考研數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)三)模擬試卷450(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷450(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．已知當(dāng)x→0時，f(x)=arcsinx－arctanax與g(x)=bx[x－ln(1+x)]是等價無窮小，則()A．a(chǎn)=b=1。B．a(chǎn)=1，b=2。C．a(chǎn)=2，b=1。D．a(chǎn)=b≠1。正確答案：A解析：根據(jù)等價無窮小的定義，那么1－a=0，，則有a=1，b=1。故選(A)。2．設(shè)f(x)=+x，則f(x)有()A．兩條斜漸近線。B．一條水平漸近線，一條斜漸近線。C．兩條水平漸近線。D．一條斜漸近線，沒有水平漸近線。正確答案：B解析：函數(shù)f(x)無間斷點，所以不存在垂直漸近線。水平漸近線：在x→－∞方向，所以y=0為函數(shù)f(x)的一條水平漸近線。斜漸近線：所以y=2x為函數(shù)f(x)的一條斜漸近線。故選(B)。3．設(shè)f(x)是連續(xù)且單調(diào)遞增的奇函數(shù)，設(shè)F(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，則F(x)是()A．單調(diào)遞增的奇函數(shù)。B．單調(diào)遞減的奇函數(shù)。C．單調(diào)遞增的偶函數(shù)。D．單調(diào)遞減的偶函數(shù)。正確答案：B解析：令x－u=t，則F(x)=∫0x(x－2t)f(t)dt，F(xiàn)(－x)=∫0－x(－x－2t)f(t)dt，令t=－u，F(xiàn)(－x)=－∫0x(－x+2u)f(－u)du=∫0x(x－2u)f(－u)du。因f(x)是奇函數(shù)，f(x)=－f(－x)，F(xiàn)(－x)=－∫0x(x－2u)f(u)du，則有F(x)=－F(－x)為奇函數(shù)。F’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)，由積分中值定理可得∫0xf(t)dt=f(ξ)x，ξ介于0到x之間，F(xiàn)’(x)=f(ξ)x－xf(x)=[f(ξ)－f(x)]x，因為f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x＞0時，ξ∈[0，x]，f(ξ)－f(x)＜0，所以F’(x)＜0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＜0時，ξ∈[x，0]，f(ξ)－f(x)＞0，所以F’(x)＜0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減。所以F(x)是單調(diào)遞減的奇函數(shù)。4．已知函數(shù)f(x，y)滿足=0，則下列結(jié)論中不正確的是()A．f(x，y)在(0，0)點可微。B．f’x(0，0)=－2。C．f’y(0，0)=1。D．f’x(0，0)和f’y(0，0)不一定都存在。正確答案：D解析：根據(jù)多元函數(shù)可微的定義，其中A=f’x(x，y)，B=f’y(x，y)，那么有通過觀察f(x，y)在(0，0)點可微，f’x(0，0)=－2，f’y(0，0)=1，故選擇(D)。5．設(shè)，則矩陣A和B()A．合同且相似。B．合同不相似。C．相似不合同。D．既不相似，也不合同。正確答案：B解析：因為所以A的特征值為0，1，4。兩個實對稱矩陣相似的充分必要條件是特征值相同；兩個實對稱矩陣合同的充分必要條件是正負特征值的個數(shù)相同。故選(B)。6．設(shè)A，B均為3階非零矩陣，滿足AB=O，其中B=，則()A．若a=2，則r(A)=1。B．若a≠2，則r(A)=2。C．若a=－1，則r(A)=1。D．若a≠－1，則r(A)=2。正確答案：A解析：因為AB=O，所以r(A)+r(B)≤3。當(dāng)a=2時，r(B)=2，所以r(A)≤3－r(B)=1；另一方面，A為3階非零矩陣，所以r(A)≥1，從而r(A)=1。故選(A)。7．已知(X，Y)服從二維正態(tài)分布N(0，0；σ2，σ2；ρ)，則隨機變量X+Y與X－Y必()A．相互獨立且同分布。B．相互獨立但不同分布。C．不相互獨立但同分布。D．不相互獨立也不同分布。正確答案：B解析：因為(X，Y)服從二維正態(tài)分布N(0，0；σ2，σ2；ρ)，所以他們的線性組合也是正態(tài)分布，X+Y～N(0，2σ2+2ρσ2)，X－Y～N(0，2σ2－2ρσ2)，故分布不同。而Cov(X+Y，X－Y)=0，則X+Y，X－Y不相關(guān)，因為(X+Y，X－Y)仍是二維正態(tài)分布，所以不相關(guān)與獨立等價。8．設(shè)二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x，y)，其中X服從正態(tài)分布N(0，1)，且Y=X，若F(a，b)=，則()A．a(chǎn)=b=0。B．a(chǎn)=0，b＞0。C．a(chǎn)＞0，b=0。D．min{a，b}=0。正確答案：D解析：由題可得從而P{X≤min{a，b}}=，即min{a，b}=0。填空題9．=_________。正確答案：解析：該題極限形式為和式極限，則可使用夾逼定理進行計算。兩邊取極限可得，由夾逼定理可知，原極限為。10．設(shè)f(x)=xsin2x，則f(2017)(0)=_________。正確答案：－220152017解析：f(x)=xsin2x=求2017次導(dǎo)數(shù)為0，對于，根據(jù)萊布尼茨公式可得11．二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y”－2y’+5y=excos2x的通解為y(x)=_________。正確答案：ex(C1cos2x+C2sin2x)+，C1，C2為任意常數(shù)解析：該方程的齊次方程所對應(yīng)的特征方程為λ2－2λ+5=0，解得特征根為λ=1±2i，可知齊次方程的通解為ex(C1cos2x+C2sin2x)。該方程的非齊次項根據(jù)疊加原理此方程的特解可由如下兩個方程的特解相加求得．根據(jù)特征根λ=1±2i可知，方程(1)的特解可設(shè)為)，y1*=Cex，代入方程(1)解得C=，故y1*=；方程(2)的特解可設(shè)為y2*=xex(Acos2x+Bsin2x)，12．差分方程yx+1－2yx=x2的通解為_________。正確答案：C2x－x2－2x－3，C∈R解析：齊次方程yx+1－2yx=0的通解為C2x，C∈R。設(shè)非齊次方程的特解為yx*=ax2+bx+c，則a(x+1)2+b(x+1)+c－2(ax2+bx+c)=x2，整理可得－ax2+(2a－b)x+a+b－c=x2，解得a=－1，b=－2，c=－3?？芍罘址匠痰耐ń鉃镃2x－x2－2x－3，C∈R。13．設(shè)A為三階非零矩陣，已知A的各行元素和為0，且AB=0，其中B=，則Ax=0的通解為_________。正確答案：k1(1，2，3)T+k2(1，1，1)T，k1，k2為任意常數(shù)解析：因為AB=O，所以顯然有A(1，2，3)T=0；另一方面，因為A的各行元素和為0，所以A(1，1，1)T=0。又因為A為三階非零矩陣，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系的線性無關(guān)的解向量至多有兩個，所以Ax=0的通解為k1(1，2，3)T+k2(1，1，1)T，k1，k2為任意常數(shù)。14．設(shè)隨機變量X1，X2相互獨立，X1服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，X2的分布律為P{X2=1}=P{X2=－1}=，則X1X2的分布函數(shù)間斷點個數(shù)為_________。正確答案：0解析：分布函數(shù)的間斷點即概率不為0的點，令Y=X1X2∈(－∞，+∞)，由于X1，X2相互獨立。則P{Y=a}=P{X2=1，X1=a}+P{X2=－1，X1=－a}=P{X2=1}P{X1=a}+P{X2=－1}P{X1=－a}=0。解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．設(shè)f(x)連續(xù)，且滿足f(x)=(x－π)2－∫0x－πtf(x－t)dt，求f(x)。正確答案：令s=x－t，得f(x)=(x－π)2－∫πx(x－s)f(s)ds，即f(x)=(x－π)2－x∫πxf(s)ds+∫πxsf(s)ds，(1)現(xiàn)需要把它轉(zhuǎn)換成微分方程問題。(1)式兩邊求導(dǎo)得f’(x)=2(x－π)－∫πxf(s)ds，(2)又(1)式中令x=π得f(π)=0。再對(2)式求導(dǎo)得f”(x)+f(x)=2。在(2)式中令x=π得f’(π)=0。于是問題轉(zhuǎn)化為初值問題其中y=f(x)。這是二階線性常系數(shù)微分方程，顯然有常數(shù)特解y*=2，于是通解為y=C1cosx+C2sinx+2。y=f(x)=2cosx+2。16．計算二重積分，其中D是由直線x=－2，y=0，y=2以及曲線x=所圍成的平面圖形。正確答案：在直角坐標系下化為累次積分計算，選取先對x積分再對y積分的順序。題中所給區(qū)域如圖2所示：17．設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0。證明：(Ⅰ)存在一點ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2f(ξ)；(Ⅱ)存在一點η∈(a，b)，使得f’(η)=－3f(η)g’(η)。正確答案：(Ⅰ)令φ(x)=e－2xf(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，根據(jù)羅爾定理，存在一點ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－2x[f’(x)－2f(x)]且e－2x≠0，所以f’(ξ)=2f(ξ)。(Ⅱ)令h(x)=f(x)e3g(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以h(a)=h(b)=0，根據(jù)羅爾定理，存在一點η∈(a，b)，使得h’(η)=0，而h’(x)=e3g(x)[f’(x)+3f(x)g’(x)]且e3g(x)≠0，所以f’(η)=－3f(η)g’(η)。18．求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)，并求的和。正確答案：由=｜x｜3，當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)收斂；當(dāng)｜x｜＞1時，冪級數(shù)發(fā)散；當(dāng)x=1時，冪級數(shù)收斂：當(dāng)x=－1時，冪級數(shù)發(fā)散。因此該冪級數(shù)的收斂域為(－1，1]。19．假設(shè)某種商品的需求量Q是單價p(單位：元)的函數(shù)：Q=12000－80p，商品的總成本C是需求量Q的函數(shù)：C=25000+50Q，每單位商品需要納稅2元。試求使銷售利潤最大時的商品單價和最大利潤額。正確答案：以L表示銷售利潤額，則L(p)=(12000－80p)(p－2)－(25000+50Q)=－80p2+16160p－649000，L’(p)=－160p+16160，令L’(p)=0；得p=101。由于L”｜p=101=－160＜0，可見，p=101時，L有極大值，也是最大值(因為p=101是唯一駐點)。最大利潤額L｜p=101=167080(元)。20．設(shè)線性方程組已知(1，－1，1，－1)T是該方程組的一個解，試求：(Ⅰ)方程組的全部解，并用對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示全部解；(Ⅱ)該方程組滿足x2=x3的全部解。正確答案：將(1，－1，1，－1)T代入方程組，得λ=μ。對方程組的增廣矩陣施以初等行變換，得r(A)==3＜4，故方程組有無窮多解，且ξ0=為其一個特解，對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為η=(－2，1，－1，2)T，故方程組的全部解為k為任意常數(shù)。當(dāng)λ=時，有r(A)==2＜4，故方程組有無窮多解，且ξ0=為其一個特解，對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為η1=(1，－3，1，0)T，η2=(－1，－2，0，2)T，故方程組的全部解為k1，k2為任意常數(shù)。其中k2為任意常數(shù)。21．設(shè)二次型(x1，x2，x3)=4x22－3x32+2ax1x2－4x1x+3+8x2x3(其中a為整數(shù))經(jīng)過正交變換化為標準形f=y12+6y22+by32，求：(Ⅰ)參數(shù)a，b的值；(Ⅱ)正交變換矩陣Q。正確答案：(Ⅰ)二次型矩陣為A=，由二次型的標準形f=y12+6y22+6y32，可知該二次型矩陣的特征值為λ1=1，λ2=6，λ3=b，根據(jù)特征值的和與乘積的性質(zhì)可得方程組22．設(shè)隨機變量Y服從參數(shù)為λ=1的泊松分布，隨機變量Xk=k=0，1。試求：(Ⅰ)X0和X1的聯(lián)合分布律；(Ⅱ)E(X0－X1)；(Ⅲ)Cov(X0，X1)。正確答案：(Ⅰ)P{X0=0，X1=0}=P{Y≤0，Y≤1}=P{Y=0}=e－1，P{X0=1，X1=0}=P{Y＞0，Y≤1}=P{Y=1}=e－1，P{X0=0，X1=1}=P{Y≤0，Y＞1}=0，P{X0=1，X1=1}=P{Y＞0，Y＞1}=P{Y＞1}=1－P{Y=0}－P{Y=1}=1－2e－1。所以X0和X