26.1.1 反比例函數(shù) 課件 2023－2024學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

26.1.1

反比例函數(shù)1.什么叫函數(shù)？一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，如果對(duì)于x在它允許取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值，y總有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng).這樣的兩個(gè)變量之間的關(guān)系我們把它叫做函數(shù)關(guān)系.對(duì)于上述變量x、y，x叫自變量,y叫因變量,我們把y叫做x的函數(shù).2.什么是正比例函數(shù)？一般地，形如y=kx（k≠0）的函數(shù)稱做y是x的正比例函數(shù)（也即y與x成正比）復(fù)習(xí)導(dǎo)入例1、若函數(shù)y=是反比例函數(shù)，則常數(shù)m必須滿足的條件是()m(m-1)xA.m≠1B.m≠0或m≠1C.m≠0D.m≠0且m≠1D例2、如果變量z與y成正比例，y與x成反比例，那么z與x成正比例還是反比例？為什么？解：∵

變量z與y成正比例，y與x成反比例∴設(shè)

z=k1y，k2xy=(k1,k2均不為0)∴z=k1·k2x=k1k2x(k1,k2均不為0)∴z與x成反比例

小例題隨堂練習(xí)1、下列關(guān)系中，兩個(gè)量之間為反比例函數(shù)關(guān)系的是()A.正方形的面積S與邊長(zhǎng)a的關(guān)系B.正方形的周長(zhǎng)L與邊長(zhǎng)a的關(guān)系C.長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為20，其面積S與a的關(guān)系D.長(zhǎng)方形的面積為40，長(zhǎng)為a，寬為b，a與b的關(guān)系D

2、（2019?衢州一模）當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（單位：kPa）是氣體體積V（單位：m3）的函數(shù)，下表記錄了一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：P與V的函數(shù)關(guān)系式可能是（）A．P=96VB．P=-16V+11296V

V（單位：m3）11.522.53P（單位：kPa）96644838.432C．P=16V2-96V+176D．P=D3、用反比例函數(shù)關(guān)系式表示下列問(wèn)題中兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

(1)小明完成100m賽跑時(shí)，所用時(shí)間t(s)隨他跑步的平均速度v(m/s)的變化而變化；(2)三角形的面積為20，它的底邊a上的高h(yuǎn)隨底邊a的變化而變化；

(3)一個(gè)密閉容器內(nèi)有氣體0.5kg，氣體的密度ρ(kg/m3)隨容器容積V(m3)的變化而變化；(4)壓力為600N時(shí)，壓強(qiáng)p(Pa)隨受力面積S(m2)的變化而變化.100vt=(v>0)40ah=(a>0)0.5Vρ=(V>0)解：(1)(2)(3)600SP=(S>0)(4)的函數(shù)叫做

一般地，表達(dá)式形如

反比例函數(shù).(k為常數(shù)，且k≠0)kxy=其中，x是自變量，y是函數(shù).(k為常數(shù)，且k≠0)注意：1、反比例函數(shù)的比例系數(shù)

k≠0，2、反比例函數(shù)有三種表示形式：kxy=或y=kx-1或xy=k3、在實(shí)際問(wèn)題中，自變量

x≠0，函數(shù)值

y≠0.自變量x的取值范圍要保證函數(shù)有實(shí)際意義.

先看它是否能寫(xiě)成反比例函數(shù)的三種表現(xiàn)形式：再看k是否為常數(shù)且k≠0.判斷一個(gè)函數(shù)是不是反比例函數(shù)的方法，kxy=或y=kx-1或xy=k，

課堂小結(jié)知識(shí)點(diǎn)1

反比例函數(shù)的定義

C

知識(shí)點(diǎn)2

實(shí)際問(wèn)題中的反比例函數(shù)關(guān)系

C

7.（真實(shí)問(wèn)題情境）列出下列問(wèn)題中的函數(shù)解析式，并判斷它們是否為反比例函數(shù).

知識(shí)點(diǎn)3

用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式

D

123412643

☆2D

知識(shí)回顧問(wèn)題1反比例函數(shù)的圖象是什么？

問(wèn)題2反比例函數(shù)的性質(zhì)與k有怎樣的關(guān)系？①當(dāng)

k>0時(shí)，兩條曲線分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨

x的增大而減?。环幢壤瘮?shù)的圖象是雙曲線②當(dāng)

k<0時(shí)，兩條曲線分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨

x的增大而增大.③越大圖像離原點(diǎn)越遠(yuǎn).1.在反比例函數(shù)

的圖象上分別取點(diǎn)P，Q向x軸、y軸作垂線，圍成面積分別為S1，S2的矩形，填寫(xiě)下表格：?jiǎn)栴}探究PQS1S244S1=S2S1=S2=k2.若在反比例函數(shù)

中也用同樣的方法分別取

P，Q兩點(diǎn)，填寫(xiě)表格：?jiǎn)栴}探究PQS1S2S1=S2S1=S2由此，你發(fā)現(xiàn)了什么？與同伴交流.如圖所示，過(guò)反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M，N,所得的矩形PMON的面積為：S矩形PMON=|k|如圖所示，過(guò)反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)P(x,y)作x軸或y軸的垂線，垂足為Q,所得△POQ的面積為：歸納總結(jié)MNOP(x，y)P(x，y)A.SA>SB>SCB.SA<SB<SCC.SA=SB=SCD.SA<SC<SBC如圖，在函數(shù)(x＞0)的圖像上有三點(diǎn)A，B

，C，過(guò)這三點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線，過(guò)每一點(diǎn)所作的兩條垂線與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為SA

，SB，SC，則()做一做ABCyxOSASBSC

如圖所示，點(diǎn)A在反比例函數(shù)

的圖象上，AC垂直x軸于點(diǎn)C，且△AOC的面積為2，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式．解：∵點(diǎn)

A在反比例函數(shù)

的圖象上，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為典例精析又∵反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，ACyxO提示：當(dāng)反比例函數(shù)圖象在第二、四象限時(shí)，注意k＜0.練一練1.如圖，過(guò)反比例函數(shù)

圖象上的一點(diǎn)

P，作PA⊥x軸于A.

若△POA的面積為

6，則

k=

.yxOPA2.若點(diǎn)

P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

P分別作x軸、y軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)

M，N，若四邊形PMON的面積為

3，則這個(gè)反比例函數(shù)的關(guān)系式是

.或練一練yxOPNMyxOPNM例如圖，P，C是函數(shù)(x>0)圖像上的任意兩點(diǎn)，PA，CD垂直于

x軸.設(shè)

△POA的面積為

S1，則

S1=

；梯形CEAD的面積為

S2，則

S1與

S2的大小關(guān)系是

S1

S2；△POE的面積

S3和

S2的大小關(guān)系是S2

S3.2＞＝y(tǒng)xOPACDE典例精析

如圖所示，直線與雙曲線交于

A，B兩點(diǎn)，P是AB上的點(diǎn)，△

AOC的面積

S1、△

BOD的面積S2、

△

POE的面積

S3的大小關(guān)系為

.S1=S2<S3練一練所以

S1，S2，S3的大小關(guān)系為S1=S2<S3ABOCDPES1S2S3F解析：由反比例函數(shù)面積的不變性易知

S1=S2.PE與雙曲線的一支交于點(diǎn)

F，連接

OF，而

S3＞S△OFE，S△OFE

=S1=S2，易知，

函數(shù)

y=kx－k

與

的圖象大致是()D.xyODOB.xyxyA.OyC.Ox提示：由于兩個(gè)函數(shù)解析式都含有相同的系數(shù)

k，可對(duì)k的正負(fù)性進(jìn)行分類(lèi)討論，得出符合題意的答案.典例精析A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB練一練

在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)

與

y=ax+1(a≠0)的圖象可能是()

如圖是一次函數(shù)

y1=kx+b和反比例函數(shù)

的圖象，觀察圖象，當(dāng)

y1﹥y2時(shí)，x

的取值范圍為

.

－2<x<0或

x>3方法總結(jié)：對(duì)于一些題目，借助函數(shù)圖象比較大小簡(jiǎn)潔明了.解析：y1﹥y2即一次函數(shù)圖象處于反比例函數(shù)圖象的上方時(shí).觀察右圖，可知－2<x<0或

x>3.典例精析y1=kx+b－23yxO練一練

－1<x<0或

x>2如圖，一次函數(shù)y1=k1x+b(k1≠0)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，觀察圖象，當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍是

．yxOAB2-1

已知一個(gè)正比例函數(shù)與一個(gè)反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)

P(－3，4).試求出它們的解析式.∵這兩個(gè)函數(shù)的圖象交于點(diǎn)

P(－3，4)，解：設(shè)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式分別為:y=k1x和∴解得∴正比例函數(shù)的解析式為反比例函數(shù)的解析式為典例精析

反比例函數(shù)

的圖象與正比例函數(shù)

y=3x

的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為

．

(2，6)，(－2，－6)解析：聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，解方程即可.練一練y=3x－k+b=2已知

A(－4，)，B(－1，2)是一次函數(shù)

y=kx+b與反比例函數(shù)

的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，求一次函數(shù)解析式及

m的值.解：把A(－4，)，B(－1，2)代入

y=kx+b中，得

k=解得b=－4k+b=∴一次函數(shù)的解析式為

把

B(－1，2)代入

中，得

m=－1×2=－2.典例精析1.如圖所示，

P是反比例函數(shù)

的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

P

作

PB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A在y軸上，△ABP

的面積為

2，則k的值為()A.4B.2C.－2D.不確定A當(dāng)堂練習(xí)POBAxy2.反比例函數(shù)

的圖象與一次函數(shù)

y=2x+1的圖象的一個(gè)交點(diǎn)是

(1，k)，則反比例函數(shù)的解析式是_______．

當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)A.－1B．3C．1D．0Oxy

3如圖，是反比例函數(shù)

的圖象，則k的值可以是