大學數(shù)學一教案140928修訂版

北京八維研修學院

《大學數(shù)學》教案

初高中部分

2014年9月28日修訂

【課程】大學數(shù)學（基礎部分）

【模塊】一、數(shù)與式

【單元】D1數(shù)與式

【教學目標】

1.通過與溫度計的類比認識數(shù)軸，會用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)；

2.借助數(shù)軸掌握相反數(shù)，絕對值的概念，知道互為相反數(shù)的一對數(shù)在數(shù)軸上的位置關系；.

3.掌握倒數(shù)的概念與實數(shù)的加減乘除、乘方混合運算與其運算律.

4.掌握二進制與十進制的轉(zhuǎn)化。

【教學重點】

數(shù)軸的認識與實數(shù)的加減乘除、乘方混合運算.

【教學難點】

絕對值的概念與運算.

【教學方法】

這節(jié)課主要采用講練結合和小組合作的教學方法.

本節(jié)課由生活中的真實例子導入新課，引入數(shù)軸的概念.充分利用數(shù)軸講解其它相關概念。

【教學過程】

環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設計意圖

溫度計是我們?nèi)談?chuàng)設問題情

溫度計20：常生活中用來測量溫境,激發(fā)學生學

度的重要工具，你會習熱情，發(fā)現(xiàn)生

15-

讀溫度計嗎？請你嘗活中的數(shù)學.通

試讀出溫度計所表示過問題，學生感

II

導的溫度？受到點與數(shù)之間

的關系，從而由

入點表示數(shù)的感性

認識上升到理性

i認識.

一、1、由上述兩問題得到什么啟發(fā)？你能用一條直教師板書課題.學生在開放

線上的點表示有理數(shù)嗎1的環(huán)境下，大膽

在討論的基礎上的發(fā)表自己的見

歸納：先畫一條水平直線，在水平直線上取一點表動手操作，在操作的解.有的學生提

示0（叫做原點），選取某一長度作為單位長度，基礎上歸納出：可以出用射線上的點

新規(guī)定向右的方向為正方向，這就是數(shù)軸表示有理數(shù)的直線必表示有理數(shù)，但

須滿足什么條件？有人反駁，射線

課是向一方延伸，

11111114而有理數(shù)是無限

-3-2-10123

的，應該采用直

線.同時學生還

2.正數(shù)、負數(shù)在數(shù)軸的什么位置？判斷它們的大探索出，為了區(qū)

??？分正有理數(shù)和負

利用結論練習：比較下列每組數(shù)的大小，并說明理有理數(shù)，必須在

由.直線上先確定零

一2一點,即原點.同時

2與一一，5與-2

3還需要正方向以

3.2與-2有什么相同點與不相同點？它們在數(shù)軸上與像溫度計刻度

的位置有什么關系？42與一2*,5與-5呢？一樣的單位長

33度.

歸納：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)

4.絕對值的定義：為了便于研究這個性質(zhì)，我們規(guī)

新定：在數(shù)軸上，表示有理數(shù)a的點到原點的距離叫使學生通過

觀察特例，總結

做數(shù)a的絕對值記作：同(幾何定義).

出相反數(shù)的概

例1.(1)設及一斗與H+1互為相反數(shù)，求念，以與互為相

課反數(shù)的兩數(shù)在數(shù)

尤+y+3。軸上的位置關

系，從數(shù)和形兩

個側面理解相反

(2)如果2一向與互為相反數(shù)，

數(shù)。

鍛煉學生的

求必-2007。

口頭表達能力以

二、5.實數(shù)的加法規(guī)則：與文字語言與數(shù)

同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；學語言的轉(zhuǎn)化能

異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用力.

較大的絕對值減去較小的絕對值。

實數(shù)加法交換律：a+b=b+a

實數(shù)加法結合律：(。+〃)+C=。+S+C)

例2.計算

1、+3+8

2、-5+(-8)

3、-4+2

4、-5+6

6.實數(shù)的減法規(guī)則

減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)

例2.計算

1>-1-6

2、7-17

7.實數(shù)的乘法規(guī)則

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

實數(shù)乘法交換律：ab=ba

實數(shù)乘法結合律：①勿0=以歷)

實數(shù)乘法分配率：(a+")c=ac+"c

例3.計算

1、(-2)X(-1)

4

2、(-1)X(-2)X(-3)

3、(-8.1)xOx|-19.6|

8.實數(shù)的除法規(guī)則

除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

例4.計算

1、…

24

2、3+(-2)

6

3、-2.5+—

8

三、9.乘方

正數(shù)的任何次嘉都是正數(shù)，負數(shù)的奇次第是負數(shù)，

負數(shù)的偶次幕是正數(shù).

例5.計算

1,6-(-12)+|-(-3)|

2、3x(-4)+(-28)4-7

23

3、(-3)+(--)；

4

10.二進制與十進制的轉(zhuǎn)化

基本做法是，把二進制數(shù)首先寫成加權系數(shù)展開式，

然后按十進制加法規(guī)則求和。這種做法稱為"按權相

加"法。

整數(shù)采用"除2取余，逆序排列"法

課堂練習：

1.將十進制數(shù)89轉(zhuǎn)換成二進制

2.將十進制73轉(zhuǎn)換成二進制

3.將二進制110000轉(zhuǎn)換成十進制

4.將二進制轉(zhuǎn)換成十進制

學生回答問題，

1.+3,-4,-1.5,0分別在數(shù)軸的什么位置

4動手訓練

2.寫出三對非零的相反數(shù)，在數(shù)軸上將它們表示出

來，并比較其中三個負數(shù)的大小。

練

3.

習

(1)|3|=_____;(2)|1.5|=_____;(3)|-3|=_____;

(4)|-1.5|=_______;(5)|0|=______-

1.認識數(shù)軸，會用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)；共同回顧本節(jié)主簡潔明了概

要內(nèi)容，加深理解.括本節(jié)課的重要

2.掌握相反數(shù)，絕對值的概念，知道互為相反數(shù)

知識.

的一對數(shù)在數(shù)軸上的位置關系；.

小

.倒數(shù)的概念與實數(shù)的加減乘除、乘方混合運

結3

算與其運算律.

4.二進制與十進制的轉(zhuǎn)化。

2標記作業(yè).針對學生實

1.計算(—48)4-8-(--)X6

3際，對課后書面

作業(yè)實施分層設

置，安排基本練

23

2.計算42義(―)+(--)4-0.25習題。

34

3.計算(-2)3+7-(-1)

作

業(yè)

4.將十進制數(shù)79轉(zhuǎn)換成二進制

5.將二進制數(shù)101001轉(zhuǎn)換成十進制

【課程】大學數(shù)學(基礎部分)

【模塊】一、數(shù)與式

【單元】D2平方根與多項式

【教學目標】

1.掌握平方根與算術平方根，單項式與多項式的定義與運算.

2.培養(yǎng)學生逆向思考問題的能力.

3.培養(yǎng)學生勤奮、嚴格的學習習慣.

【教學重點】

平方根與算術平方根，單項式與多項式的運算.

【教學難點】

分母有理化.

【教學方法】

這節(jié)課主要采用教師帶動小組思考、總結的教學方法.

本節(jié)課由編程導入新課，通過求平方的逆向思維引出平方根與算術平方根定義，通過商場購物實例引出

單項式與多項式的定義。然后在理解定義的基礎上做運算，小組合作探討區(qū)別與聯(lián)系，體現(xiàn)教師引導，學生

小組合作思考的教學方法.

【教學過程】

環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設計意圖

案例L某同學編程后，寫出一個關于實數(shù)運算的教師分析解題的以前我們學過求

過程，得到一個數(shù)的平方，

導程序，若輸入某一個數(shù)值后，則屏幕輸出的結果現(xiàn)在我們逆向思

(1)32=9

為該數(shù)的平方.維來學習哪個數(shù)

入的平方是a,引出

(2)62=36

問(1)某同學輸入了數(shù)字3后，則他的輸出結果平方根的概念.

是多少呢？

(2)如果他的輸出結果為36,則他輸入的這

個數(shù)值是多少呢？

探究1教師板書課題.由實例的引

根據(jù)老師的引導和舉例總結平方根的定義入，進而歸納出

一、平方根平方根的定義.

新如果一個數(shù)的平方等于a,則這個數(shù)叫做a的平方

根。0的平方根只有一個是0。負數(shù)沒有平方根。

課一個正數(shù)有兩個平方根，并且這兩個平方根互為

相反數(shù)

.正(算數(shù)平方理)認識問題的一般

正數(shù)('規(guī)律：由特殊到

負〔

一般，學生很容

平方根〈00易接受.

負數(shù)無＜鍛煉學生的

練習1求下列各數(shù)的平方根口頭表達能力以

9與文字語言與數(shù)

(1)100(2)—(3)0.25

16學語言的轉(zhuǎn)化能

25力.

(4)0.04(5)121(6)一

36通過探究問題，教

二、算術平方根師強調(diào)平方根有兩個，

正數(shù)a的正的平方根叫做算數(shù)平方根我們用幾它們互為相反數(shù).算術

平方根只有一個，是正

表示，0的算術平方根是0。的.

練習2求下列各數(shù)的算術平方根

9

(1)25(2)0.64(3)—

100

149

(4)2-(5)1.44(6)—

481

新

練習3計算

⑴(可⑵⑻

課

⑶G回⑷(M

2J(-9>

(5))-J(-(76)T)”

探究2

給出下列各式，觀察計算結果能得出什么結論？

V?xM=74x9=

(1)(2)學生分組合作探

究教師提出的問題.教設置本練習

716x725=716x25=

(3)(4)師在學生分組探究的其目的為了進一

過程中要注意巡視指步強化學生對二

725x736=725x36=

(5)(6)導.次根式運算的掌

三、二次根式的乘法教師引導學生一起握.

把二次根式的乘、除法

x

^^=4ab公式總結出來。

探究3學生體會數(shù)與字

給出下列各式，觀察計算結果能得出什么結論？母轉(zhuǎn)化思想.

師：我們怎么用字增加本例為

母來表示我們分析出學生順利解答課

-x/44-V9=

(1)來的結論呢？后相關練習與習

題做基礎.

V364-V25-

(2)方法：1.先給出一組能

V164-725=

直接開方（目的：引入

(3)

7100^-716=課堂回顧上部分知識）

(4)

2.再給出一組不能直接

V94-Y/TG=開方的（目的：與①比

(5)

較，引出問題）

四、二次根式的除法

石[a“套裝等價連體衣”

忑%J1

練習44ala

V34-VsVs"?V6lb\b

(1)(2)

V24-V6V3V12

(3)(4)

練習5化簡請同學分組完成

練習4,教師巡查指導.

學生完成題目后，

老師針對共性問題再

31

課（1）79（2）耳講解.

1師：讓學生思考練習5

（3）（4）V8

的分母根號怎樣去掉.

教師引導學生做

案例1一種筆記本單價為a元，鋼筆為b元，小一個題，然后讓學生舉

紅買這種筆記本3本，鋼筆2枝，問小紅共花費一反三.

多少元？

五、單項式

由數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式稱為單項式（單學生分組，采用小

個字母或者數(shù)字也是單項式）。組合作形式完成.

六、單項式系數(shù)

單項式中的數(shù)字因數(shù)

探究4

回顧因數(shù)

如：IX2=2式子中1；2都是這式子的因數(shù)

那同理：3Xa=3a式子中3；a也都是這式子的因

數(shù)

則3a它是一個單項式（單項式的系數(shù)是數(shù)字因數(shù)）

它的系數(shù)是3

七、單項式次數(shù)

單項式中所有字母的指數(shù)和

指數(shù)：〃'指L

練習6

判斷下列各代數(shù)式是否是單項式。如果是，請指

出它的系數(shù)和次數(shù)。

①X+1；

新②一；

X

③儲.

全體學生一起回

課④。答.

八、多項式

幾個單項式的和

對比單項式與多

九、多項式的項項式（對比法）

在多項式中，每個單項式叫做多項式的項。一個

多項式含有幾項，就叫幾項式。（單獨的數(shù)字是常

數(shù)項）

十、多項式次數(shù)先判定每個單項

多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，就是這個多項式式的次數(shù)。比較大小，

的次數(shù)。次數(shù)最高的為多項式

練習7的次數(shù)。

指出下列多項式的項與次數(shù)：

(1)3x-l+3x2(2)4x3+2x-2y2

(3)x3—x+1

(4)10X4+5-3X2老師找反應慢的

學生回答.

，1

(5)-9X2--X+7

3

(6)-5+612.5x

練習8

多項式-廣工注V7廠用干口.

三次項二次項一次項常4長項

項的系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)

多項式一2-507

多項式二031-8

多項式三2037

(1)分別寫出上面三個多項式；

(2)寫出多項式一的項與次數(shù)；

(3)寫出多項式二的最高次項的系數(shù)。

1.平方根與算術平方根的定義與運算.師生共同回顧本簡潔明了概

小2.單項式與多項式的定義與運算.節(jié)主要內(nèi)容，加深理括本節(jié)課的重要

3.簡單的分母有理化解.知識，學生易于

結理解記憶.

針對學生實

1.若2%-4與3m-1是同一個數(shù)的平方根，則求標記作業(yè).際，對課后書面

作業(yè)實施必做、

m的值。選做設置，讓學

生根據(jù)自身情況

適當選擇.

作

2,計算64的平方根和算術平方根。

業(yè)

計算169的算術平方根。

4?計算256的算術平方根。

【課程】大學數(shù)學（基礎部分）

【模塊】一、數(shù)與式

【第3單元】D3整式的運算

【教學目標】

1.經(jīng)歷探索同底數(shù)幕乘、除法、幕的乘方與積的乘方運算性質(zhì)的過程，進一步體會幕的意義，發(fā)展推理

能力和

有條理的表達能力。

2、了解同底數(shù)幕乘、除法、幕的乘方與積的乘方的運算性質(zhì)，并能解決一些實際問題。。

【教學重點】

1、理解同底數(shù)幕乘、除法法則、哥的乘方與積的乘方運算性質(zhì)與其推理過程、會用其進行計算。

【教學難點】

同底數(shù)嘉的乘法、幕的乘方、積的乘方的綜合運算。

【教學方法】

這節(jié)課主要采用講練結合和小組合作的教學方法.

教學過程中，要讓學生體會代數(shù)運算性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與運用大多都是先特殊到一般，

再從一般到特殊的。教師要鼓勵學生自己發(fā)現(xiàn)積的乘方和幕的乘方的運算性質(zhì)，并要求他們會用自己的

語言進行描述，如：積的乘方等于每一個因數(shù)乘方的積。培養(yǎng)學生的語言轉(zhuǎn)換能力。

【教學過程】

環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設計意圖

細胞分裂圖：

導時間（秒）個數(shù)

01=2°

入

12=2'

22

4=2由細胞分裂

引出幕的定義

38=2)

n2"

axaxaxaxa..二優(yōu)（哥的定義）

n個

募的定義：N個相同因數(shù)a的乘積叫做乘方，

乘方的結果

案例導入：中國空軍的新殲十戰(zhàn)斗機近日試飛

成功，它每秒可以飛行1()3米，假如它飛行了

讓學生演算詳細的

1()6秒，問：它飛行了多少米？

計算過程，并引導

新學生說出每一步驟

103X106

的計算依據(jù)。

課=(10X10X10)X(10X10X10X10X10X10)引導學生歸納規(guī)

(乘方意義)律：底數(shù)不變，指

=10X10X10X10X10X10X10X10X數(shù)相加。

10(乘法結合律)

=109

知識1:同底數(shù)幕的乘法：

a"'?an=ani+n

課堂練習：

推導：屋."

1.38X39

-a-a......a-a-a........a

KY-'

----Y-----''----------2.45x47

n個

-a-a......a-a-a.......a

/

(m+n)個

=a，n+n(m,n為正整數(shù))

同底數(shù)幕的乘法：底數(shù)不變，指數(shù)相加。

課堂練習：

1.計算3139

新

2.計算45、4'

這是和數(shù)學有密切

課3.計算(-2)打(-2)4聯(lián)系的現(xiàn)實世界中

的一個問題，下面

請同學們根據(jù)幕的

4.計算3?X3-2

意義和除法的意

義，得出這個問題

案例導入的結果.

一種液體每升含有1012個有害細菌，為了試驗

某種殺菌劑的效果，科學家們進行了實驗，發(fā)老師提問，

現(xiàn)1滴殺菌劑可以殺死個此種細菌.要將這是什么樣的運算

1升液體中的有害細菌全部殺死，需要這種殺呢？

菌劑多少滴？你是怎樣計算的？(通過上面的問

題，我們會發(fā)現(xiàn)同

12個10.底數(shù)塞的除法運算

而101?109="10xl0x-xlO

=和現(xiàn)實世界有密切

]0910xlO.…xlO

9不10的聯(lián)系，因此我們

=iox10X10=1000（個）

有必要了解同底數(shù)

塞除法的運算性

根據(jù)題意，可得需要這種殺雨劑10^+109個.質(zhì).）

知識2：同底數(shù)幕的除法：（乘法的逆運算）

am^an=am-n

ni.tl課堂練習：

推導：a

2.3匕39

3.474-45

___V___J

a-a...臉a-a.......a

V-----V----->K-----Y----'

_K—'（m-n）個

課

a?施?…。

V------y------）

n個

、________

Vj

（m-n）個

=*'（m,n為正整數(shù)m>n）

同底數(shù)幕的除法：底數(shù)不變，指數(shù)相減。

課堂練習：

1.計算3-9

2.計算47-43

3.計算

4.計算（-5）、（-5-

師生共同完成

案例導入：

1、一個正方體的棱長是10cm,則它的體積是

多少？這就是說，暴

的乘方，底數(shù)不變，

2、一個正方體的棱長是102cm,則它的體積是指數(shù)相乘。注意：

(1)不要把哥的乘

多少？方性質(zhì)與同底數(shù)塞

4的乘法性質(zhì)混淆，

思考：100個10相乘怎么表示？又該怎么計暴的乘方運算，是

算呢？轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法

運算(底數(shù)不變)；

同底數(shù)幕的乘法，

師生共同總結規(guī)律，引出塞的乘方的定義是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加

知識3：塞的乘方：法運算(底數(shù)不

變)。

(am)"=a'm

推導：

?d".....:a"

於

_.+jn

—a'""

師生總結：

累的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘。這就是說，積

課堂練習：的乘方，等于把積

的每一個因式分別

1.計算

乘方，再把所得的

幕相乘。

2.計算(3「)4

3.計算(55)7

引導學生用自己的

4.計算(63)3語言敘述所發(fā)現(xiàn)的

規(guī)律，允許學生之

探究：

間互相補充，教師

下列運算過程中用到了哪些運算律？運算結果

不急于概括

有什么規(guī)律？

1、(ab)2=(ab)(ab)=(aea)(b9b)=a2b2

(ab)三__________________________(根據(jù)乘方的意義)

=_________________________(根據(jù)乘法交換律、結合律)師生總結

=________________________(根據(jù)同底數(shù)幕相乘的法則)

兩數(shù)和乘兩數(shù)差，

等于兩數(shù)平方差；

積化和，差變兩項，

知識4：積的乘方：完全平方不是它。

(ab)n=a"b"

推導：(")"

=(a-a…a)?(b?b…b)

n>t*n不—

=anb"

課堂練習：

案例導入：

已知一個長方形的長為(a+b),寬為(a-b);問：

這個長方形的面積？

回顧：多項式的乘法法則(第一個多項式的每

一項與第二個多項式的每一項相乘)

探究：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)它們的

運算形式與結果有什么規(guī)律嗎

(1)(x+1)(x-l)=

(2)(m+2)(m_2)=

(3)(2x+l)(2x-l)=

知識點5：平方差公式：練習

(a+b)(a—b)=a2—b2(D(3x+2)(3x-2)

推導：(2)(b+2a)(2a-b)

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2(3)(-x+2y)(~x-2y)

思考：學校有一塊邊長為14m的正方形場地，

準備在四個角落各建一個邊長為2m的正方形

噴水池，問：建完噴水池后場地剩余的面積？

知識點6：完全平方公式：

(a±Z?)2=a2+2ab+lx

推導：(a+加2

=(a+Z?)(a+Z?)

=a2+ab+b2

=a24-2ab+b2

(①首平方，尾平方

記憶口訣4②兩倍乘積放中央

(同為正

、③中央符號看前方_

\同為負

知識點7：分母有理化

(將分母化成有理數(shù))

整數(shù)C

有理數(shù)＜

分數(shù)、

課堂練習：對下列算式進行分母有理化

1.計算

2.計算

3.計算

4.計算

課后練習：

一、計算(募的混合運算)

1.33X362.56X54

3.7-2x754.(-2)2x(-

5.(32)3X346.44+甲

7.5-3田8.⑹了田

二、計算(平方差與完全平方)

1.(3tz+2b)x(3a-2b)

2.(括+3)x(6-3)

3.(T+揚x(正+4)

4.(-V7-V3)x(V7-V3)

5.(3a+2b)2

6.4/+8%+4

7.2/一2以+1

1.寨的定義;

小2.掌握同底數(shù)塞的乘除法、幕的乘方、積的乘

方的運算法則；

結

1.計算（一2）2*（-2）4

2.計算3?x3-2

3.計算3。+39

作

4.計算4,十4?

業(yè)

5.計算⑶）巾

6.計算（633一6一4

7.計算

8.計算

9.計算

【課程】大學數(shù)學（基礎部分）

【模塊】二、方程與等式

【單元】D4一元一次方程與二元一次方程組

【教學目標】

1.掌握一元一次方程的定義、一般形式、判定與其運算步驟.

2.掌握二元一次方程組的概念、解法與運算步驟。

3.培養(yǎng)學生靈活運用公式的能力.

4.培養(yǎng)學生勇于發(fā)現(xiàn)問題、勇于探索解決問題的方法、培養(yǎng)歸納總結的能力.

【教學重點】

一元一次方程與二元一次方程組的概念與解法。

【教學難點】

一元一次方程、二元一次方程組的判定與其運算步驟

【教學方法】

這節(jié)課主要采用講練結合和小組pk的教學方法.

本節(jié)課綜合一些實際問題討論：如何根據(jù)實際問題列一元一次方程？如何解一元一次方程。

【教學過程】

環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設計意圖

通過實例

某校三年共購買計算機140臺，去年購買數(shù)量是前年的2教師引入，讓學生

導倍，今年購買數(shù)量又是去年的2倍，前年這個學校購買了多少臺分析解題得到一元一次

計算機？的過程，方程，從而有

入得到關于了列方程的思

X的一元路，進而思考

一次方如何解一元一

程.次方程？

一.一元一次方程的定義

只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的方程叫做一元一

次方程。

新由實例的引

入，讓學生記

課通過住一元一次方

二.一元一次方程的一般形式：導入實例，程的形式，

師生互動

ax+b=0(Qw0)觀察方程

的特點，在

三.一元一次方程的判定由教師強對于oWO

1）只含有一個未知數(shù)調(diào)一元一這一點，學生

2）未知數(shù)的最高次數(shù)為1次方程的容易忽略，通

3）整式方程含義與特過討論研究，

類型一