專題07 等腰三角形存在性問題（解析版）

專題07等腰三角形存在性問題一、知識(shí)導(dǎo)航等腰三角形存在性問題【問題描述】如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,3），在x軸上取點(diǎn)C使得△ABC是等腰三角形．【幾何法】“兩圓一線”得坐標(biāo)（1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；（2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB．【注意】若有三點(diǎn)共線的情況，則需排除．作圖并不難，問題是還需要把各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)算出來，可通過勾股或者三角函數(shù)來求．同理可求，下求．顯然垂直平分線這個(gè)條件并不太適合這個(gè)題目，如果A、B均往下移一個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,2）時(shí)，可構(gòu)造直角三角形勾股解：而對(duì)于本題的，或許代數(shù)法更好用一些．

【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等（1）表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），又A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1）、B點(diǎn)坐標(biāo)（4,3），（2）表示線段：，（3）分類討論：根據(jù)，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐標(biāo)為．【小結(jié)】幾何法：（1）“兩圓一線”作出點(diǎn)；（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長(zhǎng)，由線段長(zhǎng)得點(diǎn)坐標(biāo)．代數(shù)法：（1）表示出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A、B、C；（2）由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AC、BC；（3）根據(jù)題意要求?、貯B=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．問題總結(jié)：（1）兩定一動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)可在直線上、拋物線上；（2）一定兩動(dòng)：兩動(dòng)點(diǎn)必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長(zhǎng)度列方程求解；（3）三動(dòng)點(diǎn)：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口．二、典例精析如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；（3）拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．【分析】（1）；（2）可用鉛垂法，當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為時(shí)，△ADE面積最大，最大值為14；（3）這個(gè)問題只涉及到A、E兩點(diǎn)及直線x=-1（對(duì)稱軸）①當(dāng)AE=AP時(shí)，以A為圓心，AE為半徑畫圓，與對(duì)稱軸交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)．∵AE=，∴，又AH=3，∴，故、．②當(dāng)EA=EP時(shí)，以E點(diǎn)為圓心，EA為半徑畫圓，與對(duì)稱軸交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)．過點(diǎn)E作EM垂直對(duì)稱軸于M點(diǎn)，則EM=1，，故、．③當(dāng)PA=PE時(shí)，作AE的垂直平分線，與對(duì)稱軸交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)．設(shè)，，∴，解得：m=1．故．綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為、、、、．【補(bǔ)充】“代數(shù)法”用點(diǎn)坐標(biāo)表示出線段，列方程求解亦可以解決．三、中考真題演練1．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；【分析】（1）將，代入，求出,即可得出答案；（2）分別以點(diǎn)為頂點(diǎn)、以點(diǎn)為頂點(diǎn)、當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)，計(jì)算即可；【詳解】（1）解：（1）∵，兩點(diǎn)在拋物線上，∴解得，，∴拋物線的解析式為：；（2）令，∴，由為等腰三角形，如圖甲，

當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，∴；當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，是等腰中線，∴，∴；當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為或，∴綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或．2．（2023·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；(3)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（請(qǐng)?jiān)趫D中探索）．【詳解】（1）解：由題意得，，∴，∴；（3）解：設(shè)，，∵，∴，由得，∴，∴．3．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)②過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，再過點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接，問：是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，可得：，解得：，即：，；（2）②存在，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．理由如下：由①可知，由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵軸，∴，，則，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）此時(shí)，即點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）此時(shí)：，即點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．4．（2023·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)B在拋物線上，過點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C、當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求出此三角形的邊長(zhǎng)；【詳解】（1）解：由題意可得：，解得：，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；當(dāng)時(shí)，，則頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（2）解：如圖：過點(diǎn)M作交于D設(shè)點(diǎn)，則,∴，∵是等邊三角形,∴,∴,即，解得：或（舍去）∴，，∴該三角形的邊長(zhǎng)．5．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；【分析】（1）由題得拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入求，進(jìn)而得拋物線的解析式；設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入求，，進(jìn)而得直線的解析式．（2）由題得，分別求出，，，對(duì)等腰中相等的邊進(jìn)行分類討論，進(jìn)而列方程求解；【詳解】（1）解：拋物線過點(diǎn)，，拋物線的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入上式，得，．拋物線的表達(dá)式為，即．設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入上式，得，解得．直線的表達(dá)式為．（2）解：點(diǎn)在直線上，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，①若，則，即，解得．②若，則，即，解得或（舍去）．③若，則，即，解得（舍去）或．綜上，或或．6．（2023·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，直線與拋物線交于B，C兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若是以為腰的等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)，分和兩種情況，分別根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式列方程求解即可；【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：設(shè)，根據(jù)題意，是以為腰的等腰三角形，有兩種情況：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，

∵，∴；當(dāng)時(shí)，則，∴，整理，得，解得，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上，滿足題意的點(diǎn)B的坐標(biāo)為或或；7．（2023·四川涼山·中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線過拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．①當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值和的最大值；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；②或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出，進(jìn)而求出直線的解析式為，則，進(jìn)一步求出，由此即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案；②設(shè)直線與x軸交于H，先證明是等腰直角三角形，得到；再分如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，如圖3-3所示，當(dāng)時(shí)，三種情況利用等腰三角形的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，在中，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，∴，∴，∴拋物線解析式為（2）解：①∵拋物線解析式為，點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，∵直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；②設(shè)直線與x軸交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作于G，則∴點(diǎn)G為的中點(diǎn)，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，則是等腰直角三角形，∴，即，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5，∴，解得或（舍去），∴如圖3-3所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作于G，同理可證是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判斷，一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．8．（2023·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】(1)(2)取得最大值為，(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；（2）直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則，則，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到，，勾股定理分別表示出，進(jìn)而分類討論即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，．代入得，解得：，∴拋物線解析式為：，（2）∵與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，解得：，∴,∵．設(shè)直線的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

設(shè)，則，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，，∴；（3）∵拋物線將該拋物線向右平移個(gè)單位，得到，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到∵平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，令，則，∴,∴∵為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，∴，，當(dāng)時(shí)，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，解得：綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長(zhǎng)問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（3）分兩種情況當(dāng)∠BPM=90°和當(dāng)∠PBM=90°兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線解析式為；（3）解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，∠BPM=90°時(shí)，過點(diǎn)P作軸，過點(diǎn)M作MF⊥EF于F，過點(diǎn)B作BE⊥EF于E，∵△PBM是以PB為腰的等腰直角三角形，∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，∴∠FMP=∠EPB，∴△FMP≌△EPB（AAS），

∴PE=MF，BE=PF，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），∴，∴，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1-m，m-2），∵點(diǎn)M在拋物線上，∴，

∴，∴，解得或（舍去），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）；同理當(dāng)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方，∠BPM=90°時(shí)可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，∠PBM=90°時(shí)，過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)P作PE⊥EF于E，過點(diǎn)M作MF⊥EF于F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），同理可證△PEB≌△BFM（AAS），∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3-m，-2），∵點(diǎn)M在拋物線上，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，-2）；如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方，∠PBM=90°時(shí)，同理可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，2）；綜上所述，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）或（，-2）或（，2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·廣西河池·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L1：y＝ax2+2x+b與x軸交于兩點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．(1)求拋物線L1的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)若將拋物線L1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得拋物線L2，其中C，D兩點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別記作M，N．問：在拋物線L2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以B，M，P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，拋物線頂點(diǎn)(3)【分析】