2024年-z變換的收斂域幻燈片

§7.3z變換的收斂域主要內(nèi)容重點(diǎn)：幾種常見序列的z變換收斂域問題收斂域的定義兩種正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別方法幾種常見序列的z變換收斂域問題1一、收斂域的定義收斂的所有z值之集合為收斂域。（Regionofconvergence簡稱ROC）對(duì)于任意給定的序列x(n)，能使與拉氏變換的情況類似，對(duì)于單邊變換，序列與變換式惟一對(duì)應(yīng)，同時(shí)也有唯一的收斂域。而在雙邊變換時(shí)，不同的序列在不同的收斂域條件下可能映射為同一個(gè)變換式。下面舉例說明以上情況。2例1：已知兩序列分別為x1(n)=anu(n)，x2(n)=-anu(-n-1)，分別求它們的z變換，并確定它們的收斂域。如果|z|>a,則上面的級(jí)數(shù)收斂，這樣得到解：3

由上可知，不同的x(n)的z變換，由于收斂域不同，可能對(duì)應(yīng)于相同的z變換，故在確定z變換時(shí)，必須指明收斂域。在收斂域內(nèi)，z變換及它的各階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)函數(shù)。也就是說，z變換函數(shù)是收斂域內(nèi)每一點(diǎn)上的解析函數(shù)。4

根據(jù)級(jí)數(shù)的理論，級(jí)數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對(duì)可和條件，即要求

可以用兩種方法求級(jí)數(shù)的收斂域——比值判定法和根值判定法。51）比值判定法

所謂比值判定法就是說若有一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，令它的后項(xiàng)與前項(xiàng)的比值等于，即二、兩種正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別方法62)根值判定法

所謂根值判定法，是令正項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)的n次根等于下面利用上述判定法討論幾類序列的z變換收斂域問題71、有限長序列（有始有終序列）這類序列只在有限的區(qū)間具有非零的有限值此時(shí)z變換為當(dāng)時(shí)，收斂域?yàn)楫?dāng)時(shí)，收斂域?yàn)楫?dāng)時(shí)，收斂域?yàn)閚n2n1x[n]XX三、幾類序列的收斂域82、右邊序列:只在區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列其中為收斂半徑.可見,右邊序列的收斂域是半徑的圓外部分。9(1)n1<0n2=∞(2)n1>0n2=∞因果序列是一種特殊的右邊序列，收斂域?yàn)?03、左邊序列：只在區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列可見，左邊序列的收斂域是半徑為Rx2的圓內(nèi)部分。11(1)n1=-∞n2>0(2)n1=-∞n2<0124、雙邊序列：只在區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列圓內(nèi)收斂圓外收斂沒有收斂域有環(huán)狀收斂域13

例2：求序列x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]的z變換,并確定收斂域（b>a,b>0,a>0）。解：由例1的結(jié)果可直接得到：因?yàn)閎>a,這樣得到14Re(z)jIm(z)15思考題1.不同的