專題20 全等三角形【十六大題型】（舉一反三）（解析版）

專題20全等三角形【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用全等三角形的性質(zhì)求解】 1【題型2添加一個條件使兩個三角形全等】 7【題型3結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】 11【題型4全等三角形模型-平移模型】 19【題型5全等三角形模型-對稱模型】 25【題型6全等三角形模型-旋轉(zhuǎn)模型】 29【題型7全等三角形模型-一線三等角模型】 39【題型8全等三角形模型-手拉手模型】 47【題型9構(gòu)造輔助線證明兩個三角形全等-倍長中線法】 53【題型10構(gòu)造輔助線證明兩個三角形全等-截長補短法】 61【題型11構(gòu)造輔助線證明兩個三角形全等-作平行線】 73【題型12構(gòu)造輔助線證明兩個三角形全等-作垂線】 82【題型13利用角平分線的性質(zhì)求解】 90【題型14角平分線的判定定理】 96【題型15利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決測量問題】 104【題型16利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決動點問題】 111【知識點全等三角形】知識點1全等三角形的定義和性質(zhì)1．定義：全等圖形：能夠完全重合的兩個圖形就是全等圖形．全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形．完全重合時，互相重合的點為對應(yīng)點；互相重合的角為對應(yīng)角；互相重合的邊為對應(yīng)邊．2．性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等．若，則，，．（2）全等三角形的對應(yīng)角相等．若，則，，．（3）全等三角形的周長相等，面積相等．若，則，．知識點2全等三角形的判定判定方法解釋圖形邊邊邊(SSS)三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等邊角邊(SAS)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等角邊角(ASA)兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等角角邊(AAS)兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等斜邊、直角邊(HL)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等注意：（1）全等的理解，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等的三角形，叫做全等三角形．（2）全等的表示，若，則前后對應(yīng)關(guān)系確定；若與全等，則前后對應(yīng)關(guān)系不確定．（3）在全等三角形判定中，有兩種不能判定判定三角形全等的方法：SSA和AAA．反例：在等腰中，BC邊上任取一點D，連接AD，觀察和．【題型1利用全等三角形的性質(zhì)求解】【例1】（2023·四川德陽·統(tǒng)考二模）如圖△AOB≌△ADC，∠O=∠D=90°，記∠OAD=α，∠ABO=β，當(dāng)AO∥BC時，α與β之間的數(shù)量關(guān)系為（

）．A．α+β=90° B．α+2β=180° C．α=β D．α=2β【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=AC，∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補表示出∠OBC，整理即可．【詳解】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，∴∠BAC=∠OAD=α，在△ABC中，∠ABC=∵AO∥BC，∴∠OBC=180°-∠O=180°-90°=90°，∴β+1整理得α=2β．故選：D．【變式1-1】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知下圖中的兩個三角形全等，則∠α等于（

）A．72° B．58° C．60° D．50°【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等解答即可．【詳解】解：如圖，∵兩個三角形全等，∴a，c兩邊的夾角相等，∴∠α=50°，故選：D．【變式1-2】（2023·北京海淀·校考模擬預(yù)測）圖中的小正方形邊長都相等，若△MNP≌△MFQ，則點Q可能是圖中的．

【答案】點D【分析】設(shè)圖中小正方形的邊長為1，由勾股定理可計算出△MNF的三邊長，再計算出點M、F分別與A、B、C、D四點的距離，即可作出判斷．【詳解】解：設(shè)圖中小正方形的邊長為1，∵MN=MF=2，由勾股定理得：MP=32+由于AF⊥MF，顯然點A不可能是點Q；∵MD=3∴MD=MP，∴△MNP≌△MFD，即點D是點Q；∵MB=3∴點B不是點Q；同理，點C不是點Q；∴點Q可能是圖中的點D；故答案為：點D．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理求得各線段的長度是關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF繞著斜邊AB的中點D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交AC、BC所在的直線于點P、Q．當(dāng)△BDQ為等腰三角形時，AP

【答案】256或136【分析】分類討論：①當(dāng)BD=BQ，由AC=DF=3，BC=EF=4，則AB=5，過D作DM⊥BC與M，DN⊥AC于N，利用三角形的中位線的性質(zhì)得到DM=AN=12AC=32，BD=12AB=52，DN=BM=12BC=2，可得到BQ與QM的長，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠3=90°-12∠B，易得∠2=12∠B，又Rt△ABC≌Rt△DEF，利用三角形全等的性質(zhì)得到∠EDF=∠A=90°-∠B，則∠1=12∠B，即∠1=∠2，則△CPD∽△CDA，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到PN：QM=DN：DM，代值計算可得CP，從而求得AP；②當(dāng)DB=DQ，則Q點在C點，易證△CPD∽△CDA，然后根據(jù)三角形相似的相似比即可得到CP，從而求得AP；②當(dāng)QB=QD【詳解】解：①當(dāng)BD=BQ，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，則AB=5，過D作DM⊥BC與M，DN⊥AC于N，如圖，

∵D為AB的中點，∴DM=AN=12AC=32，BD=12AB=52，∴BQ=BD=52，QM=5∴∠3=90°-12∠B而∠2+∠3=90°，∴∠2=12∠B又∵Rt∴∠EDF=∠A=90°-∠B，而∠1+∠EDF+∠2=90°，∴∠1=12∠B，即∠1=∠2∴△DQM∽△DPN，∴PN：QM=DN：DM，即PN：12=2：3∴PN=23∴AP=32+23=②當(dāng)DB=DQ，則Q點在C點，如圖，

DA=DC=52而Rt△ABC≌∴∠EDF=∠A，∴△CPD∽△CDA，∴CP：CD=CD：CA，即CP：52=52：∴CP=25∴AP=3-25③當(dāng)QB=QD，則∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如圖，

∴Rt∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=52：∴AP=25故答案為256或136或【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等．也考查了三角形全等的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及分類討論思想的運用．【題型2添加一個條件使兩個三角形全等】【例2】（2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第35-36頁告訴我們作一個三角形與已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A'B'C作法：如圖．（1）畫B'（2）分別以點B'，C'為圓心，線段AB，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點（3）連接線段A'B'，A請你根據(jù)以上材料完成下列問題：（1）完成下面證明過程（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）：證明：由作圖可知，在△A'BB∴△A'（2）這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是______．（填序號）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS【答案】（1）AB,AC,△ABC；（2）④．【分析】（1）先根據(jù)作圖可知A'（2）根據(jù)三邊對應(yīng)相等的兩個三角形是全等三角形即可得．【詳解】（1）證明：由作圖可知，在△A'BB'∴△A故答案為：AB,AC,△ABC．（2）這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是SSS，故答案為：④．【點睛】本題考查了利用SSS定理判定三角形全等，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC邊上的點．請從以下三個條件：①BD=CE；②∠B=∠C；③∠BAD=∠CAE中，選擇一個合適的作為已知條件，使得AD=AE．

(1)你添加的條件是______（填序號）；(2)添加了條件后，請證明AD=AE．【答案】(1)①（答案不唯一）(2)見解析【分析】（1）利用全等三角形的判定定理進行分析，選取合適的條件進行求解即可；（2）結(jié)合（1）進行求解即可．【詳解】（1）解：可選?、倩颌郏ㄖ贿x一個即可），故答案為：①（答案不唯一）；（2）證明：當(dāng)選取①時，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD與△ACE中，AB=AC∠B=∠C∴△ABD≌∴AD=AE；當(dāng)選?、蹠r，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD與△ACE中，∠BAD=∠CAEAB=AC∴△ABD≌∴AD=AE．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)并靈活運用．【變式2-2】（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（

）

A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形判定的條件，可得答案．【詳解】解：①AB=DE，BC=EF，AC=DF，可利用SSS判定全等；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可利用SAS判定全等；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，可利用ASA判定全等；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，屬于SSA，不能判定全等；∴能判定△ABC≌△DEF的條件有3組，故選C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

(1)請在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）______（只需選一個條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．【答案】(1)①，SSS(2)見解析【分析】(1)根據(jù)SSS即可證明△ABC≌?DEF，即可解決問題；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得可得∠A=∠EDF，再根據(jù)平行線的判定即可解決問題．【詳解】（1）解：在△ABC和△DEF中，AC=DFAB=DEBC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF，選取的條件為①，判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS．（注意：只需選一個條件，多選不得分）故答案為：①，SSS；（2）證明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，和判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．【題型3結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】【例3】（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點D，E．分別以點D，E為圓心，大于12DE長為半徑畫弧，交于∠BAC內(nèi)一點F.連結(jié)AF并延長，交BC于點G．連結(jié)DG，EG.添加下列條件，不能使BG=CG成立的是（

A．AB=AC B．AG⊥BC C．∠DGB=∠EGC D．AG=AC【答案】D【分析】根據(jù)題意可知AG是三角形的角平分線，再結(jié)合選項所給的條件逐次判斷能否得出BG=CG即可．【詳解】根據(jù)題中所給的作圖步驟可知，AG是△ABC的角平分線，即∠BAG=∠CAG．當(dāng)AB=AC時，又∠BAG=∠CAG，且AG=AG，所以△ABG≌△ACG(SAS所以BG=CG，故A選項不符合題意．當(dāng)AG⊥BC時，∠AGB=∠AGC=90°，又∠BAG=∠CAG，且AG=AG，所以△ABG≌△ACG(ASA所以BG=CG，故B選項不符合題意．當(dāng)∠DGB=∠EGC時，因為∠BAG=∠CAG，AD=AE，AG=AG，所以△ADG≌△AEG(AAS所以∠AGD=∠AGE，又∠DGB=∠EGC，所以∠AGD+∠DGB=∠AGE+∠EGC，即∠AGB=∠AGC．又∠AGB+∠AGC=90°，所以∠AGB=∠AGC=90°，則方法同（2）可得出BG=CG，故C選項不符合題意．故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分別以點A，C為圓心，大于12AC長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點O．若點O是A．22 B．4 C．3 D．【答案】A【分析】連接FC，根據(jù)基本作圖，可得OE垂直平分AC，由垂直平分線的性質(zhì)得出AF=FC．再根據(jù)ASA證明ΔFOA≌ΔBOC，那么AF=BC=3，等量代換得到【詳解】解：如圖，連接FC，則AF=∵AD∥BC，∴∠FAO=∠BCO．在ΔFOA與Δ∠FAO=∠BCOOA=OC∴Δ∴AF=BC=3，∴FC=AF=3，F(xiàn)D=AD-AF=4-3=1．在ΔFDC中，∵∠D=∴CD∴CD∴CD=22故選：A．【點睛】本題考查了作圖﹣基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．求出CF與DF是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD是矩形，以點B為圓心，BA長為半徑的半圓，交BC于點M．

(1)作線段BC的垂直平分線交BC于點O；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)以點O為圓心，以O(shè)B為半徑作⊙O，交弧AM于點E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），證明：BE⊥CE；(3)在（2）的條件下，延長線段CE交AD于點F，從條件①或者條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件，求cos∠EBC條件①：AF:DF=1:3；條件②：S△CDF注明：如果選擇條件①與條件②分別作答，按第一個解答計分．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)7【分析】（1）分別以點B，C為圓心，大于12BC的長為半徑，在BC的上下兩側(cè)畫弧，連接兩弧的交點，與BC交于點（2）以點O為圓心，以O(shè)B為半徑作⊙O，交弧AM于點E，連接CE．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角即可證明；（3）選用條件①，設(shè)AB=r，BC=a，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD∥BC，∠D=90°，AD=BC=a，AB=DC=BE=r，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得DF=EC，根據(jù)勾股定理可得DF2=CE2【詳解】（1）如圖：分別以點B，C為圓心，大于12BC的長為半徑，在BC的上下兩側(cè)畫弧，連接兩弧的交點，與BC交于點

（2）如圖：以點O為圓心，以O(shè)B為半徑作⊙O，交弧AM于點E，連接CE．

∵點O是BC的中點，∴BC是圓O的直徑，∴∠AEC=90°，即BE⊥CE．（3）如圖，設(shè)AB=r，BC=a，且AF:DF=1:3

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠D=90°，AD=BC=a，∴∠BCE=∠CFD，∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠D=90°，在△FDC和△CEB中，∠CFD=∠ECB∠D=∠CEB∴△FDC≌∴DF=EC，由勾股定理，得：CE∴DF∵AF:DF=1:3，∴DF=3∴916∴7a∴ra∴cos∠EBC=選用條件②：S△CDF則S△CDF即AF:DF=1:3，同理可得cos∠EBC=【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作垂線，畫圓，直徑所對的圓周角是直角，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，余弦的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題．【變式3-3】（2023·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？级＃┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，∠BAC為銳角．(1)將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°），在圖中求作點D的對應(yīng)點E，使得BE=1(2)在（1）的條件下，過點C作CF⊥AB于點F，連接EF，BE，若sin∠EBA=57【答案】(1)見解析(2)EF【分析】（1）以點A為圓心，AD為半徑畫弧，以點B為圓心，以BD為半徑畫弧，兩弧相交于點E，連接AE、BE，則BE即為所求；（2）先證明△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三線合一知CD=12BC，進一步證明，△ABE≌△ABD（SSS），得到∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又AF＝AF，，得到△AEF≌△ADF（SAS），EF=DF，在Rt△BCF中，sin∠EBA=CFCB=57【詳解】（1）解：如圖1所示，點E即為所求．理由是：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC∴線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°），旋轉(zhuǎn)角為∠DAE，且BE=1（2）解：如圖2，連接DF．在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴CD=1由（1）可知BE=12BC∴BE=BD，又∵AB=AB，∴△ABE≌△ABD（SSS），∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又∵AF=AF，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，∵CF⊥AB，∴在Rt△BCF中，sin∠EBA=設(shè)CF=5a，BC=7a，∵CD=1∴DF=1∴EF=7∴EFCF【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、銳角三角函數(shù)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【題型4全等三角形模型-平移模型】【例4】（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，將Rt△ABC沿BC所在直線平移得到△DEF．(1)如圖①，當(dāng)點E移動到點C處時，連接AD，求證：△CDA≌△ABC；(2)如圖②，當(dāng)點E移動到BC中點時，連接AD、AE、CD，請你判斷四邊形AECD的形狀，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）四邊形AECD是菱形，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得到∠BAC=∠DCA，從而利用SAS證明△CDA≌△ABC；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到AD//BC，AD=BE，結(jié)合點E是BC中點得到四邊形AECD為平行四邊形，再結(jié)合AE=EC可得結(jié)論.【詳解】解：（1）證明：∵ΔABC平移得到ΔDCF，∴AB//DC，AB=CD，∴∠BAC=∠DCA，在ΔABC與ΔCDA中，AB=CD∠BAC=∠DCA∴ΔABC?ΔCDA(SAS)；（2）四邊形AECD是菱形∵ΔABC平移得到ΔDEF，∴AD//BC，AD=BE，∵點E是BC中點，∠BAC=90∴AE=BE=EC=1∴AD平行且等于EC，即四邊形AECD是平行四邊形，∵AE=EC，∴平行四邊形AECD是菱形.【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，全等三角形的判定，菱形的判定，直角三角形斜邊中線定理，解題的關(guān)鍵是熟練運用平移的性質(zhì)得到判定的條件.【變式4-1】（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點A、D、C、F在同一條直線上，AB=DE，∠ABC=∠DEF．給出下列三個條件：①AC=DF，②BC=EF，③∠BAC=∠EDF．(1)請在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件序號為______，你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA(2)請用（1）中所選條件證明△ABC≌(3)△DEF可看作是由△ABC沿AC方向平移得到的，過B作BM⊥AC于M，當(dāng)AB=10，BM=8，△ABD是以BD為腰的等腰三角形時，直接寫出平移距離AD【答案】(1)②，SAS（或③，ASA）(2)見解析(3)12或25【分析】(1)根據(jù)三角形的判定定理即可解答；(2)根據(jù)(1)所選取的條件，證明三角形全等即可；(3)首先根據(jù)勾股定理可求得AM的長，再分兩種情況，即BA=BD和AD=BD，分別計算即可求得．【詳解】（1）解：已知AB=DE，∠ABC=∠DEF，故只要再添加一對角或已知相等角的邊，即可使得△ABC≌故答案為：②，SAS（或③，ASA）；（2）證明：選②，在△ABC和△DEFAB=DE∠ABC=∠DEF∴△（3）解：如圖：在Rt△ABM，∵AB=10，BM=8∴AM=A當(dāng)AB=BD時，∵△ABD是等腰三角形，BM⊥AC，∴AD=2AM=12；當(dāng)AD=BD時，設(shè)AD=BD=x，則MD=AD-AM=x-6，在Rt△BDM，B得x2解得x=25綜上，AD的長為12或253【點睛】本題考查了添加條件使三角形全等及證明，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·云南德宏·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，將△ABC沿射線AB平移4cm后能與△BDE完全重合，連接CE、CD交BE于點O，OB＝OC．(1)求證：四邊形CBDE為矩形；(2)若S△BOC＝433cm2，求∠【答案】(1)見解析(2)120°【分析】（1）由平移的性質(zhì)及ASA判定定理可證得△OCE≌△ODB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證結(jié)論．（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)及面積公式即可求得BC，進而可利用特殊三角函數(shù)值可求得∠BCD=60°，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：由題意可知：△BDE由△ABC平移后得到，∴BC//DE，且BC=DE，∴四邊形CBDE是平行四邊形，∴CE//BD，且CE=BD，∴∠ECD=∠CDB，∠CEB=∠EBD，在△OCE和△ODB中∠ECD=∠CDBCE=BD∴△OCE≌△ODB(ASA)∴OC=OD，OB=OE，又∵OB=OC，∴CD=BE，∴平行四邊形CBDE為矩形．（2）由（1）可知四邊形CBDE為矩形，∴∠CBD=90°，且BD=4cm，在△OBC中過點O作BC的垂線，垂足為F，則OF=2，∵S△BOC∴BC=43∴在Rt△CBD，tan∠BCD=BD∴∠BCD=60°，又∴在△ACD中，BC是AD的垂直平分線，∴∠ACB=∠BCD=60°，∴∠ACD=120°，∴∠ACD的度數(shù)為120°．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)、特殊三角函數(shù)值求角度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·北京門頭溝·二模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC延長線上，且DC=AC，將△ABC延BC方向平移，使點C移動到點D，點A移動到點E，點B移動到點F，得到△EFD，連接CE，過點F作FG⊥CE于G．

(1)依題意補全圖形；(2)求證：CG=FG；(3)連接BG，用等式表示線段BG，EF的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)EF=2【分析】（1）按要求作圖即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可求∠ECD=45°，再求∠CFG=90°-∠ECD=45°，即可得證；（3）連接AG、DG，可證△ACG≌△DCG，從而可得AG=DG，∠AGC=∠DGC，再證△BCG≌△DFG，從而可得BG=DG，∠BGC=∠DGF，從而可證∠AGB=90°，即可得證．【詳解】（1）解：如圖

（2）證明：由平移得：∠D=∠ACB=90°，AC=ED，∵DC=AC，∴DC=DE，∴∠ECD=1∵FG⊥CE，∴∠CGF=90°，∴∠CFG=90°-∠ECD=45°，∴CG=FG．（3）解：EF=2理由：如圖，連接AG、DG，

∵∠ACF=∠ACB=90°，∴∠ACG=∠DCG=45°，在△ACG和△DCG中AC=DC∠ACG=∠DCG∴△ACG≌△DCG(SAS)，∴AG=DG，∠AGC=∠DGC；∵∠BCG=∠ACB+∠ACG=135°，∠DFG=180°-∠CFG=135°，∴∠BCG=∠DFG；由平移得：BC=DF；在△BCG和△DFG中BC=DF∠BCG=∠DFG∴△BCG≌△DFG(SAS)，∴BG=DG，∠BGC=∠DGF，∴BG=AG，∠AGC-∠BGC=∠DGC-∠DGF，∴∠AGB=∠CGF=90°，∴AB=2∴EF=2【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，并會根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型5全等三角形模型-對稱模型】【例5】（2023·云南昆明·統(tǒng)考三模）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B、D．

(1)求證：△ABC≌△ADC；(2)若AB=4，CD=3，求BD的長．【答案】(1)證明見解析；(2)BD=24【分析】（1）由角平分線與垂直的定義可得∠BAC=∠DAC，∠ABC=∠ADC，又公共邊AC，通過AAS可證得△ABC≌△ADC；（2）由△ABC≌△ADC可得BC=DC=3，S四邊形ABCD=2S△ABC=12．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求得AC=AB2+BC2【詳解】（1）∵AC平分∠BAD∴∠BAC=∠CAD∵CB⊥AB，CD⊥AD∴∠ABC=∠ADC=90°在△ABC和△ADC中，∠ABC=∠ADC∠BAC=∠DAC∴△ABC≌△ADCAAS（2）∵△ABC≌△ADC，∴BC=DC=3，S四邊形∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=3∴AC=A∵△ABC≌△ADC，∴AB=AD，BC=DC，∴AC垂直平分BD，∴S四邊形∴12∴BD=24【點睛】本題考查三角形全等的證明與性質(zhì)，勾股定理，對角線互相垂直的四邊形的面積，熟練運用四邊形的面積求線段的長是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·重慶渝中·統(tǒng)考二模）如圖，已知∠C=∠F=90°，AC=DF，AE=DB，BC與EF交于點（1）求證：Rt△ABC≌（2）若∠A=50°，求∠BOF的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）80°．【分析】（1）由HL證明Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和180°解得∠ABC＝40°，由（1）中結(jié)論證得∠ABC＝∠DEF＝40°,最后由三角形的外角性質(zhì)解題．【詳解】證明：（1）∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．（2）∵∠C＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－50°＝40°，由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF,∴∠DEF＝40°∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝40°＋40°＝80°．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，點A、E、B、D在一條直線上，∠A=∠D，AC=DF，AE=DB．求證：∠C=∠F．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證△CAB≌△FDE即可．【詳解】解：∵AE=DB，∴AE+BE=DB+BE，即：AB=DE∵∠A=∠D，AC=DF，∴△CAB≌△FDE∴∠C=∠F【變式5-3】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考二模）如圖，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于點O．求證：OC＝OD．【答案】見解析【分析】根據(jù)HL證明Rt△ABD和Rt△BAC全等，進而利用AAS證明△AOC和△BOD全等解答即可．【詳解】證明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°．在Rt△ABD和Rt△BAC中，AD=BC,AB=BA,∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴BD＝AC，在△AOC和△BOD中，∠C=∠D,∠AOC=∠BOD,∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OC＝OD．【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明Rt△ABD和Rt△BAC全等．【題型6全等三角形模型-旋轉(zhuǎn)模型】【例6】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，點D在邊AC上，將線段DA繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到DA'，線段DA'交AB于點E，作A'F⊥AB于點F

(1)求證：△ADE≌△A(2)求證：AF?GB=AG?FC；(3)若AC=8，tanA=12，當(dāng)A'G【答案】(1)見解析(2)見解析(3)8【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DA=DA',∠ADA'（2）根據(jù)∠BFG=∠ACB=90°，可得點B，C，G，F(xiàn)四點共圓，從而得到∠CBG=∠CFG，∠ABC+∠CGF=180°，從而得到∠AGF=∠ABC，進而得到∠ACF=∠ABG，可證明△ABG∽（3）連接EG，根據(jù)AC=8，tanA=12，可得BC=4,A'D=AD=2DE，A'F=2EF，AB=45，設(shè)DE=DG=x，則A'D=AD=2x可得AE=A'G=5x，A'【詳解】（1）證明：∵線段DA繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到DA∴DA=DA∴∠A+∠AED=90°，∵A'F⊥AB，即∴∠A∵∠AED=∠AEF，∴∠A=∠A在△ADE和△A∵∠A=∠A'，∴△ADE≌△A（2）證明：∵∠BFG=∠ACB=90°，∴點B，C，G，F(xiàn)四點共圓，∴∠CBG=∠CFG，∠ABC+∠CGF=180°，∵∠AGF+∠CGF=180°，∴∠AGF=∠ABC，∵∠AGF=∠CFG+∠ACF,∠ABC=∠ABG+∠CBG，∴∠ACF=∠ABG，∵∠A=∠A，∴△ABG∽∴AGAF即AF?GB=AG?FC；（3）解：如圖，連接EG，

∵△ADE≌△A∴DE=DG，AE=A∵AC=8，tanA=∴tanA=∴BC=4,A'D=AD=2DE∴AB=45設(shè)DE=DG=x，則A'∴AE=A'G=5x∴EF=5∴FG=355∵A'G平分四邊形∴S△DEG∴12即12解得：x=4∴AD=2x=8【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)（DE<AB），∠EDF=90°，DE=DF，連接AE，CF．(1)如圖1，求證：△ADE≌△CDF；(2)直線AE與CF相交于點G．①如圖2，BM⊥AG于點M，BN⊥CF于點N，求證：四邊形BMGN是正方形；②如圖3，連接BG，若AB=4，DE=2，直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值．【答案】(1)見解析(2)①見解析②2【分析】1根據(jù)SAS證明三角形全等即可；2①②作DH⊥AG交AG于點H，作BM⊥AG于點M，證明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°．∵DE=DF，∠EDF=90°．∴∠ADC=∠EDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，DA=DC∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDFSAS（2）①證明：如圖2中，設(shè)AG與CD相交于點P．∵∠ADP=90°，∴∠DAP+∠DPA=90°．∵△ADE≌△CDF，∴∠DAE=∠DCF．∵∠DPA=∠GPC，∴∠DAE+∠DPA=∠GPC+∠GCP=90°．∴∠PGN=90°，∵BM⊥AG，BN⊥GN，∴四邊形BMGN是矩形，∴∠MBN=90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠MBN=90°．∴∠ABM=∠CBN．又∵∠AMB=∠BNC=90°，∴△AMB≌△CNB．∴MB=NB．∴矩形BMGN是正方形；②解：作DH⊥AG交AG于點H，作BM⊥AG于點M，∵∠DHA=∠AMB=90°,∠ADH=90°-∠DAH=∠BAM,AD=AB∴△AMB≌△DHA．∴BM=AH．∵AH2=A∴DH最大時，AH最小，DH∴BM由2①可知，△BGM∴BG【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．【變式6-2】（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）已知在△ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將△AOC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到△EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA，連接DE，當(dāng)AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長．

【答案】（1）AE=CF；（2）成立，證明見解析；（3）5【分析】（1）結(jié)論AE=CF．證明ΔAOE?ΔCOF(SAS)，可得結(jié)論．（2）結(jié)論成立．證明方法類似（1）．（3）首先證明∠AED=90°，再利用相似三角形的性質(zhì)求出AE，利用勾股定理求出DE即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：AE=CF．理由：如圖1中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，OC=OB，∴OA=OC=OB，AO⊥BC，∵∠AOC=∠EOF=90°，∴∠AOE=∠COF，∵OA=OC，OE=OF，∴ΔAOE?ΔCOF(SAS)，∴AE=CF．（2）結(jié)論成立．理由：如圖2中，

∵∠BAC=90°，OC=OB，∴OA=OC=OB，∵∠AOC=∠EOF，∴∠AOE=∠COF，∵OA=OC，OE=OF，∴ΔAOE?ΔCOF(SAS)，∴AE=CF．（3）如圖3中，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OE=OA，∵OA=OD，∴OE=OA=OD=5，∴∠AED=90°，∵OA=OE，OC=OF，∠AOE=∠COF，∴OAOC∴ΔAOE∽ΔCOF，∴AECF∵CF=OA=5，∴AE5∴AE=25∴DE=A【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．【變式6-3】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點A，過點B、C分別作l的垂線，垂足分別為點D、E．(1)特例體驗：如圖①，若直線l∥BC，AB=AC=2，分別求出線段BD、CE(2)規(guī)律探究：①如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A旋轉(zhuǎn)α0<α<45°，請?zhí)骄烤€段BD、CE和DE②如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α45°<α<90°，與線段BC相交于點H，請再探線段BD、CE和DE(3)嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段BD交線段AC于點F，若CE=3，DE=1，求S△BFC【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2(2)①DE=CE+BD；理由見解析；②BD=CE+DE；理由見解析(3)S【分析】（1）先根據(jù)得出∠ABC=∠ACB=90°2=45°，根據(jù)l∥BC，得出∠DAB=∠ABC=45°，∠EAC=∠ACE=45°，再根據(jù)∠BDA=∠CEA=90°，求出∠ABD=45°即可得出∠DAB=∠ABD=∠EAC=∠ACE=45°，最后根據(jù)三角函數(shù)得出AD=BD=1，AE=CE=1，即可求出DE=AD+AE=2；（2）①DE=CE+BD；根據(jù)題意，利用“AAS”證明ΔABD≌ΔCAE，得出AD=CE，BD②BD=CE+DE；根據(jù)題意，利用“AAS”證明ΔABD≌ΔCAE，得出AD=CE，BD（3）在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理求出AC=AE2+CE2=5，根據(jù)DF∥CE，得出ADAE【詳解】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=90°∵l∥BC，∴∠DAB=∠ABC=45°，∠EAC=∠ACE=45°，∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∠ACE=90°-45°=45°，∴∠DAB=∠ABD=∠EAC=∠ACE=45°，∴AD=BD=AB×sinAE=CE=AC×sin∴DE=AD+AE=2．（2）①DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE，∵AB=AC，∴ΔABD≌∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE，∵AB=AC，∴ΔABD≌∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．（3）根據(jù)解析（2）可知，AD=CE=3，∴AE=AD+DE=3+1=4，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理可得：AC=A∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴DF∥CE，∴ADAE即34解得：AF=15∴CF=AC-AF=5-15∵AB=AC=5，∴SΔ【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意證明ΔABD≌ΔCAE，是解題的關(guān)鍵．【題型7全等三角形模型-一線三等角模型】【例7】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（模型呈現(xiàn)）（1）如圖1，∠BAD=90°,AB=AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進而得到AC=_____________，BC=AE．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；

（模型應(yīng)用）（2）如圖2，∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE，連接BC,DE，且BC⊥AF于點F,DE與直線AF交于點G．求證：點G是DE的中點；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1,△DCE的面積為S2，則有S1_____________S2（填“>、【答案】（1）AC=DE；（2）見解析；（3）=?！痉治觥浚?）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進行求解；（2）分別過點D和點E作DH⊥FG于點H，EQ⊥FG于點Q，進而可得∠BAF=∠ADH，然后可證△ABF≌△DAH，則有AF=DH，進而可得DH=EQ（3）過點D作DO⊥AF交AF于O，過點E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點C作CM⊥OD交OD延長線于M，由題意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，則有△AOD≌△DMC，【詳解】解：（1）∵△ABC≌△DAE，∴AC=DE，故答案為AC=DE；（2）分別過點D和點E作DH⊥FG于點H，EQ⊥FG于點Q，如圖所示：

∴∠DAH+∠ADH=90°，∵∠BAD=90°，∴∠BAF+∠DAH=90°，∴∠BAF=∠ADH，∵BC⊥AF，∴∠BFA=∠AHD=90°，∵AB=DA，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ，∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴∠DHG=∠EQG=90°，∵∠DGH=∠EGQ∴△DHG≌△EQG，∴DG=EG，即點G是DE的中點；（3）S1如圖所示，過點D作DO⊥AF交AF于O，過點E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點C作CM⊥OD交OD延長線于M

∵四邊形ABCD與四邊形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°，∵DO⊥AF，CM⊥OD，∴∠AOD=∠CMD=90°，∠又∵∠ODA+∴∠ADO=∴△AOD≌△DMC，∴S△AOD=S同理可以證明△FOD≌△DNE，∴S△FOD=S∴MC=NE，∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∴△ENP≌△CMP，∴S△ENP∵S△ADF∴S△DCE∴S△DCE=S故答案為：=．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的兩個銳角互余及等積法，熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·重慶·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于E．

(1)當(dāng)∠BDA=115°時，∠EDC=°，∠DEC=°；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)DC等于多少時，△ABD≌(3)在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)．若不可以，請說明理由．【答案】(1)25；115；小(2)當(dāng)DC=2時，△ABD≌△DCE(3)可以；∠BDA的度數(shù)為110°或80°【分析】（1）由已知平角的性質(zhì)可得∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE，再利用三角形內(nèi)角和定理進而求得∠DEC，即可判斷點D從B向C運動過程中，∠BDA逐漸變??；（2）當(dāng)DC=2時，由已知和三角形內(nèi)角和定理可得∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，等量代換得∠ADB=∠DEC，又由AB=AC=2，可得△ABD≌△DCEAAS（3）根據(jù)等腰三角形的判定定理，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】（1）解：∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-115°-40°=25°，∠DEC=180°-∠EDC-∠C=180°-25°-40°=115°，點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變小，故答案為：25；115；小．（2）解：當(dāng)DC=2時，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵∠B=∠C，AB=DC=2，∴△ABD≌△DCEAAS（3）解：當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形；理由：∵∠BDA=110°時，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∠AED=∠C+∠EDC=30°+40°=70°，∴∠DAC=∠AED，∴△ADE是等腰三角形；∵∠BDA=80°時，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴∠DAC=∠ADE，∴△ADE的形狀是等腰三角形．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．求證：BC=AE．[模型應(yīng)用]如圖2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為________________．[深入探究]如圖3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．若BC=21，AF=12，則△ADG的面積為_____________．【答案】[模型呈現(xiàn)]見解析；[模型應(yīng)用]50；[深入探究]63【分析】[模型呈現(xiàn)]證明△ABC≌△DAE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BC=AE；[模型應(yīng)用]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=BG=3，AG=EP=6,CG=DH=4，CG=BG=3，根據(jù)梯形的面積公式計算，得到答案；[深入探究]過點D作DP⊥AG于P，過點E作EQ⊥AG交AG的延長線于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF，證明△DPG≌△EQG，得到PG=GQ.，進而求出AG，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】[模型呈現(xiàn)]證明：∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°，∵BC⊥AC,DE⊥AC，∴∠ACB=∠DEA=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠DAE，在△ABC和△DAE中，∠ABC=∠DAE∠ACB=∠DAE∴△ABC≌△DAE(AAS∴BC=AE；[模型應(yīng)用]解：由[模型呈現(xiàn)]可知，△AEP≌△BAG,△CBG≌△DCH，∴AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3，則S實線圍成的圖形故答案為：50；[深入探究]過點D作DP⊥AG于P，過點E作EQ⊥AG交AG的延長線于Q，由[模型呈現(xiàn)]可知，△AFB≌△DPA,△AFC≌△EQA，∴DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF，在△DPG和△EQG中，∠DPG=∠EQG∠DGP=∠EGQ∴△DPG≌△EQG(AAS∴PG=GQ，∵BC=21，∴AQ+AP=21，∴AP+AP+PG+PG=21，∴AG=AP+PG=10.5，∴S△ADQ故答案為：63．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算，熟記三角形確定的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023下·山東威?！ひ荒＃┮阎篊D是經(jīng)過∠BCA的頂點C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進行證明；若不成立，寫出新結(jié)論并進行證明．【答案】（1）①EF=BE-AF；②∠α+∠BCA=180°，理由見解析；（2）不成立，EF=BE+AF，證明見解析【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°,∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)論；②求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)論;（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系：EF=BE-AF，證明：當(dāng)α=90°時，∠BEC=∠CFA=90°，∵∠BCA=90°,∴∠BCE＋∠ACF=90°,∵∠BCE＋∠CBE=90°，∴∠ACF=∠CBE，∵AC=BC,∴△BCE≌△CAF,∴BE=CF,CE=AF,∵CF=CE＋EF,∴EF=CF-CE=BE-AF；②∠α與∠BCA關(guān)系：∠α+∠BCA=180°當(dāng)∠α+∠BCA=180°時，①中結(jié)論仍然成立;理由是：如題圖2，∵∠BEC=∠CFA=∠α,∠CBE+∠BCE+∠BEC=180°,∠α+∠ACB=180°,∴∠ACB=∠CBE+∠BCE又∵∠ACB=∠ACF+∠BCE∴∠CBE=∠ACF,在△BCE和△CAF中∠BEC=∠CFA∴△BCE≌△CAF(AAS),∴BE=CF,CE=AF，∴EF=CF-CE=BE-AF;故答案為:∠α+∠BCA=180°；（2）EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系:EF=BE+AF，理由如下∵∠BEC=∠CFA=∠α,∠α=∠BCA,又∵∠EBC+∠BCE＋∠BEC=180°,∠BCE＋∠ACF+∠ACB=180°,∴∠EBC＋∠BCE=∠BCE＋∠ACF∴∠EBC=∠ACF，在△BEC和△CFA中∠EBC=∠FCA∴△ABE≌△CFA(AAS)∴AF=CE，BE=CF∵EF=CE+CF,∴EF=BE＋AF．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，證明△BCE≌△CAF是解題的關(guān)鍵．【題型8全等三角形模型-手拉手模型】【例8】（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）點D為△ABC外一點，∠ACB=90°，AC=BC．(1)如圖1，∠DCE=90°，CD=CE，求證：∠ADC=∠BEC；(2)如圖2，若∠CDB=45°，AE∥BD，CE⊥CD，求證：AE=BD；(3)如圖3，若∠ADC=15°，CD=2，BD=n，請直接用含n的式子表示AD【答案】(1)見解析(2)見解析(3)n【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC；（2）延長DC交AE于F，連BF，根據(jù)SAS證明△ACE≌△BCF，則AE=BF，∠BFC=∠AEC=45°=∠FDB，結(jié)論得證；（3）過點C在CD上方作CE⊥CD,CE=CD，連BE、DE．由（1）知△ACD≌△BCE，則∠BEC=∠ADC=15°，求出∠BED=30°，可求出OE,OB的長，則【詳解】（1）證明：∵∠DCE=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE(SAS∴∠ADC=∠BEC．（2）如圖1，延長DC交AE于F，連BF，∵AE∥BD，∴∠EFC=∠CDB=45°．∵EC⊥CD，∠CEF=∠CFE=45°，∴EC=CF．∵∠ACE=∠BCF，AC=BC，∴△ACE≌△BCF(SAS∴AE=BF，∠BFC=∠AEC=45°=∠FDB，∴BF=BD，∴AE=BD；（3）如圖2，過點C在CD上方作CE⊥CD，CE=CD，連BE、DE．設(shè)AD、BE交于點O，由（1）知△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠DOE=∠DCE=90°．又∵∠CED=∠CDE=45°，∴DE=2CD=2，∴OD=1∴OE=DE2∴AD=BE=OB+OE=n【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.【變式8-1】（2023·山東淄博·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是一個銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形△ABD、△ACE，連接BE、CD交于點F，連接AF．(1)求證：△ABE≌△ADC；(2)求∠EFC的度數(shù)；(3)求證：AF平分∠DFE．【答案】(1)見解析(2)60°(3)見解析【分析】（1）由△ABD、△ACE是等邊三角形，易證∠DAC=∠BAE，繼而可證△ABE≌△ADC；（2）由△ABE≌△ADC，得到∠AEB=∠ACD，進一步得到∠CEF+∠ECF=∠AEC+∠ACE=120°，由三角形內(nèi)角和得到答案；（3）作AH⊥DC于點H，AN⊥BE于點N，證明AH=AN，由【詳解】（1）證明：∵△ABD、△ACE是等邊三角形，∴DA=AB，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，∴△ABE≌△ADCSAS（2）解：∵△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠AEB+∠CAE=∠ACD+∠EFC，∴∠EFC=∠CAE=60°；（3）證明：如圖，作AH⊥DC于點H，AN⊥BE于點∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC=∠ABE，∵∠AHD=∠ANB=90°，AD=AB，∴△AHD≌△ANB(AAS∴AH=AN，∵AH⊥DC，∴AF平分∠DFE．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分性的判定知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023下·陜西咸陽·模擬預(yù)測）△ABC和△ADE如圖所示，其中∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED,∠BAC=∠DAE．(1)如圖①，連接BE、CD，求證：(2)如圖②，連接BE、CD、BD，若∠BAC=∠DAE=60°，CD⊥AE，AD=3，【答案】(1)見解析(2)34【分析】（1）只需證ΔABE≌（2）先證明ΔBED是直角三角形，再用勾股定理求BD【詳解】（1）證明：∵∠ABC=∠ACB，∠ADE=∠AED，∴AB=AC，AE=AD，∵，∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∴Δ∴BE=CD．（2）解：∵∠ADE=∠AED，∴AE=AD，∵∠DAE=60°，∴Δ∴AD=ED=3，∠AED=∠ADE=60°，∵CD⊥AE，∴∠ADC=1由（1）知：ΔABE≌∴BE=CD=5，∠AEB=∠ADC=30°，∴∠BED=90°，∴BD=B【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是確定全等三角形的條件．【變式8-3】（2023上·山東臨沂·二模）已知在△ABC中，AB=AC，過點B引一條射線BM，D是BM上一點【問題解決】(1)如圖1，若∠ABC=60°，射線BM在∠ABC內(nèi)部，∠ADB=60°，求證：∠BDC=60°，小明同學(xué)展示的做法是：在BM上取一點E使得AE=AD，通過已知的條件，從而求得∠BDC的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知∠ABC=∠ADB=30°．①當(dāng)射線BM在∠ABC內(nèi)，求∠BDC的度數(shù)②當(dāng)射線BM在BC下方，如圖3所示，請問∠BDC的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由，若改變，請求出∠BDC的度數(shù)；【答案】(1)見解析(2)①∠BDC=120°②；∠BDC的度數(shù)會變化，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的判定定理得到△ADE、△ABC是等邊三角形，進而得到∠BAE=∠CAD，根據(jù)SAS證明△BAE≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠AEB=120°，得到答案；（2）①在BD上取一點E，AE=AD，證明△BAE≌△CAD，得到∠ADC=150°，可求出答案；②在DB延長線上取一點E，使得AE=AD，同理證明△BAE≌△CAD，求出∠ADC=∠E=30°，進而求出∠BDC．【詳解】（1）證明：如圖1，在BM上取一點E，使AE=AD，∵∠ADB=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠EAD=60°，∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴∠BAC=∠EAD，∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，即∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中AB=AC∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CADSAS∴∠ADC=∠AEB=120°，∴∠BDC=120°-60°=60°；（2）證明：①在BD上取一點E，AE=AD，如圖所示：∵∠ABC=∠ADB=30°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=30°，∠AED=∠ADE=30°，∴∠BAC=∠EAD=120°，∴∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中AB=AC∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CADSAS∴∠ADC=∠AEB=180°-30°=150°，∴∠BDC=150°-30°=120°；②∠BDC的度數(shù)會變化，理由如下：在DB延長線上取一點E，使得AE=AD，如圖所示：同理①的方法可證：△BAE≌△CAD，∴∠ADC=∠E=30°，∴∠BDC=∠ADE+∠ADC=30°+30°=60°．【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形進行計算和證明是解題的關(guān)鍵．【題型9構(gòu)造輔助線證明兩個三角形全等-倍長中線法】【例9】（2023上·北京通州·二模）如圖，O為四邊形ABCD內(nèi)一點，E為AB的中點，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180°．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝22，求OB（2）用等式表示線段OE和CD之間的關(guān)系，并證明．【答案】（1）2；（2）OE=1【分析】（1）由已知條件∠BOE＝∠BAO，且公共角∠OBE=∠ABO，證明△OBE∽△ABO，進而列出比例式，代入數(shù)值即可求得OB；（2）延長OE到點F，使得EF=OE，連接AF，F(xiàn)B，證明△AOF≌△DOC，進而可得OF=CD，即OE=【詳解】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，∠OBE=∠ABO，∴△OBE∽△ABO，∴BEOB∵AB＝22，E為AB∴BE=∴2OB∴OB=2（舍負(fù)）.（2）線段OE和CD的數(shù)量關(guān)系是：OE=1證明：如圖，延長OE到點F，使得EF=OE，連接AF，F(xiàn)B.∵AE=BE∴四邊形AFBO是平行四邊形，∴AF∥OB，∴∠FAO+∠AOB=180°，∵∠AOB+∠COD＝180°，∴∠FAO=∠COD，∵OB＝OC，∴AF=OC，在△AOF和△DOC中，OA=OD&∴△AOF≌△ODC，∴OF=CD∴OE=1【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，第（2）小問中，根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AD為BC邊的中線，E為AD上一點，連接BE并延長交AC于點F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，EF=1.6，則CF的長為．【答案】2.4【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．延長AD至G，使DG=AD，連接BG，根據(jù)SAS證明△BDG≌△CDA，則BG=AC,∠CAD=∠G，根據(jù)AF=EF可得∠CAD=∠AEF，由此可得∠G=∠BEG，即可得出AC=BE=4，然后利用線段的和差即可求出CF的長．正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，延長AD至G，使DG=AD，連接BG，在△BDG和△CDA中BD=CD∠BDG=∠CDA∴△BDG≌△CDA(SAS∴BG=AC,∠CAD=∠G．∵∠AEF=∠FAE，∠BEG=∠AEF，∴∠CAD=∠BEG，∴∠G=∠BEG，∴BG=BE=4，∴AC=BE=4．∵∠AEF=∠FAE，∴AF=EF=1.6，∴CF=AC-AF=4-1.6=2.4．故答案為：2.4【變式9-2】（2023上·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，點D在AC上，AD=3,AB+AC=10，點E是BD的中點，連接CE,∠ACB=∠ABC+2∠BCE，則CD=．【答案】43/【分析】如圖，延長CE至F，使得EF=CE，交AB于點G，通過“邊角邊”證明△BEF≌△DEC，則∠F=∠DCE,BF=DC，根據(jù)題意與三角形的外角性質(zhì)可得∠AGC=∠DCE，進而可得AG=AC,BF=BG=CD，設(shè)BF=BG=CD=x，根據(jù)題意得到關(guān)于【詳解】解：如圖，延長CE至F，使得EF=CE，交AB于點G，∵點E是BD的中點，∴BE=DE，在△BEF與△DEC中，BE=DE∠BEF∴△BEF≌∴∠F=∠DCE,BF=DC，∵∠ACB=∠ABC+2∠BCE，∴∠DCE=∠ACB-∠BCE=∠ABC+∠BCE，∵∠AGC=∠ABC+∠BCE，∴∠AGC=∠DCE，∴∠F=∠DCE=∠AGC=∠BGF,AG=AC，∴BF=BG=CD，

設(shè)BF=BG=CD=x，∵AD=3,AB+AC=10，∴10-x2解得x=4即CD=4故答案為：4【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點，根據(jù)中點作出適當(dāng)?shù)妮o助線．【變式9-3】（2023上·湖北武漢·一模）（1）如圖1，已知△ABC中，AD是中線，求證：AB+AC>2AD；（2）如圖2，在△ABC中，D，E是BC的三等分點，求證：AB+AC>AD+AE；（3）如圖3，在△ABC中，D，E在邊BC上，且BD=CE．求證：AB+AC>AD+AE．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）利用“倍長中線”法，延長AD，然后通過全等以及三角形的三邊關(guān)系證明即可；（2）取DE中點H，連接AH并延長至Q點，使得AH=QH，連接QE和QC，通過“倍長中線”思想全等證明，進而得到AB=CQ，AD=EQ，然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論；（3）同（2）處理方式一樣，取DE中點M，連接AM并延長至N點，使得AM=NM，連接NE，CE，結(jié)合“倍長中線”思想證明全等后，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論．【詳解】證：（1）如圖所示，延長AD至P點，使得AD=PD，連接CP，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC的中點，BD=CD，在△ABD與△PCD中，BD=CD∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三邊關(guān)系可得AC+PC＞AP，∴AB+AC>2AD；（2）如圖所示，取DE中點H，連接AH并延長至Q點，使得AH=QH，連接QE和QC，∵H為DE中點，D、E為BC三等分點，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，BH=CH∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此時，延長AE，交CQ于K點，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴AB+AC>AD+AE；（3）如圖所示，取DE中點M，連接AM并延長至N點，使得AM=NM，連接NE，CE，∵M為DE中點，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，BM=CM∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可證△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此時，延長AE，交CN于T點，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴AB+AC>AD+AE．【點睛】本題考查全等三角形證明問題中輔助線的添加，掌握“倍長中線”的基本思想，以及熟練運用三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．【題型10構(gòu)造輔助線證明兩個三角形全等-截長補短法】【例10】（2023上·四川南充·二模）(1)閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠A+∠思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在BC上截取BM=BA，連接DM，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長BA到點N，使得BN=BC，連接DN，得到全等三角形，進而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接AC，當(dāng)∠DAC=60°時，探究線段AB，BC，BD(3)問題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，過點D作DE⊥BC，垂足為點E，請寫出線段AB、CE【答案】（1）見解析；（2）AB+BC=BD，見解析；（3）BC-AB=2CE，見解析【分析】（1）方法1：在BC上截取BM=BA，連接DM，證明△ABD≌△MBD(SAS)，得出∠A=∠BMD，AD=MD，進而得出∠C=∠CMD，則DM=DC，等量代換即可得證；方法2：延長AB到N，使BN=BC，連接DN，證明△NBD≌△CBD(SAS（2）AB，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系為AB+BC=BD．方法1：在BD上截取BF=AB，連接AF，由(1)知∠BAD+∠BCD=180°，得出△ABF，△ADC為等邊三角形，證明△ABC≌△AFD(SAS)，得出DF=BC，進而即可得證；方法2：延長CB到P，使BP=BA，連接AP，由(1)知AD=CD，則△ADC，△ABP（3）線段AB、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系為BC-AB=2CE，連接BD，過點D作DF⊥AB于點F，證明△DFA≌△DEC(AAS)，Rt△BDF≌和Rt【詳解】解：（1）方法1：在BC上截取BM=BA，連接DM，∵BD平分∠ABC∴∠在△ABD和△MBD中，BD=BD∠ABD=∠MBD∴△ABD≌△MBD(SAS∴∠A=∠∵∠BMD+∠∴∠∴DM=DC，∴DA=DC；方法2：延長AB到N，使BN=BC，連接DN，∵BD平分∠ABC∴∠在△NBD和△CBD中，BD=BD∠NBD=∠CBD∴△NBD≌△CBD(SAS∴∠BND=∠∵∠NAD+∠∴∠∴DN=DA，∴DA=DC；（2）AB，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系為AB+BC=BD．方法1：理由如下：如圖2，在BD上截取BF=AB，連接AF，由(1)知∠BAD+∴∠∵∠∴∠∴∠∴△ABF為等邊三角形，∴AB=AF=BF，∠BAF=60°∵AD=DC，∴△ADC為等邊三角形，∴AD=AC，∠DAC=60°∴∠∴△ABC≌△AFD(SAS∴DF=BC，∴BD=BF+DF=AB+BC．方法2：理由：延長CB到P，使BP=BA，連接AP，由(1)知AD=CD，∵∠∴△ADC是等邊三角形，∴AC=AD，∠ADC=60°∵∠∴∠∴∠∵BP=BA，∴△ABP為等邊三角形，∴∠PAB=60°，∵∠∴∠即∠PAC=在△PAC和△BAD中，PA=BA∠PAC=∠BAD∴△PAC≌△BAD(SAS∴PC=BD，∵PC=BP+BC=AB+B