2020-2021學年北京市平谷區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學試卷(含解析)

2020-2021學年北京市平谷區(qū)高二上學期期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.把直線x—y+遮-1=0繞點（1,遮）逆時針旋轉(zhuǎn)15。后，所得直線方程的斜率為（）

A.1B.—1C.V3D.—V3

2.已知4（一1,0）,8（3,2）,C（0,-2）,則過這三點的圓方程為（）

A.(x-1)2+y2=25B.(%+|)2+y2=；

C.(x~|)2+y2=7D.x2+(y-|)2=|

3.已知4為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點，點4到c的焦點的距離為12,至如軸的距離為9,則

P=()

A.2B.3C.6D.9

4.拋物線G：/=2py（p>0）的焦點與雙曲線C2：9—=1的左焦點的連線交G于第二象限內(nèi)

的點M.若G在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則P=（）

Bc

A弋?-￥D-V

5.如圖，正方體ABC。一中，棱長為1,PB=”,則P點坐標為（

AA-八11、

B.(|,|,|)

c（級總

D.（|,沾

6.設(shè)每個工作日甲、乙兩人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.4,0.5,各人是否需使用設(shè)備相互獨立，

則同一工作日至少1人需使用這種設(shè)備的概率為（）

A.0.3B,0.5C.0.7D.0.9

7.一位學生在計算20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯把68輸成86,那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的

差為（）

A.-0.9B.0.9C.3.4D.4.3

8.定義：離心率6=竽的雙曲線為“黃金雙曲線”，對于雙曲線E：g-^=l(a>0,b>0),c

為雙曲線的半焦距，如果a,b,c成等比數(shù)列，則雙曲線5()

A.可能是“黃金雙曲線”B.可能不是“黃金雙曲線”

C.一定是“黃金雙曲線”D.一定不是“黃金雙曲線

9.若圓(x-I)2+(y+2)2=r2(r>0)上有且僅有兩個點到直線2x-y+6=0的距離等于門，則

r的取值范圍是()

A.(0,2V5)B.(V5,3V5)C.(V5,2V5)D.(2遍,3遍)

10.下列命題中正確的是()

A.利用斜二測畫法得到的正方形的直觀圖是正方形

B.利用斜二測畫法得到的平行四邊形的直觀圖是平行四邊形

C.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊行的幾何體叫棱柱

D.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺

二、單空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.總體由編號為01,02,03,49,50的50各個體組成，利用隨機數(shù)表(以下摘取了隨機數(shù)表

中第1行和第2行)選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)字開始由左向

右讀取，則選出來的第4個個體的編號為.

6667406714640571958611056509687683203790

5716001166149084451175738805905227411486

12.經(jīng)過點(1,0),且以2=(2,5)為一個方向向量的直線，的方程為.

13.設(shè)P是拋物線y2=2x上的一點，A(a,0)(0<a<1),則|P*的最小值是.

14.橢圓[+[=1的左焦點為&,對定點M(6,4),若P為橢圓上一點，則|PF]|+|PM|的最大值為

2516

15.已知角a的頂點在原點，始邊為X軸非負半軸，則x"的終邊在第一象限”是“sina>0”的

條件.(從“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”中選填)

三、解答題(本大題共6小題，共85.0分)

16.某醫(yī)院眼科某天測量300名求醫(yī)者的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖所示，由于不慎將部分

數(shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列.

(1)求出最大頻率；

(2)求出視力在4.6-5.0的人數(shù).

17.如圖正四棱錐S-ABC。，底面邊長為2,P為側(cè)棱SD上靠近。的三

等分點，

(1)若SD1PC,求正四棱錐S-ABC。的體積；

(2)在側(cè)棱SC上是否存在一點E,使得8E〃平面PAC,若存在請找到點E

并求SE：EC的比值，若不存在請說明理由.

18.某醫(yī)院體檢中心為回饋大眾，推出優(yōu)惠活動：對首次參加體檢的人員，按200元次收費，并注冊

成為會員，對會員的后續(xù)體檢給予相應(yīng)優(yōu)惠，標準如下:

體檢次序第一次第二次第三次第四次第五次及以上

收費比例10.950.900.850.8

該體檢中心從所有會員中隨機選取了100位對他們在本中心參加體檢的次數(shù)進行統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)

如下表：

體檢次數(shù)一次兩次三次四次五次及以上

頻數(shù)60201244

假設(shè)該體檢中心為順客體檢一次的成本費用為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：

(1)已知某顧客在此體檢中心參加了3次體檢，求這3次體檢，該體檢中心的平均利潤；

(2)該體檢中心要從這100人里至少體檢3次的會員中，按體檢次數(shù)用分層抽樣的方法抽出5人,

再從這5人中抽取2人發(fā)放紀念品，求抽到的2人中恰有1人體檢3次的概率.

19.已知如圖幾何體，正方形4BCD和矩形4BEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD,M為4F的

中點，BN1CE.

(I)求證：CF〃平面BDM：

(II)求二面角M一BD—N的大小.

20.如圖，橢圓胃+《=l(a>b>0)的左、右焦點為Fi，F(xiàn)2,右頂點為M,上頂點為N,若OP〃MN,

PR與x軸垂直，且|MF/=4+2近.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點(3,0)且不垂直于坐標軸的直線與橢圓交于4、8兩點，已知點C(t,0),當t6(0,1)時，求滿足

\AC\=|BC|的直線48的斜率k的取值范圍.

21.已知橢圓的中心在坐標原點。，焦點在坐標軸上，直線y=x+l與該橢圓相交于P和Q,且。P1

OQ,|PQ|=尊求橢圓的方程.

參考答案及解析

1.答案：C

解析：

本題主要考查直線的傾斜角和斜率，屬于基礎(chǔ)題.

先求出已知直線的傾斜角，可得旋轉(zhuǎn)后所得直線的傾斜角，從而求出旋轉(zhuǎn)后所得直線的斜率.

解：?.■直線x-y+6-l=0的斜率為1,故它的傾斜角為45。，

繞點(1，遍)逆時針旋轉(zhuǎn)15。后，

所得直線的傾斜角為60。，故所得直線的斜率為tan60。=W，

故選：C.

2.答案：C

解析：解：根據(jù)題意，設(shè)要求圓的圓心為(a,b),半徑為r,

則圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,

又由圓過4(一1,0),B(3,2),C(0,-2)三點，

<(-1-a)2+(0-b)2=r2

則有卜3-a)2+(2—b)2=r2,

((0—a)2+(—2—b)2=r2

解可得：a=|,b=0,r=I，

則圓的標準方程為：(x—|)2+y2=g,

故選：C.

根據(jù)題意，設(shè)要求圓的圓心為(a,b),半徑為r,結(jié)合題意由圓所過點的坐標可得

(―1—a)2+(0—b)2=r2

■(3-a)2+(2-b}2=r2,解可得a、b、r的值，將其值代入a、b、r中，即可得答案.

、(0-a)2+(-2-以=r2

本題考查圓的標準方程的計算，關(guān)鍵是求出圓心坐標以及半徑.

3.答案：C

解析：

本題主要考查拋物線定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用拋物線的定義解題即可.

解：A為拋物線C：V=2px(p>0)上一點，

點A到C的焦點的距離為12,至物軸的距離為9,

因為拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離相等,

故有9+(=12np=6.

故選C.

4.答案:D

解析：

本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，函數(shù)在曲線上某

點處的切線的斜率等于函數(shù)在該點處的導數(shù)，是中檔題.

由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點坐標，由兩點式寫出過兩個焦點的直線方程，求出曲線在％取

直線與拋物線交點M的橫坐標時的導數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點橫坐標與p的關(guān)系,

把M點的坐標代入直線方程即可求得p的值.

解：拋物線G：#=2py的焦點坐標為尸(0,乎

雙曲線C2：9-y2=1的左焦點為(—2,0).

則拋物線的焦點與雙曲線的左焦點的連線所在直線方程為y—弓0=x殺+2，

2

即k-2y+p=0①.

設(shè)該直線交拋物線于則C］在點M處的切線的斜率為藁.

由題意可知藁=一”一(,得而=一日p,代入M點得M(4嶗

把M點代入①得：—3p2—X+p=0.

63

解得P=警.

故選：D.

5.答案：C

解析：解：如圖所示,

設(shè)點P(x,y,z),且點。'(0,0,1)；

???點P在正方體ABCD-4181c山1的對角線B。'，x=y①,

又PB=JB',

222222

?1?(x-I)+(y-l)+z=[(x-l)+(y-I)+(z—1)]@>

又而與而共線，???、=《=彳③；

(X--5

6

由①②③組成方程組，解得(y=*

■

■1?p點坐標為(m).

OOO

故選：C.

根據(jù)題意，設(shè)出點PQ,y,z),結(jié)合題意利用坐標表示列出方程組，求出解即可.

本題考查了空間向量的坐標表示與運算問題，也考查了解方程組的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

6.答案：C

解析：解：根據(jù)題意，設(shè)甲使用設(shè)備為事件4乙使用設(shè)備為事件B,

則P(4)=0.4,P(B)=0.5,則有P(A)=1-0.4=0.6，P(B)=1—0.5=0.5,

甲乙都沒有使用設(shè)備的概率p(AB)=0,6x0,5=0.3，

則同一工作日至少1人需使用這種設(shè)備的概率P=1-p(AB)=1-0,3=0,7；

故選：C.

根據(jù)題意，設(shè)甲使用設(shè)備為事件4乙使用設(shè)備為事件B,由此求出甲乙都沒有使用設(shè)備的概率p([函,

由對立事件的概率性質(zhì)分析可得答案.

本題考查相互獨立事件和對立事件概率的計算，涉及互斥事件、對立事件的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：B

解析：

求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差：工-7=鏟，由此能求出結(jié)果.

本題考查求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差的求法，考查平均數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

解：設(shè)20個數(shù)分別為X],x2,x20,

求出的平均數(shù)為元=9叱廣網(wǎng),

實際平均數(shù)7=…+才產(chǎn)68,

二求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差：

八

-x8-x6=-6--8--=0n.9.

20

故選：B.

8.答案：C

解析：解：爐=砒，貝b=￡=紀叵=dTT7，

aa

e2-e-1=0,解得e=或e=?!(舍)，

22、,

二該雙曲線是黃金雙曲線，

則雙曲線E一定是“黃金雙曲線”.

故選：C.

利用雙曲線的簡單性質(zhì)分別求出離心率，再利用黃金雙曲線的定義求解.

本題考查黃金雙曲線的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的靈活運用.

9.答案：B

解析：解：???圓(x-1)2+(y+2)2=72代>0)的圓心到直線2%-y+6=0的距離為4=

回玲乃+6匕2次,

當「=6時，圓上只有一個點到直線的距離等于百，當r=3代時，圓上有三個點到直線的距離等

于近，

.?.圓(x-I)2+(y+2產(chǎn)=r2(r>0)上有且僅有兩個點到直線2x-y+6=0的距離等于病時，

圓的半徑r的取值范圍是：V5<r<3V5，

故選：B.

先求出圓心到直線的距離，將此距離和圓的半徑結(jié)合在一起考慮，求出圓上有三個點到直線的距離

等于遍，以及圓上只有一個點到直線的距離等于麻的條件，可得要求的r的范圍.

本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案:B

解析：解：利用斜二測畫法得到的正方形的直觀圖是平行四邊形，故A錯；

利用斜二測畫法得到的平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，正確，由斜二測畫法可得B對；

有兩個面平行，其余各面都是平行四邊行，并且每相鄰兩個四邊側(cè)面的公共邊都互相平行，

這樣的幾何體叫棱柱，故C錯；

用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，

故。錯.

故選：B.

運用斜二測畫法，即可判斷4B；由棱柱的定義，且每相鄰兩個四邊側(cè)面的公共邊都互相平行，可

判斷C；由棱臺的定義中，用一個平行于底面的平面去截棱錐，可判斷。.

本題考查斜二測畫法和棱柱、棱臺的定義，注意定義的準確理解，考查判斷分析能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：09

解析：解：根據(jù)題意，從隨機數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)字開始，

由左到右依次選取兩個數(shù)字，其中小于或等于50的編號依次為

14,05,11,05(重復，舍去)，09,20.

可知選出的第4個數(shù)值為09.

故答案為：09.

從隨機數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，且為小于或等于50的編

號，注意重復的數(shù)值要舍去，由此求出答案.

本題考查了隨機數(shù)表法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

12.答案：5x-2y-5=0

解析：

本題考查了直線方程的求法與應(yīng)用問題，是中檔題.

由直線的方向向量求得斜率k的值，再寫出直線珀勺方程.

解：由直線的方向向量為2=(2,5)，

所以直線的斜率為k=|,

所以直線I的方程為y-0=|(x-1),

化為一般方程是5%-2y-5=0.

故答案為：5x-2y-5=0.

13.答案:a

解析：解：由題意，拋物線用=2%上的一點P(x,y)到點4(a,0)(aER)的距離為，(x-a)2+y2

vy2=2x,

?,?為—a)2+y2=J(久—。產(chǎn)+2x=y/[x—(^a-l)]2+2a—1,

0<(1<1時?，x=0,最小值為：a.

故答案為：a.

利用兩點間的距離公式，求出距離，利用配方法，可求最小值.

本題考查兩點間的距離公式，考查配方法的運用，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：15

解析：解：由橢圓式+廿=1焦點在%軸上，可得：a2=25,墳=16.

2516

ci—5?b=4,c=3.

二『2(3,0)，\MF2\=5.

\PM\+|PF/=2a+\PM\-\PF2\<2X5+\MF2\=15,

當且僅當三點M、尸2、P共線時取等號.

故答案為：15.

本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、最大值問題的轉(zhuǎn)化為三角形的三邊關(guān)系，屬于中檔題

15.答案：充分不必要

解析：解：由a的終邊在第一象限，得sina>0,

反之，由sina>0,可得a的終邊在第一或第二象限或在y軸正半軸上.

“a的終邊在第一象限”是“sina>0”的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要.

由三角函數(shù)的象限符號結(jié)合充分必要條件的判定得答案.

本題考查三角函數(shù)的象限符號，考查充分必要條件的判定，是基礎(chǔ)題.

16.答案：解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，得組距為0.1,

則4.3?4.4間的頻數(shù)為300x0,1x0.1=3；

4.4?4.5間的頻數(shù)為300x0.1x0.3=9,

所以4.6?4.7間的頻率最大，為3x33=81,

所以最大頻率為0.27；

(2)根據(jù)后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，且共有300-39=261人,

設(shè)公差為d,則6x81+—^―,d=261,

解得d=-15；

所以視力在4.6?5.0的人數(shù)為：

4x81+等x（-15）=234.

解析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，得出4.6?4.7間的頻率最大，利用頻數(shù)、等比數(shù)列的知識求出最大

頻率值；

（2）根據(jù)后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，且和為261,求出公差d,即可計算所求的結(jié)果.

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了等差與等比數(shù)列的應(yīng)用問題，是綜合性題目.

17.答案：解：（1）設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長為3a,

???CP1SD.?.三角形SPC與三角形CDP皆為RT△,

由勾股定理如_SP2=CP2=亦-W可得a=爭

二側(cè)棱長為通..（2分）

,??四棱錐的高SO=2,

VS-ABCD=,S/I=,….（4分）

（2）取SC中點為E,E點為所求，；.SE：EC=1：1

取線段SD靠近S的三等分點Q,連接BQ,BD.

設(shè)AC,BD交于0點連接OP,

取SC中點為E,連接QE,...（6分）

在面SBC中，是BC的中點，P是QC的中點，

???P。是三角形DBQ在BQ邊的中位線，/.OP//BQ,

vOPBQu平面BEQ,

???。/7/平面BEQ,

在面SCC中，是SC的中點，Q是SP的中點，

???EQ是三角形SCP在PC邊的中位線，；.EQ//PC,

vCPC平面BEQ,EQu平面BEQ,

???CP//^BEQ,

VOPC\CP=P,

???面BEQ〃面APC,

??,BEu面BEQ,

???BE//^PAC...（12分）

解析：⑴設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長為3a,由勾股定理S02-SP2=cp2=002—2^^0=9,再求

正四棱錐S-4BCD的體積；

(2)取SC中點為E,線段SD靠近S的三等分點Q,連接BQ,BD,證明平面BEQ〃平面PAC,可得8E〃

平面24c.

本題主要考查立體幾何中平面與平面平行的性質(zhì)，正四棱錐S-ABCC的體積，考查學生分析解決問

題的能力，屬于中檔題.

18.答案:解：(1)醫(yī)院三次體檢的收入為200x(1+0.95+0.9)=570,

三次體檢的成本為150x3=450,

利潤為570-450=120元，故平均利潤為40元.

(2)由題抽出的五個人中有3人恰體檢三次，記為4,B,C,有一人恰體檢四次，記為。，

有一人恰體檢至少五次，記為E,從五人中抽兩個人出來，共有：

(4B),(4C),(A,D),(4,E),(B,D),(B,E),

(C,D),(C,E),(D,E),10種情況,

其中抽到的2人中恰有1人體檢3次的情況有：

(4。)，(4E),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E)6種情況，

所求概率為2=|.

解析：(1)醫(yī)院三次體檢的收入為200x(1+0.95+0.9)=570,三次體檢的成本為150x3=450,

由此能求出平均利潤.

(2)由題抽出的五個人中有3人恰體檢三次，記為4,B,C,有一人恰體檢四次，記為D,有一人恰體

檢至少五次，記為E,從五人中抽兩個人出來，利用列舉法能求出抽到的2人中恰有1人體檢3次的概

率.

本題考查平均利潤、概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

19.答案：(I)證明：連接4C,設(shè)ACnBD=O,連接OM,

則。為4c的中點，

為4尸的中點，???OM〃CF,

???OMu平面BDM,CFC平面BDM,

CF〃平面BOM：

(U)解：因為正方形4BCD和矩形4BEF所在平面互相垂直，所以力尸_L平面4BCD,

以A為原點，以4D,AB,4尸為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

如圖不妨取力8=1,則C(1,1,O),M(0,0,l),B(0,1,0),D(l,0,0),N(g,l,|),

設(shè)平面BOM的一個法向量為萬=(%,y,z),

"BD==(0,-l,l)，

■??{-;+7=0-解得了=Qi，。

同理可得平面BCN的一個法向量為干=(1,1，-2),

■■Pq=0,

二面角M一BD—N的大小為90。.

解析：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定方法，利用向量法求面

面角.

(1)證明。/7/平面3。M，利用線面平行的判定，只需證明CF平行于平面BDM中以一條線即可，連

接AC,ACOBD=0,連接。M,則。為4C的中點，根據(jù)M為4F的中點，可證OM〃CF；

(II)以4為原點，以AC,AB,AF為x,y,z軸建立空間直角坐標系，證明法向量垂直，由此可求二

面角M-BD-N的平面角的大小.

20.答案：解：(1)根據(jù)題意，設(shè)Fi(-c,0),

由PFi1x軸，0P〃MN知卓=則仍&|=容

又由盤+3=1得|y|=?,.?.?=舁.?"=,，

又|Ma|=a+c=4+2夜，a2—c2=b2=c2,

???a2=16,b2=c2=8,

???橢圓方程格+9=L

(2)設(shè)4(%,%),F(x2,y2),直線48的方程為：y=fc(x-3)(fc0),

y=k(x—3)

22

聯(lián)立*2y2消去y得(1+21)/-12kx+18k-16=0,

—F---=1

1168

△>0恒成立，

(.+X=—12k727

J1/21+2/c2

)18k2-16，

后

為+乃=k(Xi+x2)-6k=

設(shè)線段AB的垂直平分線方程為：y-也產(chǎn)=-5(x-空)

令y=0,得％”應(yīng)+山=當，

22l+2fc2

由題意知，C為線段AB的垂直平分線與x軸的交點，所以0<3二<1=/<1且％力0,

l+2k2

所以kG(-1,0)U(0,1).

解析：⑴根據(jù)題意，設(shè)出Fi的坐標，分析可得舊居|的值，進而分析可得b=c,結(jié)合|MF1|=4+2企

分析可得a、b的值，將a、b的值代入橢圓的方程，即可得答案；

(2)根據(jù)題意，設(shè)出4B的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得(1+2k2鏟一12k2》+18k2-16=0,

由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得力8中點的坐標，即可得線段ZB的垂直平分線方程，進而用k表示x,由x

的范圍可得0</<1,解可得答案.

l+2fc2

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及橢圓