專題07 三角形中三邊關(guān)系、高線、中線、角平分線、內(nèi)角和定理、外角定理壓軸題十三種模型全攻略（解析版）

專題07三角形中三邊關(guān)系、高線、中線、角平分線、內(nèi)角和定理、外角定理壓軸題十三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一三角形的穩(wěn)定性】 1【考點(diǎn)二構(gòu)成三角形的條件】 3【考點(diǎn)三確定第三邊的取值范圍】 5【考點(diǎn)四畫三角形的高】 6【考點(diǎn)五與三角形的高有關(guān)的計算問題】 8【考點(diǎn)六根據(jù)三角形中線求長度】 10【考點(diǎn)七根據(jù)三角形的中線求面積】 13【考點(diǎn)八三角形角平分線的定義】 15【考點(diǎn)九三角形內(nèi)角和定理的證明】 17【考點(diǎn)十與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】 20【考點(diǎn)十一與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】 22【考點(diǎn)十二三角形的外角的定義及性質(zhì)】 24【考點(diǎn)十三利用網(wǎng)格求三角形面積】 26【過關(guān)檢測】 29【典型例題】【考點(diǎn)一三角形的穩(wěn)定性】例題：（2023春·山西晉中·七年級統(tǒng)考期末）如圖，學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬護(hù)欄是由多個鋼管焊接的三角形組成的，這里面蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是（

）

A．同位角相等，兩直線平行 B．三角形具有穩(wěn)定性C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．垂線段最短【答案】B【分析】學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬護(hù)欄做成三角形的形狀，利用三角形不變形即三角形的穩(wěn)定性，從而可得答案．【詳解】解：因為學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬都用鋼管焊接成三角形，所以這樣做的數(shù)學(xué)原理是利用了三角形的穩(wěn)定性，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的穩(wěn)定性是實際應(yīng)用，掌握“三角形具有穩(wěn)定性”是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）下列生活實例中，利用了“三角形穩(wěn)定性”的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可．【詳解】解：選項B中搖椅的支架上有三角形，其余選項中都沒有三角形，由三角形的穩(wěn)定性可知，選項B利用三角形的穩(wěn)定性，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·湖北武漢·八年級?？计谥校┮韵律瞵F(xiàn)象不是利用三角形穩(wěn)定性的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】窗框與釘上的木條形成三角形，是利用三角形穩(wěn)定性；張開的梯腿地面形成三角形，是利用三角形穩(wěn)定性；伸縮門的結(jié)構(gòu)是平行四邊形，不是利用三角形穩(wěn)定性；張開的馬扎腿形成三角形，是利用三角形穩(wěn)定性．【詳解】A、木窗框與對角釘?shù)哪緱l形成的三角形，三邊和三角固定，防止安裝變形，是利用三角形的穩(wěn)定性；B、活動梯子，張開的梯腿與地面形成三角形，三邊和三角固定，防止登上變形，是利用三角形的穩(wěn)定性；C、伸縮門的結(jié)構(gòu)是平行四邊形，四角活動可以變形開關(guān)門，是利用四邊形的不穩(wěn)定性，不是利用三角形的穩(wěn)定性；D、小馬扎的座面與張開的馬扎腿形成三角形，三邊與三角固定，防止坐上變形，是利用三角形的穩(wěn)定性．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握生活現(xiàn)象構(gòu)成的幾何圖形，三角形的穩(wěn)定性，四邊形的不穩(wěn)定性．3．（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是一座鋼架橋，它的支撐部分采用了三角形結(jié)構(gòu)，起到了堅固和穩(wěn)定的作用，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是_______．【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進(jìn)行解答即可．【詳解】解：鋼架橋的支撐部分采用了三角形結(jié)構(gòu)，起到了堅固和穩(wěn)定的作用，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是三角形具有穩(wěn)定性．故答案為：三角形具有穩(wěn)定性【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的穩(wěn)定性，熟知三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二構(gòu)成三角形的條件】例題：（2023秋·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）下列長度的三條線段能組成三角形的是（

）A．4，5，9 B．5，6，10 C．2，3，6 D．6，6，12【答案】B【分析】三角形的三條邊必須滿足：任意兩邊之和第三邊，任意兩邊之差第三邊．【詳解】解：A、，不能組成三角形，不符合題意；B、，能組成三角形，符合題意；C、不能組成三角形，不符合題意；D、，不能組成三角形，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對三角形三邊關(guān)系的理解應(yīng)用．判斷是否可以構(gòu)成三角形，只要判斷兩個較小的數(shù)的和最大的數(shù)就可以．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）以下列各組數(shù)為邊長，不能構(gòu)成三角形的是（）A．3，4，5 B．3，3，5 C．1，3，5 D．6，8，10【答案】C【分析】根據(jù)兩邊之和大于第三邊判斷即可.【詳解】解：，能構(gòu)成三角形，故A選項不符合題意；，能構(gòu)成三角形，故B選項不符合題意；，不能構(gòu)成三角形，故C選項符合題意；，能構(gòu)成三角形，故D選項不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷是否構(gòu)成三角形，掌握兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵.2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）以下列每組數(shù)為長度（單位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（

）A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐項判斷即可得．【詳解】解：A、，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能搭成三角形，則此項不符合題意；B、，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能搭成三角形，則此項不符合題意；C、，滿足三角形的三邊關(guān)系，能搭成三角形，則此項符合題意；D、，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能搭成三角形，則此項不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊．【考點(diǎn)三確定第三邊的取值范圍】例題：（2023春·黑龍江綏化·七年級校聯(lián)考期中）若一個三角形的兩邊長是4和9，且周長是偶數(shù)，則第三邊長為_______．【答案】7或9或11【分析】設(shè)第三邊為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：，然后再根據(jù)第三邊是偶數(shù)，確定a的值即可．【詳解】解：設(shè)第三邊為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：．即：，∵周長是偶數(shù)，∴第三邊的長為奇數(shù)，即：或或．∴第三邊長為7或9或11．故答案為：7或9或11．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西西安·七年級西安市第二十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三角形的兩邊長分別是2、7，若第三邊長為奇數(shù)，則此三角形第三邊的長是______．【答案】7【分析】首先設(shè)第三邊長為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，然后再確定x的值即可．【詳解】解：設(shè)第三邊長為x，∵兩邊長分別是2和7，∴，即：，∵第三邊長為奇數(shù)，∴，故答案為：7．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知一個三角形的第一條邊長為，第二條邊長為(1)求第三條邊長的取值范圍；（用含，的式子表示）(2)若，滿足，第三條邊長為整數(shù)，求這個三角形周長的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理即可得出結(jié)論；（1）根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性可確定，的值，從而得出的最大值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵三角形的第一條邊長為，第二條邊長為，∴第三條邊長的取值范圍是，即，∴第三條邊長的取值范圍是；（2）∵，滿足，第三條邊長為整數(shù)，∴，∴，∴，即，則三角形的周長為：，∵為整數(shù)，∴可取最大值為，此時這個三角形周長的最大值為，∴這個三角形周長的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，絕對值和平方的非負(fù)性，不等式組的整數(shù)解，三角形的周長．掌握三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四畫三角形的高】例題：（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學(xué)考試）下列各圖中，正確畫出邊上的高的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形高的定義判斷即可得到答案．【詳解】解：中邊上的高即為過點(diǎn)B作的垂線段，該垂線段即為邊上的高，四個選項中只有選項D符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高線定義，解題的關(guān)鍵是熟知過三角形一個頂點(diǎn)作對邊的垂線得到的線段叫三角形的高．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？计谥校┫旅嫠膫€圖形中，線段是的高的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形的高的定義逐項分析即可解答．【詳解】解：A．線段是的高，選項不符合題意；B．線段是的高，選項不符合題意；C．線段是的高，選項不符合題意；D．線段是的高，選項符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的高的定義，從三角形的一個頂點(diǎn)到它的對邊作一條垂線，頂點(diǎn)到垂足之間的線段叫做三角形的高．2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，，，，點(diǎn)，，是垂足，下列說法錯誤的是（

）A．中，是邊上的高 B．中，是邊上的高C．中，是邊上的高 D．中，是邊上的高【答案】B【分析】根據(jù)三角形高的定義依次判斷即可．【詳解】解：A、中，是邊上的高，故此選項正確，不符合題意；B、中，不是邊上的高，故此選項錯誤，符合題意；C、中，是邊上的高故此選項正確，不符合題意；D、中，是邊上的高，故此選項正確，不符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高的概念，應(yīng)熟記三角形的高應(yīng)具備的兩個條件：①經(jīng)過三角形的一個頂點(diǎn)，②垂直于這個頂點(diǎn)的對邊．【考點(diǎn)五與三角形的高有關(guān)的計算問題】例題：（2023春·廣東惠州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在直角三角形中，，，，，則點(diǎn)到的距離是（

）

A．3 B．4 C．5 D．【答案】D【分析】根據(jù)面積相等即可求出點(diǎn)C到的距離．【詳解】解：∵在直角三角形中，，∴，∵，，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離，求直角三角形斜邊上的高，用面積法列出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東惠州·八年級校考期中）如圖，，分別是的高，，，，求的長．

【答案】．【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可求得．【詳解】解：，分別是的高，∴，∴，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式的應(yīng)用；三角形的面積底高．2．（2023春·廣東佛山·七年級?？茧A段練習(xí)）三角形如圖，的邊上的高為，中線為邊上的高為，已知，，．

(1)求的面積；(2)求的長；(3)和的面積有何關(guān)系？【答案】(1)30(2)(3)和的面積相等【分析】（1）利用面積公式進(jìn)行計算即可；（2）利用面積公式進(jìn)行求解即可；（3）利用中線平分面積，作答即可．【詳解】（1）解：的面積；（2）∵的面積，，∴；（3）∵為的中線，∴，∵的邊上的高為，∴．即：和的面積相等．【點(diǎn)睛】本題考查與三角形的高和中線有關(guān)的計算．熟練掌握高線和中線的定義，以及中線平分三角形面積，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六根據(jù)三角形中線求長度】例題：（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）如圖，是的中線，，．若的周長為16，則周長為__________．

【答案】18【分析】根據(jù)三角形的中線的概念得到，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：是的中線，，的周長為16，，，，，．故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西咸陽·七年級咸陽市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，的周長為，，是邊上的中線，的周長比的周長大2，則的長為______．

【答案】4【分析】依據(jù)的周長為，的周長比的周長大2，可得，由此即可解題．【詳解】解：∵的周長為，，∴，∵的周長比的周長大2，∴，∴，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三角形中線的定義，解題時注意：中線分成的兩個三角形周長差等于邊長差．2．（2023春·江蘇連云港·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，為邊上的高，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接．

(1)當(dāng)為邊上的中線時，若，的面積為24，求的長；(2)當(dāng)為的角平分線時，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)4(2)【分析】（1）利用三角形的面積公式求出即可解決問題；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出和的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求出；【詳解】（1）解：是邊上的高，，的面積為24，，為邊上的中線，是的中點(diǎn)，．（2）解：為邊的高，，．．為的角平分線，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，三角形的中線與高等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于基礎(chǔ)題．【考點(diǎn)七根據(jù)三角形的中線求面積】例題：（2023春·廣東茂名·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，的面積為20，點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn)，則陰影部分的面積為（）

A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【分析】根據(jù)三角形中線平分三角形面積，先證明，再證明即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，

為中點(diǎn)，.同理可得，，.的面積為20，.，.故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與三角形中線有關(guān)的面積問題，熟知三角形中線平分三角形面積是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山西太原·七年級山西大附中?？计谥校┤鐖D，是的中線，則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)有（）（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】如圖，首先證明（設(shè)為λ），（設(shè)為μ）；進(jìn)而證明，，得到，進(jìn)而得到，此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論，運(yùn)用該結(jié)論即可解決問題【詳解】解：∵是的中線，∴；∴（設(shè)為λ），（設(shè)為μ），，∴；同理可證：，即，；∴選項（1）、（2）、（3）均成立，選項（4）不成立，故選：C．【點(diǎn)睛】該題主要考查了三角形中線的定義、三角形的面積公式等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用等底同高的兩個三角形的面積相等這一規(guī)律，來分析、判斷、推理或解答．2．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的中線，點(diǎn)E、F分別為的中點(diǎn)，若的面積為，則的面積是________．

【答案】8【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答即可．【詳解】∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，的面積為，∴．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，．∴．∴，故答案是8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積，主要利用三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，原理是等底同高的三角形面積相等．【考點(diǎn)八三角形角平分線的定義】例題：（2023·云南楚雄·統(tǒng)考一模）如圖，，平分，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，可得，再由角平分線的定義可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，即可得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∵平分，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)可角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，是的角平分線，，交AC于點(diǎn)F，已知，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義得到即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∵是的角平分線，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形角平分線的定義，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·上?！て吣昙夒A段練習(xí)）已知：如圖，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求證：BC//DE．【答案】見解析【分析】由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，再利用等量代換可得到一對內(nèi)錯角相等，即∠2＝∠3，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC//DE．【點(diǎn)睛】本題主要利用了角平分線的性質(zhì)以及內(nèi)錯角相等、兩直線平行等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用平行線的判定定理成為解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)九三角形內(nèi)角和定理的證明】例題：（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）某班學(xué)生對三角形內(nèi)角和為展開證明討論，以下四個學(xué)生的作法中，不能證明的內(nèi)角和為的是（

）A．過點(diǎn)A作 B．延長BC到點(diǎn)D，過點(diǎn)C作C．過點(diǎn)A作于點(diǎn)D D．過BC上一點(diǎn)D作，【答案】C【分析】本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題．【詳解】解：A、由，則，．由，得，故符合題意．B、由，則，．由，得，故符合題意．C、由于，則，無法證得三角形內(nèi)角和是，故不符合題意．D、由，得，，則．由，得，，由，得，故符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于”時，飛翔班的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形的內(nèi)角和等于”的是（

）A．延長至D過C作 B．過A作C．過D作 D．過P作，，【答案】C【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】A、，，，由，得，故A不符合題意；B、，，，由，得，故B不符合題意；C、，，，無法證得三角形的內(nèi)角和等于，故C符合題意；D、如圖，，，，，，，，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)的知識點(diǎn)，熟悉以上知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）下圖是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內(nèi)容．下列回答不正確的是（

）定理：三角形的內(nèi)角和為．已知：．

求證：．證明：延長到點(diǎn)，過點(diǎn)作，◎（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），___▲______（_____※______）．（平角定義），（等量代換）．A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表兩直線平行，同位角相等【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明判斷即可．【詳解】證明：延長到點(diǎn)，過點(diǎn)作，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），（兩直線平行，同位角相等）．（平角定義），（等量代換）．∴四個選項中只有B選項結(jié)論錯誤，符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的證明，平行線的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)十與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】例題：（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，過點(diǎn)作．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的性質(zhì)可求得出的度數(shù)，然后在中利用三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，∵在中，，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)．牢記三角形內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）將一副直角三角板如圖放置，已知，，，則為（

）

A．45° B．60° C．90° D．105°【答案】D【分析】由直角三角形的性質(zhì)得出，，由平行線的性質(zhì)得出，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出∠CGD的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，同理可得：，∵，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023春·陜西咸陽·七年級咸陽市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，的頂點(diǎn)D，E在的邊BC上，，，若，則的度數(shù)為（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，，∵，，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)十一與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】例題：（2023春·廣東惠州·八年級校考期中）如圖，在中，和分別平分和，若，則的大小為______．

【答案】/110度【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可求得，再由角平分線的定義可求得，從而可求．【詳解】，，和分別平分和，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是明確三角形的內(nèi)角和為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，是的平分線，，．求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為，分別列出和的內(nèi)角和等式，再根據(jù)已知條件，即可求解．【詳解】，，．，是角平分線，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義，掌握三角形內(nèi)角和為是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東佛山·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，是的角平分線，作交于點(diǎn)E，，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】利用三角形內(nèi)角和求出，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【詳解】解：∵，，，平分，，又，，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【考點(diǎn)十二三角形的外角的定義及性質(zhì)】例題：（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，已知直線，被直線，所截，且，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到的度數(shù)【詳解】解：如圖，

∵，，，∴，∵，∴，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行線和三角形外角的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇泰州·七年級泰州市海軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，若，，，則___________．【答案】/149度【分析】延長交于點(diǎn)，由三角形的外角性質(zhì)可求得的度數(shù)，再次利用三角形的外角性質(zhì)即可求的度數(shù)．【詳解】解：延長交于點(diǎn)，如圖，∵，，是的外角，，∵，是的外角，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．2．（2023·上海浦東新·?？既＃┤鐖D，已知，點(diǎn)A在上，點(diǎn)B和D在上，點(diǎn)C在的延長線上，，，則的度數(shù)是_____．

【答案】/40度【分析】利用平行線的性質(zhì)求出，再利用三角形外角的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)十三利用網(wǎng)格求三角形面積】例題：（2023春·廣東湛江·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，的三個頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，求的面積．

【答案】【分析】利用割補(bǔ)法由正方形的面積減去三個三角形的面積即可．【詳解】解：如圖，

．【點(diǎn)睛】本題考查的是求解網(wǎng)格三角形的面積，熟知割補(bǔ)法求解圖形面積是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？计谥校┫聢D為的網(wǎng)格，每一小格均為正方形，已知．

(1)畫出中邊上的中線；(2)畫出中邊上的高．(3)直接寫出的面積為_________．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)6．【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，即為所求；（2）取格點(diǎn)，連接，即為所求；（3）用直接利用面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）如圖，即為所求；

（3）；故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)畫三角形的中線和高線，求三角形的面積．熟練掌握中線和高線的定義，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)畫出中邊上的高；(2)畫出中邊上的中線；(3)直接寫出的面積為______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)4【分析】（1）根據(jù)三角形的高的定義畫出圖形即可；（2）根據(jù)三角形的中線的定義畫出圖形即可；（3）利用三角形面積公式求解．【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求；

（2）如圖，線段即為所求；（3）．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形的高，中線，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解三角形的高，中線的定義，屬于中考?？碱}型．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）“停課不停學(xué)，學(xué)習(xí)不延期”、居家網(wǎng)課期問，元元將一平板保護(hù)套展開放置在水平桌面上，如圖所示，平板能保持平穩(wěn)，這是運(yùn)用了（

）

A．三角形內(nèi)角和等于180° B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．三角形具有穩(wěn)定性 D．三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和【答案】C【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性即可解決問題．【詳解】解：由圖可知：平板能保持平穩(wěn)，這是運(yùn)用了三角形具有穩(wěn)定性，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，熟練掌握三角形的穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·河北張家口·七年級統(tǒng)考期中）已知中，，，且第三邊的長度是偶數(shù)，則的長度可以是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊，結(jié)合題中第三邊的長度是偶數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：中，，，，，又第三邊的長度是偶數(shù)，的長度是4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）已知中，若，且，則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】C【分析】由，可得出，在中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出的度數(shù)，將其代入中，可求出的度數(shù)，結(jié)合，可得出為鈍角三角形．【詳解】解：，．在中，，，，．，為鈍角三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，牢記“三角形內(nèi)角和是”是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，四個圖形中，線段是的高的圖是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用三角形高的定義即可求解．【詳解】解：A、線段不是的高，不符合題意；B、線段不是的高，不符合題意；C、線段是的高，符合題意；D、線段不是的高，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高線的定義，熟練掌握從三角形的一個頂點(diǎn)向?qū)吽谥本€作垂線，頂點(diǎn)與垂足間的線段叫做三角形的高是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·遼寧丹東·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，將含角的直角三角板按圖中位置擺放，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對頂角相等可得，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，然后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角求出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，對頂角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·四川遂寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，、分別是的高和角平分線，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．有如下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）

A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)逐項推理證明即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴；①正確；

∵，AE平分，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，則，②不正確；∵，，∴，∵，∴，③正確；∵，∴，∵，∴，④正確；綜上：正確的有①③④．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和及三角形外角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)推理證明．二、填空題7．（2023春·江西吉安·七年級校聯(lián)考期中）一個三角形的三邊長分別為，7，11，那么的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式即可求出的取值范圍．【詳解】解：三角形的三邊長分別為，7，11，即故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．8．（2023春·山西晉中·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．若，，則長為．

【答案】2【分析】利用中線分成的兩個三角形的面積相等，得到三角形的面積，再根據(jù)面積公式求得高即可．【詳解】解：連接，線段是的中線，，，，為線段的中點(diǎn)，線段是的中線，，，，故答案為：2．

【點(diǎn)睛】本題考查的三角形的面積問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中線分成的兩個三角形的面積相等．9．（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）“抖空竹”是我國獨(dú)有的一項民族傳統(tǒng)健身項目，歷史悠久，源遠(yuǎn)流長，在我國有著悠久的歷史和深厚的文化底蘊(yùn)．圖1是某同學(xué)“抖空竹”的一個瞬間，若將圖1抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：在平面內(nèi)，已知，，，則度．

【答案】85【分析】延長，交于點(diǎn)F，由三角形外角的性質(zhì)可求出，再結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：如圖，延長，交于點(diǎn)F，

∵，，∴．∵，∴．故答案為：85．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．正確作出輔助線，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．10．（2023春·江蘇泰州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，，連接，點(diǎn)、是上的點(diǎn)，且，連，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連．若的面積為6，則的面積為．

【答案】【分析】先連接，根據(jù)等高的三角形面積比等于底之比且，求得；根據(jù)得到；再根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)可得，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，

等高的三角形面積比等于底之比，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，利用了等底同高的三角形面積相等，等高的三角形面積比為底之比，熟記并能應(yīng)用是解題關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）如圖，中，是邊上的點(diǎn)，先將沿著翻折，翻折后的邊交于點(diǎn)，又將沿著翻折，點(diǎn)恰好落在上，此時，則原三角形的的度數(shù)為．

【答案】/度【分析】設(shè)度，由折疊的性質(zhì)可得度，由已知及折疊性質(zhì)得度，由三角形內(nèi)角和建立方程即可求得x的值．【詳解】解：設(shè)度，由折疊的性質(zhì)可得：度，在中，度，如最右邊一幅圖所示，由折疊性質(zhì)得度，在中，，即，解得：，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用折疊的性質(zhì)、借助三角形內(nèi)角和建立方程是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·云南臨滄·八年級統(tǒng)考期末）在中，，是邊上的高，若，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】①根據(jù)兩種情況分類討論，畫出圖形根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解題即可.【詳解】分兩種情況，①當(dāng)是銳角三角形時，如下圖：

∵是邊上的高∴，∵∴∵，②當(dāng)是鈍角三角形時，如下圖：

∵是邊上的高∴∵∵∴∴∵綜上所述,或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，能利用分類討論的方法畫圖是解題的關(guān)鍵.三、解答題13．（2023春·安徽滁州·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，為邊上的高，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接．(1)當(dāng)為邊上的中線時，若，的面積為30，求的長；(2)當(dāng)為的角平分線時，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由中線平分三角形面積可得的面積，再由面積公式即可求得的長；（2）由三角形內(nèi)角和可求得的度數(shù)，由角平分線的性質(zhì)可求得，然后在中即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：為邊上的中線，，為邊上的高，，，．（2）解：，為的角平分線，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線、角平分線、三角形內(nèi)角和及三角形外角的性質(zhì)等知識，掌握這些知識是基礎(chǔ)與關(guān)鍵．14．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，為邊延長線上一點(diǎn)，平分，為射線上一點(diǎn)，連結(jié)．

(1)求的度數(shù)．(2)若，求的度數(shù)．(3)若平分，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）根據(jù)角平分線可得的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)平角可求的度數(shù)，根據(jù)平分可求出的度數(shù)，根據(jù)平分可求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴．（2）解：由（1）可知，，∵平分，∴，∵，∴．（3）解：∵，∴，，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，外角和的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的綜合，理解圖示，掌握三角形內(nèi)角和定理，外角和的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·四川遂寧·七年級射洪中學(xué)?？计谥?/p>