考研數(shù)學(xué)三線性代數(shù)(矩陣的特征值和特征向量)模擬試卷6題后含

考研數(shù)學(xué)三線性代數(shù)（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷6(題后含答案及解析)題型有：1.jpg/>解得此方程組的基礎(chǔ)解系α=(一1，1，1)T。根據(jù)A(α1,α2，α)=(6α1,6α2，0)得A=(6α1,6α2，0)(α1,α2，α)-1=涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量設(shè)三階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一l，1)T是線性方程組Ax=0的兩個解。4．求A的特征值與特征向量；正確答案：因為矩陣A的各行元素之和均為3，所以有則λ=3是矩陣A的特征值，α=(1，1，1)T是對應(yīng)的特征向量。對應(yīng)λ=3的全部特征向量為kα=k(1，l，1)T，其中k是不為零的常數(shù)。又由題設(shè)知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0·α1，Aα2=0·α2，而且α1,α2線性無關(guān)，所以λ=0是矩陣A的二重特征值，α1,α2是其對應(yīng)的特征向量，因此對應(yīng)λ=0的全部特征向量為k1α1+k2α2=k1(一1，2，一1)T+k2(0，一1，1)T，其中k1,k2是不全為零的常數(shù)。涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量5．求正交矩陣Q和對角矩陣Λ，使得QTAQ=Λ。正確答案：因為A是實對稱矩陣，所以α與α1,α2正交，只需將α1與α2正交化。由施密特正交化法，取β1=α1，β2=α2－,再將α，β1,β2單位化，得令Q=(η1,η2，η3)，則Q-1=QT，且QTAQ==A。涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量A為三階實對稱矩陣，A的秩為2，且6．求A的所有特征值與特征向量；正確答案：由即特征值λ1=一1,λ2=1對應(yīng)的特征向量為又由r(A)=2與兩兩正交，于是得由此得η=是特征值0對應(yīng)的特征向量。因此k1α1，k2α2，k3η是依次對應(yīng)于特征值一1，1，0的特征向量，其中k1,k2,k3為任意非零常數(shù)。涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量7．求矩陣A。正確答案：令則A=PΛP-1=。涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一l，1)T是A的屬于特征值λ1的一個特征向量，記B=A5一4A3+E，其中E為三階單位矩陣。8．驗證α1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；正確答案：由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次遞推，則有A3α1=α1，A5α1=α1，故βα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1，即α1是矩陣B的屬于特征值－2的特征向量。由關(guān)系式B=A5一4A3+E及A的三個特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2得B的三個特征值為μ1=一2，μ2=1，μ3=1。設(shè)α2，α3為B的屬于μ2=μ3=1的兩個線性無關(guān)的特征向量，又由A為對稱矩陣，則B也是對稱矩陣，因此α1與α1,α2正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。因此α2,α3可取為下列齊次線性方程組兩個線性無關(guān)的解，即(1，一1，1)=0，得其基礎(chǔ)解系為，故可取α2=β的全部特征向量為k1，其中k1≠0，k2,k3不同時為零。涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量9．求矩陣B。正確答案：令P=(α1,α2,α3)=，則P-1BP=,于是涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量10．已知矩陣A=有特征值λ=5，求a的值；當(dāng)a>0時，求正交矩陣Q，使Q-1AQ=Λ。正確答案：因λ=5是矩陣A的特征值，則由|5E—A|==3(4—a2)=0，可得a=±2。當(dāng)a=2時，矩陣A的特征多項式|λE—A|==(λ一2)(λ一5)(λ一1)，矩陣A的特征值是1，2，5。由(E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α1=(0，1，一1)T；由(2E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α2=(1，0，0)T；由(5E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α3=(0，1，1)T。即矩陣A屬于特征值1，2，5的特征向量分別是α1，α2,α3。由于實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交，故只需單位化，則令Q=(γ1,γ2,γ3)=．則有Q-1AQ=。涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量11．設(shè)A=，且存在正交矩陣Q使得QTAQ為對角矩陣。若Q的第一列為(1，2，1)T，求a，Q。正確答案：按已知條件，(1，2，1)T是矩陣A的特征向量，設(shè)特征值是λ1=1，那么又因為|λE—A|==(λ一2)(λ一5)(λ+4)，知矩陣A的特征值是2，5，一4。對λ=5，由(5E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α2=(1，一1，1)T。對λ=一4，由(一4E一A)x=0得基礎(chǔ)解系α3=(一1，0，1)T。因為A是實對稱矩陣，對應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交，故只需單位化α2，α3，即γ2=(1，一1，1)T，γ3=(一1，0，1)T，令Q=，則有QTAQ=Q-1AQ=。涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量設(shè)A，B為同階方陣。12．若A，B相似，證明A，B的特征多項式相等；正確答案：若A，B相似，那么存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，則|λE—B|=|λE一P-1AP|=|P-1λEP—P-1AP|=|P-1(λE—A)P|=|P-1||λE一A||P|=|λE—A|，所以A，B的特征多項式相等。涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量13．舉一個二階方陣的例子說明(I)的逆命題不成立；正確答案：令A(yù)=，那么|λE—A|=λ2=|λE—B|。但是A，B不相似。否則，存在可逆矩陣P，使P-1AP=B=0，從而A=POP-1=0與已知矛盾。也可從r(A)=1，r(B)=0，知A與B不相似。涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量14．當(dāng)A，B均為實對稱矩陣時，證明(I)的逆命題成立。正確答案：由A，B均為實對稱矩陣知，A，B均相似于對角陣，若A，B的特征多項式相等，記特征多項式的根為λ1，…，λn，則有所以存在可逆矩陣P，Q，使P-1AP==Q-1BQ。因此有(PQ-1)-1A(PQ-1)=B，矩陣A與B相似。涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量設(shè)三階矩陣A的特征值λ1=l，λ2=2，λ3=3對應(yīng)的特征向量依次為α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T。15．將向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3線性表示；正確答案：設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=β，即解得x1=2，x2=一2，x3=1，故β=2α1一2α2+α3。涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量16．求Anβ。正確答案：Aβ=2Aα1－2Aα2+Aα3，則由題設(shè)條件及特征值和特征向量的定義可得Aβ=2Anα1－2Anα2+Anα3=2α1一2×2nα2+3nα3=。涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量在某國，每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)，有比例為g的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村。假設(shè)該國總?cè)丝跀?shù)不變，且上述人口遷移的規(guī)律也不變。把凡年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖閤n和yn(xn+yn=1)。17．求關(guān)系式[*]中的矩陣A；正確答案：由題意，人口遷移的規(guī)律不變xn+1=xn+gyn一pxn=(1一p)xn+qyn，yn+1=yn+pxn一qyn=pxn+(1一q)yn，用矩陣表示為[*]因此A=[*]涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量18．設(shè)目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等，即[*]。正確答案：由可知,由|A—λE|==(λ一1)(λ一1+p+q)，得A的特征值為λ1=1，λ2=r，其中r=1一p—q。當(dāng)λ1=1時，解方程(A—E)x=0，得特征向量P1=;當(dāng)λ2=r時，解方程(A—rE)x=0，得特征向量P2=。令P=(P1，P2)=，則P-1AP==Λ，A=PΛP-1，An=PΛnP-1。于是涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量某試驗性生產(chǎn)線每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實踐至年終考核有成為熟練工。設(shè)第n年1月份統(tǒng)計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為xn和yn，記成向量。19．求的關(guān)系式并寫成矩陣形式：正確答案：由題意得化成矩陣形式為?？梢姟Ｉ婕爸R點：矩陣的特征值和特征向量20．驗證η1=是A的兩個線性無關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值：正確答案：