上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．做拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望為（）A．13 B．12．設(shè)集合，集合，則=（）A． B． C． D．R3．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，若的最大值為2，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．1 B． C．2 D．4．已知命題：是“直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直”的充要條件；命題：函數(shù)的最小值為4.給出下列命題：①；②；③；④，其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．45．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則的最大值為（）A．2 B． C．1 D．06．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員?面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)?緊跟時(shí)代脈搏的熱門(mén)?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專(zhuān)項(xiàng)答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過(guò)程中，“閱讀文章”不能放首位，四個(gè)答題板塊中有且僅有三個(gè)答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4327．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點(diǎn)，則下列各直線(xiàn)中，不與平面平行的是（）A．直線(xiàn) B．直線(xiàn) C．直線(xiàn) D．直線(xiàn)8．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部為（）A． B．i C．–1 D．19．對(duì)于函數(shù)，若滿(mǎn)足，則稱(chēng)為函數(shù)的一對(duì)“線(xiàn)性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”．若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線(xiàn)性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，則的最大值為（）A． B． C． D．10．若直線(xiàn)的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．11．閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25，那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫(xiě)的條件是（）A． B． C． D．12．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足i?z＝2+i，則z的共軛復(fù)數(shù)是（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則________．14．已知，圓，直線(xiàn)PM，PN分別與圓O相切，切點(diǎn)為M，N，若，則的最小值為_(kāi)_______.15．平面向量與的夾角為，，，則__________．16．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，，若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為_(kāi)________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若正數(shù)、滿(mǎn)足，求證：.18．（12分）已知集合，集合，.（1）求集合B；（2）記，且集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）若是的極值點(diǎn)，求的極大值；（2）求實(shí)數(shù)的范圍，使得恒成立.20．（12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若，求直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線(xiàn)為，的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，求證：直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)在橢圓上．21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值.22．（10分）已知橢圓：，不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn).（Ⅰ）若線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線(xiàn)的方程；（Ⅱ）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足（，分別為直線(xiàn)，的斜率），求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.2、D【解析】試題分析：由題，，，選D考點(diǎn)：集合的運(yùn)算3、B【解析】

畫(huà)出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示，，，要使得z能取到最大值，則，當(dāng)時(shí)，x在點(diǎn)B處取得最大值，即，得；當(dāng)時(shí)，z在點(diǎn)C處取得最大值，即，得（舍去）.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.4、A【解析】

先由兩直線(xiàn)垂直的條件判斷出命題p的真假，由基本不等式判斷命題q的真假，從而得出p,q的非命題的真假，繼而判斷復(fù)合命題的真假，可得出選項(xiàng).【詳解】已知對(duì)于命題，由得，所以命題為假命題；關(guān)于命題，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有最小值，所以命題為假命題.所以和是真命題，所以為假命題，為假命題，為假命題，為真命題，所以真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用，以及復(fù)合命題的真假的判斷，注意運(yùn)用基本不等式時(shí)，滿(mǎn)足所需的條件，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

作出可行域，平移目標(biāo)直線(xiàn)即可求解.【詳解】解：作出可行域：由得，由圖形知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，其截距最大，此時(shí)最大得，當(dāng)時(shí)，故選：B【點(diǎn)睛】考查線(xiàn)性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題.6、C【解析】

四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類(lèi)．【詳解】四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，考查捆綁法和插入法求解排列問(wèn)題．對(duì)相鄰問(wèn)題用捆綁法，不相鄰問(wèn)題用插入法是解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法．7、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線(xiàn)面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因?yàn)?，所以平面，故A正確.因?yàn)?，所以，所以平面故B正確.因?yàn)椋云矫?，故D正確.因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故C錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線(xiàn)面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.8、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，即可得答案.【詳解】∵，∴，∴，∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、虛部概念，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)已知有，可得，只需求出的最小值，根據(jù)，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知，與為函數(shù)的“線(xiàn)性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，所以，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.又與為函數(shù)的“線(xiàn)性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景，考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10、B【解析】

根據(jù)題意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將代入計(jì)算即可求出值．【詳解】由于直線(xiàn)的傾斜角為，所以，則故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線(xiàn)傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．11、C【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，帶入依次計(jì)算可得輸出為25時(shí)的值，進(jìn)而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知，則，，，，，此時(shí)輸出，因而不符合條件框的內(nèi)容，但符合條件框內(nèi)容，結(jié)合選項(xiàng)可知C為正確選項(xiàng)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，完善程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

兩邊同乘-i，化簡(jiǎn)即可得出答案．【詳解】i?z＝2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i，選D.【點(diǎn)睛】的共軛復(fù)數(shù)為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

項(xiàng)和轉(zhuǎn)化可得，討論是否滿(mǎn)足，分段表示即得解【詳解】當(dāng)時(shí)，由已知，可得，∵，①故，②由①-②得，∴．顯然當(dāng)時(shí)不滿(mǎn)足上式，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用求，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算，分類(lèi)討論的能力，屬于中檔題.14、【解析】

由可知R為中點(diǎn),設(shè),由過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)方程即可求得,，代入，，則在直線(xiàn)上，即可得方程為，將，代入化簡(jiǎn)可得，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),由則點(diǎn)在以為直徑的圓上，則.即可求得.【詳解】如圖，由可知R為MN的中點(diǎn)，所以，，設(shè)，則切線(xiàn)PM的方程為，即，同理可得，因?yàn)镻M，PN都過(guò)，所以，，所以在直線(xiàn)上，從而直線(xiàn)MN方程為，因?yàn)?，所以，即直線(xiàn)MN方程為，所以直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn),所以R在以O(shè)Q為直徑的圓上，所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系,考查圓的切線(xiàn)方程,定點(diǎn)和圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最值問(wèn)題,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和計(jì)算能力,難度較難.15、【解析】

由平面向量模的計(jì)算公式，直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為，所以，所以;故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量模的計(jì)算，只需先求出向量的數(shù)量積，進(jìn)而即可求出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.16、1【解析】

設(shè)，寫(xiě)出直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程后應(yīng)用韋達(dá)定理求得，由拋物線(xiàn)定義得焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，求得，再寫(xiě)出的垂直平分線(xiàn)方程，得，從而可得結(jié)論．【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線(xiàn)的方程為，據(jù)得.設(shè)，則.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)方程為，令，則，所以，所以.故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義表示出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）等價(jià)于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ），分別解出，再求并集即可；（2）利用基本不等式及可得，代入可得最值.【詳解】（1）等價(jià)于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）由（Ⅰ）得：由（Ⅱ）得：由（Ⅲ）得：.原不等式的解集為；（2），，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，.【點(diǎn)睛】本題考查分類(lèi)討論解絕對(duì)值不等式，考查三角不等式的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）由不等式可得,討論與的關(guān)系,即可得到結(jié)果；（2）先解得不等式,由集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為；當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為,進(jìn)而求解即可.【詳解】解:（1）因?yàn)?所以,當(dāng),即時(shí),；當(dāng),即時(shí),；當(dāng),即時(shí),.（2）由得,當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即；當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即；綜上,滿(mǎn)足題意的k的范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式,考查由交集的結(jié)果求參數(shù)范圍,考查分類(lèi)討論思想與運(yùn)算能力.19、（1）.（2）【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合極值存在的條件可求t，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求極大值；（2）由已知代入可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】（1），x＞0，由題意可得，0，解可得t＝﹣4，∴，易得，當(dāng)x＞2，0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極大值f（1）＝﹣3；（2）由f（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx+2≥2在x＞0時(shí)恒成立可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0時(shí)恒成立，令g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，則，（i）當(dāng)t≥0時(shí)，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min＝g（1）＝t﹣1≥0，解可得t≥1，（ii）當(dāng)﹣2＜t＜0時(shí)，g（x）在（）上單調(diào)遞減，在（0，），（1，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)g（1）＝t﹣1＜﹣1不合題意，舍去；（iii）當(dāng)t＝﹣2時(shí)，g′（x）0，即g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)g（1）＝﹣3不合題意；（iv）當(dāng)t＜﹣2時(shí)，g（x）在（1，）上單調(diào)遞減，在（0，1），（）上單調(diào)遞增，此時(shí)g（1）＝t﹣1＜﹣3不合題意，綜上，t≥1時(shí)，f（x）≥2恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及極值，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)處理不等式的恒成立問(wèn)題，分類(lèi)討論思想，屬于中檔題.20、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）直接求出直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線(xiàn)方程，得其與軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，求出直線(xiàn)和的方程，從而求得兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，證明此交點(diǎn)在橢圓上，即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程．代入驗(yàn)證即可．注意分和說(shuō)明．【詳解】解：本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的綜合，（1）由題知，，則．因?yàn)椋?，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得故．則，直線(xiàn)的方程為．令，得，故直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）證明：因?yàn)椋?，所以．設(shè)點(diǎn)，則．設(shè)當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)直線(xiàn)與軸垂直，其直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)的方程為，即．在方程中，令，得，得交點(diǎn)為，顯然在橢圓上．同理當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)也在橢圓上．當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，即．直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程，消去得，化簡(jiǎn)并解得．將代入中，化簡(jiǎn)得．所以?xún)芍本€(xiàn)的交點(diǎn)為．因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，則，所以點(diǎn)在橢圓上．綜上所述，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)在橢圓上．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題，解題方法是解析幾何的基本方程，求出直線(xiàn)方程，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線(xiàn)方程驗(yàn)證點(diǎn)在曲線(xiàn)．本題考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）直接代入再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（Ⅱ）先得到，再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得．【