（兩直線平行，同位角相等）又∵AC∥DF(已知)∴∠D=∠ABG(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∴∠C=∠D(等量代換).【即學即練】如圖,已知在△ABC中,EF⊥AB,CD⊥AB,G在AC邊上,∠AGD=∠ACB，求證:∠1=∠2.【答案】見解析.【分析】由EF⊥AB，CD⊥AB可得EF∥CD，由∠AGD=∠ACB可得DG∥BC．再利用平行線的性質(zhì)可證∠1=∠2．【詳解】∵EF⊥AB,CD⊥AB,

∴EF∥CD,

∴∠2=∠3.

又∵∠AGD=∠ACB,

∴DG∥BC,

∴∠1=∠3;

∴∠1=∠2.【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．【即學即練】如圖，AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∠1＝∠2，求證：AB∥CD．【答案】見解析【分析】首先由AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC可得AE∥FG，根據(jù)兩直線平行，同位角相等及等量代換可推出∠A=∠2，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得AB∥CD．【詳解】證明：如圖，設BC與AE、GF分別交于點M、N.∵AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，

∴∠AMB=∠GNB=90°，

∴AE∥FG，

∴∠A=∠1；

又∵∠2=∠1，

∴∠A=∠2，

∴AB∥CD．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及判定，熟記定理是正確解題的關鍵．考法05命題【典例7】把命題“等角的補角相等”改寫成“如果…那么…”的形式是______．【答案】如果兩個角是等角的補角，那么它們相等．【分析】弄清命題的題設（條件）和結論即可寫出.【詳解】解：題設為：兩個角是等角的補角，結論為：相等，故寫成“如果…那么…”的形式是：如果兩個角是等角的補角，那么它們相等．故答案為如果兩個角是等角的補角，那么它們相等．【點睛】本題考查了將原命題寫成“如果…那么…”即題設（條件）與結論的形式，解決問題的關鍵是找出相應的題設和結論.【即學即練】將“平行于同一條直線的兩條直線平行”改寫成“如果……那么……”的形式為_________________________________________________.【答案】如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行.【分析】命題由題設和結論兩部分組成，通常寫成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接題設，“那么”后面接結論．【詳解】命題可以改寫為：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．【點睛】任何一個命題都可以寫成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接題設，“那么”后面接結論．在改寫過程中，不能簡單地把題設部分、結論部分分別塞在“如果”、“那么”后面，要適當增減詞語，保證句子通順而不改變原意．【即學即練】下列命題是真命題的是（）A．如果一個數(shù)的相反數(shù)等于這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是0B．如果一個數(shù)的倒數(shù)等于這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是1C．如果一個數(shù)的平方等于這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是0D．如果一個數(shù)的算術平方根等于這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是0【答案】A【分析】根據(jù)相反數(shù)是它本身的數(shù)為0；倒數(shù)等于這個數(shù)本身是±1；平方等于它本身的數(shù)為1和0；算術平方根等于本身的數(shù)為1和0進行分析即可．【詳解】A、如果一個數(shù)的相反數(shù)等于這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是0，是真命題；B、如果一個數(shù)的倒數(shù)等于這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是1，是假命題；C、如果一個數(shù)的平方等于這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是0，是假命題；D、如果一個數(shù)的算術平方根等于這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是0，是假命題；故選A．【點睛】此題主要考查了命題與定理，關鍵是掌握正確的命題為真命題，錯誤的命題為假命題．【即學即練】將“對頂角相等”改寫為“如果．．．那么．．．”的形式，可寫為__________．【答案】如果兩個角互為對頂角，那么這兩個角相等【分析】根據(jù)命題的形式解答即可.【詳解】將“對頂角相等”改寫為“如果．．．那么．．．”的形式，可寫為如果兩個角互為對頂角，那么這兩個角相等，故答案為：如果兩個角互為對頂角，那么這兩個角相等.【點睛】此題考查命題的形式，可寫成用關聯(lián)詞“如果．．．那么．．．”連接的形式，準確確定命題中的題設和結論是解題的關鍵.【即學即練】將命題“同角的補角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式為_________________．【答案】如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等【詳解】試題考查知識點：命題改寫思路分析：每一個命題都是基于條件的一個判斷，只要把條件部分和判斷部分分開即可具體解答過程：如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等試題點評：這是關于命題的基本題型．考法06平移【典例8】如圖，A，B，C，D中的哪幅圖案可以通過圖案①平移得到（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，不改變圖形的形狀和大小，經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等．【詳解】通過圖案①平移得到必須與圖案①完全相同，角度也必須相同，觀察圖形可知D可以通過圖案①平移得到.故答案選：D.【點睛】本題考查的知識點是生活中的平移現(xiàn)象，解題的關鍵是熟練的掌握生活中的平移現(xiàn)象.【典例9】如圖，將△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周長是16cm，那么四邊形ABFD的周長是（

）A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm【答案】C【詳解】試題分析：已知，△ABE向右平移2cm得到△DCF，根據(jù)平移的性質(zhì)得到EF=AD=2cm，AE=DF，又因△ABE的周長為16cm，所以AB+BC+AC=16cm，則四邊形ABFD的周長=AB+BC+CF+DF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．故答案選C．考點：平移的性質(zhì).【即學即練】如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將其中一個三角形沿著點B到點C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距離為4，求陰影部分的面積為（）A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【詳解】由平移的性質(zhì)知，BE=4，DE=AB=8，可得HE=DE-DH=8-3=5，所以S四邊形HDFC=S梯形ABEH=（AB+EH）×BE=（8+5）×4=26．故選D.【即學即練】如圖，有a、b、c三戶家用電路接入電表，相鄰電路的電線等距排列，則三戶所用電線（）A．a(chǎn)戶最長 B．b戶最長 C．c戶最長 D．三戶一樣長【答案】D【詳解】可理解為將最左邊一組電線向右平移所得，由平移的性質(zhì)即可得出結論．∵a、b、c三戶家用電路接入電表，相鄰電路的電線等距排列，∴將a向右平移即可得到b、c，∵圖形的平移不改變圖形的大小，∴三戶一樣長．故選D．【即學即練】如圖，兩只螞蟻以相同的速度沿兩條不同的路徑，同時從A出發(fā)爬到B，則()A．乙比甲先到 B．甲和乙同時到 C．甲比乙先到 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)平移可得出兩螞蟻行程相同，結合二者速度相同即可得出結論．【詳解】如圖：根據(jù)平移可得兩只螞蟻的行程相同，∵甲、乙兩只螞蟻的行程相同，且兩只螞蟻的速度相同，∴兩只螞蟻同時到達．故選B.【點睛】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，結合圖形找出甲、乙兩只螞蟻的行程相等是解題的關鍵．【即學即練】如圖是一塊長方形的場地，長，寬，從、兩處入口的中路寬都為，兩小路匯合處路寬為，其余部分種植草坪，則草坪面積為（）A．m2 B．m2 C．m2 D．m2【答案】B【詳解】解：由圖可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一個新的矩形，且它的長為：（102-2）米，寬為（51-1）米．所以草坪的面積應該是長×寬=（102-2）（51-1）=5000（米2）．故選B．【即學即練】如圖，△ABC沿著由點B到點E的方向，平移到△DEF，已知BC=5．EC=3，那么平移的距離為()A．2 B．3 C．5 D．7【答案】A【詳解】試題分析：觀察圖象，發(fā)現(xiàn)平移前后，B、E對應，C、F對應，根據(jù)平移的性質(zhì)，易得平移的距離=BE=5﹣3=2．故選A．考點：平移的性質(zhì)．【即學即練】如圖，已知∠1＝75°，將直線m平行移動到直線n的位置，則∠2﹣∠3＝_____°．【答案】105【分析】直接利用平移的性質(zhì)結合三角形外角的性質(zhì)得出答案．【詳解】由題意可得：m∥n，則∠CAD+∠1=180°．∵∠3=∠4，∴∠4+∠CAD=∠2，∴∠2﹣∠3=∠CAD+∠3﹣∠3=∠CAD=180°﹣∠1=180°﹣75°=105°．故答案為105．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，正確轉(zhuǎn)化角的關系是解題的關鍵．【即學即練】某賓館在重新裝修后，準備在大廳的主樓梯上鋪上紅色地毯，已知這種紅色地毯的售價為每平方米32元，主樓道寬2米，其側面與正面如圖所示，則購買地毯至少需______元．【答案】512元【分析】根據(jù)題意，結合圖形，先把樓梯的橫豎向上向左平移，構成一個矩形，再求得其面積，則購買地毯的錢數(shù)可求．【詳解】解：利用平移線段，把樓梯的橫豎向上向左平移，構成一個長方形，長寬分別為5米，3米，∴地毯的長度為5＋3＝8(米)，∴地毯的面積為8×2＝16(平方米)，∴買地毯至少需要16×32＝512(元)【點睛】本題考查平移性質(zhì)的實際運用．解決此題的關鍵是要利用平移的知識，把要求的所有線段平移到一條直線上進行計算．【即學即練】如圖,在長方形草地內(nèi)修建了寬為2米的道路,則草地面積為_______米2．【答案】144【分析】先求出道路的總長度，進而求出道路的面積，最后用總面積減去道路的面積即可．【詳解】解：由圖形得到了的總長度為20+10-2=28米，所以道路的總面積為28×2=56米2，所以草地面積為20×10-56=144米2．故答案為：144【點睛】本題考查了請不規(guī)則圖形的面積，根據(jù)題意求出道路的總長度是解題關鍵，注意應減去重合的部分．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．下列圖形中，能將其中一個三角形平移得到另一個三角形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平移的性質(zhì)，結合軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換和位似圖形的定義判斷得出即可．【詳解】A、可以通過平移得到，故此選項正確；

B、可以通過旋轉(zhuǎn)得到，故此選項錯誤；

C、是位似圖形，故此選項錯誤；

D、可以通過軸對稱得到，故此選項錯誤；

故選A．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)以及軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換和位似圖形，正確把握定義是解題的關鍵．2．如圖，直線a，b被直線c所截，a//b，∠1=60°，則∠2的度數(shù)是（）A．120° B．60° C．45° D．30°【答案】B【解析】分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得解.詳解：∵a//b∴∠1=∠2又∵∠1=60°，∴∠2=60°故選B.點睛：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.3．如圖，將一張含有角的三角形紙片的兩個頂點疊放在矩形的兩條對邊上，若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠2=∠3=44°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可得∠3=∠1+30°，進而得出結論．詳解：如圖，∵矩形的對邊平行，∴∠2=∠3=44°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故選A．點睛：本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運用，解題時注意：兩直線平行，同位角相等．4．如圖，∠1＝∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB＝2：1，則∠D的度數(shù)是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】A【分析】先證明DC∥AB，得到∠D+∠DAB＝180°，再根據(jù)∠D：∠DAB＝2：1即可求解．【詳解】解：∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠CAB，∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠2，∴DC∥AB，∴∠D+∠DAB＝180°，又∵∠D：∠DAB＝2：1，∴∠D＝180°×＝120°．故選：A【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理是解題關鍵．5．如圖，直線，將一塊含角（）的直角三角尺按圖中方式放置，其中和兩點分別落在直線和上．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用平行線的性質(zhì)結合三角形內(nèi)角和定理得出答案．【詳解】解：直線，，，，，．故選C．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和定理，這是幾何中的必考點，必須熟練掌握.6．如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐彎處的∠A是72°，第二次拐彎處的角是∠B，第三次拐彎處的∠C是153°，這時道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠B等于()A．81° B．99° C．108° D．120°【答案】B【詳解】試題解析：過B作BD∥AE，∵AE∥CF，∴BD∥CF，∴∵，∴則故選B.7．下列說法不正確的是()A．若兩個相等的角有一組邊平行,則另一組邊也平行B．兩條直線相交,所成的兩組對頂角的平分線互相垂直C．兩條平行線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角的平分線互相垂直D．經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行【答案】A【分析】根據(jù)對頂角的定義，平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)分別進行分析即可．【詳解】A、若兩相等的角有一邊平行，則另一邊也互相平行或者相交，所以說法錯誤；B、兩條直線相交，所成的兩組對頂角的平分線互相垂直，正確；C、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直，正確；D、經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，正確，故選A．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解對頂角的定義，平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)等知識，難度不大．題組B能力提升練1．把命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”改成“如果……那么……”的形式：____________________【答案】如果兩直線平行，那么內(nèi)錯角相等【分析】根據(jù)命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的題設和結論進行分析解答即可.【詳解】把命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”改寫成“如果那么”的形式為：如果兩直線平行，那么內(nèi)錯角相等.【點睛】知道命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的題設是“兩直線平行”，結論是“內(nèi)錯角相等”是解答本題的關鍵.2．如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，在A，B，C三處經(jīng)過三次拐彎，此時道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行(即AE∥CD)，若∠A=120°，∠B=150°,則∠C的度數(shù)是________【答案】150°【詳解】如圖，過點B作BG∥AE，因為AE∥CD，所以AE∥BG∥CD.所以∠A=∠2，∠1+∠C=180°.因為∠A=120°，所以∠2=120°，所以∠1=150°-120°=30°.所以∠C=180°-30°=150°，故答案為150°.3．如圖，三角板直角頂點落在長方形紙片的一邊上，∠1＝35°，則∠2＝_____°．【答案】55．【分析】由平角的定義求出∠3＝55°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，∴∠3＝55°，∵AB//CD∴∠2＝∠3＝55°，故答案是：55．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．兩直線平行，同位角相等的應用是解此題的關鍵．4．如圖所示，把長方形ABCD沿EF折疊，若∠1＝48°，則∠AEF等于______．【答案】114°【解析】【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)求出∠2和∠3，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠AEF+∠2=180°，代入求出即可．【詳解】根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠2=∠3=（180°-∠1）=×（180°-48°）=66°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF+∠2=180°，∴∠AEF=114°，故答案為：114°．【點睛】本題考查了矩形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，折疊性質(zhì)的應用，關鍵是求出∠2的度數(shù)和得出∠AEF+∠2=180°．5．在下列解題過程的空白處填上適當?shù)膬?nèi)容（推理的理由或數(shù)學表達式）如圖，已知AB∥CD，BE、CF分別平分∠ABC和∠DCB，求證：BE∥CF．證明：∵AB∥CD，（已知）∴∠_______=∠_______．___________________________∵__________________________________________，（已知）∴∠EBC=_______，（角平分線定義）同理，∠FCB=______________．∴∠EBC=∠FCB．（等式性質(zhì)）∴BE//CF．（_____________________________________）【答案】ABCDCB兩直線平行，內(nèi)錯角相等BE平分∠ABC∠ABC∠DCB內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABC=∠DCB，求出∠EBC=∠FCB，根據(jù)平行線的判定得出即可．【詳解】∵AB∥CD（已知）∴∠ABC=∠DCB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵BE平分∠ABC（已知），∴∠EBC∠ABC（角平分線的定義）同理：∠FCB∠DCB，∴∠FBC=∠FCB（等式性質(zhì)），∴BE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為ABC；DCB；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；BE平分∠ABC；∠ABC；∠DCB；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定、角平分線的定義等知識點，能熟練地運用定理進行推理是解答此題的關鍵．6．閱讀理解，補全證明過程及推理依據(jù)．已知：如圖，點E在直線DF上，點B在直線AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：∠A＝∠F．證明：∵∠1＝∠2（已知）∠2＝∠DGF（）∴∠1＝∠DGF（等量代換）∴BD（）∴∠3+∠＝180°（）又∵∠3＝∠4（已知）∴∠4+∠C＝180°（等量代換）∴DF（