江蘇省無錫市港下中學(xué)2024年高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷含解析

江蘇省無錫市港下中學(xué)2024年高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，為上異于，的任一點，為的中點，若，則等于（）A． B． C． D．2．設(shè)是虛數(shù)單位，，，則（）A． B． C．1 D．23．已知集合，定義集合，則等于（）A． B．C． D．4．如圖，這是某校高三年級甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測試的班級平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是（）A．甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的平均水平高于乙班B．甲班的數(shù)學(xué)成績的平均分比乙班穩(wěn)定C．甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的中位數(shù)高于乙班D．甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測試的總平均分是1035．已知函數(shù)，，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知集合，集合，那么等于（）A． B． C． D．7．已知橢圓（a＞b＞0）與雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點相同，則雙曲線漸近線方程為（）A． B．C． D．8．若（是虛數(shù)單位），則的值為（）A．3 B．5 C． D．9．下列四個圖象可能是函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．10．若集合，則（）A． B．C． D．11．將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則“”是“是偶函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．函數(shù)圖象的大致形狀是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列滿足公比，為其前項和，，，構(gòu)成等差數(shù)列，則_______．14．設(shè)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為________.15．在中，已知，，則A的值是______.16．若實數(shù)滿足不等式組，則的最小值是___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求和的普通方程；（2）過坐標(biāo)原點作直線交曲線于點（異于），交曲線于點，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；（2）若對任意，都存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）直線與拋物線相交于，兩點，且，若，到軸距離的乘積為．（1）求的方程；（2）設(shè)點為拋物線的焦點，當(dāng)面積最小時，求直線的方程．20．（12分）設(shè)，，，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.21．（12分）已知橢圓：過點，過坐標(biāo)原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點.（1）證明：當(dāng)取得最小值時，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.22．（10分）設(shè)函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的值域；（2）設(shè)為的三個內(nèi)角，若，求的值；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)題意，用表示出與，求出的值即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，又，，，故選：A.【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算，考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對于復(fù)數(shù)的運算類問題，易錯點是把當(dāng)成進行運算.3、C【解析】

根據(jù)定義，求出，即可求出結(jié)論.【詳解】因為集合，所以，則，所以.故選:C.【點睛】本題考查集合的新定義運算，理解新定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

計算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到正確，兩班人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計算，錯誤，得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104，中位數(shù)是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位數(shù)是101，方差是37.6，則A，B，C正確.因為甲、乙兩班的人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計算，故D錯誤.故選：.【點睛】本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.5、D【解析】

由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時是單調(diào)增函數(shù).則恒成立..令,則時,單調(diào)遞減,時單調(diào)遞增.故選:D.【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問題,考查恒成立時求解參數(shù)問題,考查學(xué)生的分析問題的能力和計算求解的能力,難度較難.6、A【解析】

求出集合，然后進行并集的運算即可.【詳解】∵，，∴.故選：A.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由題意可得，即，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點相同，可得：，即，∴，可得,雙曲線的漸近線方程為：,故選：A．【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運算法則求解即可.【詳解】（是虛數(shù)單位）可得解得本題正確選項：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計算能力.9、C【解析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，因為為奇函數(shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對稱，即可排除A、D，再根據(jù)時函數(shù)值，排除B，即可得解.【詳解】∵的定義域為，其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，∵為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，∴的圖象關(guān)于點成中心對稱.可排除A、D項.當(dāng)時，，∴B項不正確.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識圖能力，一般根據(jù)四個選擇項來判斷對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個不符的選項，屬于中檔題.10、A【解析】

先確定集合中的元素，然后由交集定義求解．【詳解】，.故選：A．【點睛】本題考查求集合的交集運算，掌握交集定義是解題關(guān)鍵．11、A【解析】

求出函數(shù)的解析式，由函數(shù)為偶函數(shù)得出的表達式，然后利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度，得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式為，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，當(dāng)時，.因此，“”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，同時也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運算求解能力與推理能力，屬于中等題.12、B【解析】

判斷函數(shù)的奇偶性，可排除A、C，再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，可排除A、C；又當(dāng)，，可排除D；故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)表達式判斷函數(shù)圖像，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】

利用等差中項以及等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由，，是等差數(shù)列可知因為，所以，故答案為：0【點睛】本題考查了等差中項的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

求函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)的圖象，設(shè)，若函數(shù)恰有4個零點，則等價為函數(shù)有兩個零點，滿足或，利用一元二次函數(shù)根的分布進行求解即可．【詳解】當(dāng)時，，由得：，解得，由得：，解得，即當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，同時也是最大值，（e），當(dāng)，，當(dāng)，，作出函數(shù)的圖象如圖，設(shè)，由圖象知，當(dāng)或，方程有一個根，當(dāng)或時，方程有2個根，當(dāng)時，方程有3個根，則，等價為，當(dāng)時，，若函數(shù)恰有4個零點，則等價為函數(shù)有兩個零點，滿足或，則，即（1）解得：，故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法進行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及．求的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．15、【解析】

根據(jù)正弦定理，由可得，由可得，將代入求解即得.【詳解】，，即，，，則，，，，則.故答案為：【點睛】本題考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基礎(chǔ)題.16、-1【解析】作出可行域，如圖：由得,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過A點時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，A（1,0）所以-1故答案為-1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：（2）【解析】

（1）消去曲線參數(shù)方程中的參數(shù)，求得和的普通方程.（2）設(shè)出過原點的直線的極坐標(biāo)方程，代入曲線的極坐標(biāo)方程，求得的表達式，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法，求得的最小值.【詳解】（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：.（2）設(shè)過原點的直線的極坐標(biāo)方程為；由得，所以曲線的極坐標(biāo)方程為在曲線中，.由得曲線的極坐標(biāo)方程為，所以而到直線與曲線的交點的距離為，因此，即的最小值為.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)系下距離的有關(guān)計算，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對值號，然后解不等式即可.（2）因為對任意，都存在，使得不等式成立，等價于，根據(jù)絕對值不等式易求，根據(jù)二次函數(shù)易求，然后解不等式即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，則當(dāng)時，由得，，解得；當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，由得，，解得.所以的解集為（2）對任意，都存在，得成立，等價于.因為，所以，且|，①當(dāng)時，①式等號成立，即.又因為，②當(dāng)時，②式等號成立，即.所以，即即的取值范圍為：.【點睛】知識：考查含兩個絕對值號的不等式的解法；恒成立問題和存在性問題求參變數(shù)的范圍問題；能力：分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力；中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)出兩點的坐標(biāo)，由距離之積為16，可得.利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算，將轉(zhuǎn)化為.再利用兩點均在拋物線上，即可求得p的值，從而求出拋物線的方程；（2）設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，由韋達定理發(fā)現(xiàn)直線l恒過定點，將面積用參數(shù)t表示，求出其最值，并得出此時的直線方程.【詳解】解：（1）由題設(shè)，因為，到軸的距離的積為，所以，又因為，，，所以拋物線的方程為．（2）因為直線與拋物線兩個公共點，所以的斜率不為，所以設(shè)聯(lián)立，得，即，，即直線恒過定點，所以，當(dāng)時，面積取得最小值，此時.【點睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與拋物線相交的問題，其中垂直條件的轉(zhuǎn)化，直線過定點均為該題的關(guān)鍵，屬于綜合性較強的題.20、（1）2；（2）見解析【解析】

（1）將化簡為，再利用基本不等式即可求出最小值為4，便可得出的值；（2）根據(jù)，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范圍.【詳解】解：（1）由題可知，，，，，∴.（2）∵，∴，∴，∴，即：或.【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式和放縮法求最值，考查化簡計算能力.21、（1）證明見解析；（2）存在，【解析】

（1）將點代入橢圓方程得到，結(jié)合基本不等式，求得取得最小值時，進而證得橢圓的離心率為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性，求得到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用，則列方程，求得的關(guān)系式，進而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在，進而求得定圓的方程.【詳解】（1）證明：∵橢圓經(jīng)過點，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時橢圓的離心率.（2）解：∵橢圓的焦距為2，∴，又，∴，.當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性，設(shè)，.∵，在橢圓上，∴，∴，∴到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為.由，得，.設(shè)，，則，.∵，∴，∴，∴，即，∴到直線的距離.綜上，到直線的距離為定值，且定值為，故存在定圓：，使得圓與