數(shù)學(xué)實驗講義(11年03月)

數(shù)學(xué)實驗

主編：謝毅

廣東科學(xué)技術(shù)職業(yè)學(xué)院

機電學(xué)院

2009年12月

目錄

前言......................................................2

第一節(jié)Mathematica基本操作..............................3

第二節(jié)數(shù)、變量與函數(shù)..................................13

第三節(jié)圖像的繪制......................................18

第四節(jié)解方程命令和代數(shù)運算命令.......................27

第五節(jié)極限及其應(yīng)用....................................33

第六節(jié)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用....................................37

第七節(jié)積分及其應(yīng)用....................................44

第八節(jié)多元微積分及其應(yīng)用.............................50

第九節(jié)傅里葉級數(shù)......................................56

第十節(jié)數(shù)學(xué)建模.......................................65

參考文獻................................................99

刖百

宇宙萬事，乾坤萬象，變化多端，有能窮究？數(shù)學(xué)者，明辨深思之學(xué)也。其究變化、偏

應(yīng)萬事之效用何處不見？學(xué)之小成，可以自利，賴以謀生；學(xué)之大成焉不能究天地之造化以

利益人群哉？

手工之推導(dǎo)及計算固是數(shù)學(xué)學(xué)人不可或缺之基本功，然隨科學(xué)技術(shù)之日新月異，對計算

機技術(shù)之要求日益提高。故今開設(shè)數(shù)學(xué)實驗課程，旨在提高同學(xué)們計算機輔助計算和推導(dǎo)之

能力。大略而言，時下有三大數(shù)學(xué)主流軟件，一為Matlab,二為Maple,三為Mathemtica。

三者皆具數(shù)值計算、符號運算和繪圖功能，Matlab最是擅于符號計算，惜對學(xué)者基本功要

求偏高，非下一番苦功難以入門；而Mathematica則以符號運算見長，且入門較易，其之輸

入輸出風(fēng)格更是叫人賞心悅目。是故今擇Mathematica為實驗平臺，于是展示數(shù)學(xué)應(yīng)用之魅

力，祈于學(xué)者能有裨益。

由于編者學(xué)淺識短，且又倉促成稿，其間繆誤及取材欠佳處之眾可想而知，懇請識者及

大方之家不吝賜教，將不勝欣喜。

2009年12月

謝毅謹(jǐn)撰

第一節(jié)Mathematica基本操作

Mathematica是1988年美國WolframResearch公司開發(fā)成功的綜合數(shù)學(xué)軟件包，具有數(shù)

值計算、符號運算、圖形處理、程序設(shè)計4個方面的強大功能，Mathematica最早用于量子

力學(xué)的研究，后來主要用于工程計算領(lǐng)域，與其它數(shù)學(xué)軟件，如：MATLAB、Mathcad.Maple

相比，Mathematica最是擅于符號的運算。

一、Mathematica的界面和菜單：

Mathematica的主界面見下圖。其主窗口」JWindows窗口很相似，有二:行，第一行為標(biāo)

題行，第二行為工具欄，第三行為_12作窗Notebook,Mathematica中的輸入輸出都在工作窗

進行，工作窗口右邊是Basiclnput面板。

工具欄上有9個菜單，我們僅對我們常用的一些選項來介紹：

1）“文件”菜單的第三個區(qū)里有一個選項板“控制面板”（見下圖），它的下一級菜單

包含了數(shù)值計算、符號運算的模板。常用的有第3項“BasicCalculation”，單擊后出現(xiàn)一

個窗口，排列了Mathematica的七大類基本命令；第4項“BasicInput”，單擊后出現(xiàn)數(shù)學(xué)

運算式和符號窗口，單擊其中任意一個它就會立即出現(xiàn)在工作窗。

下圖的左邊為Basiclnput面板，右邊為BasicCalculations面板。單擊BasicCalculations

面板中的三角形，就會展現(xiàn)許許多多的帶格式的命令：

2)“格式”菜單的最后一個選項板“顯示比例”可以設(shè)置工作窗口里字體的顯示比例。

此外，也可通過單擊工作窗口底部的“100%”來調(diào)整顯示比例。

53Untitled-1□SB

3)“核心”菜單的第二個區(qū)里有“終止內(nèi)核”選項，它的下一級選項“Local”被單

擊后，Mathematica的內(nèi)存會清零。當(dāng)出現(xiàn)莫名其妙的結(jié)果或結(jié)果非常復(fù)雜時，我常常需

要把內(nèi)存清零，以便使系統(tǒng)回到空白的狀態(tài)。

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內(nèi)稼結(jié)2134)

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ML新有*W

4)單擊“幫助”菜單的“幫助瀏覽”項將會彈出下面的“幫助瀏覽器”窗口:

先選中“Built-inFunctions”標(biāo)簽，然后在該標(biāo)簽上方的輸入欄中輸入要查詢的函數(shù)什匕

如輸入Plot3D),系統(tǒng)將會顯示該函數(shù)的用法和一些實例，這對初學(xué)者是相當(dāng)有幫助的。

二、Mathematica的基本操作

1、輸入、輸出顯示和運行：

用戶在確認(rèn)輸入后，系統(tǒng)會自動進行處理，井按每一次輸入的順序編號，在輸入的內(nèi)容

前自動添加輸入提示符“In[編號]=："；在輸出內(nèi)容前自動添加輸出提示符“Out[編號]="

ln[1]:=1+2

0ut[1]=3

ln[2]:=2A2

0ut[2]=43.

特別需要注意的是：

1)在Mathematica中按大鍵盤上的回車鍵Enter不是執(zhí)行命令，而是換行。執(zhí)行計算，要

按組合鍵Shift+Enter或小鍵盤上的Enter。

2)對輸入或輸出項進行復(fù)制粘貼時，計算機自動添加的輸入提示符和輸出提示符不會參與

操作。

2、算術(shù)運算符：

Mathematica中分別用+、一、*、/、/*表示算術(shù)運算中的加、減、乘、除和乘方，表示

乘法的*可以用空格代替。需要注意的是：Mathematica中數(shù)值與數(shù)值相乘、字母與字母或與

代數(shù)式相乘時乘號不能省略，算術(shù)運算的優(yōu)先順序與一般數(shù)學(xué)中的規(guī)定相同，即先乘方后乘

除再加減，要改變計算次序用小括號“(

3、數(shù)學(xué)表達式二維格式的輸入

Mathematic擔(dān)提供了兩種格式的數(shù)學(xué)表達式。格式如“x/(2+3x)+y*(x-w)”的稱為一維格

式，格式如“二一+二一”的稱為二維格式。Mathematica提供了多種輸入數(shù)學(xué)表達式

2+3xx-w

的方法，可以使用快捷鍵的方式輸入二維格式，也可用Basiclnput面板來輸入二維格式。

下面列出了用快捷鍵方式輸入二維格式的方法

數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)表達式快捷按鍵

X

除號xCtrl+/2

2

n次方x"XCtrl+62

開n次方Ctrl+2xCtrl+5n

xCtrl+_2

下標(biāo)x2

例如輸入數(shù)學(xué)表達式

可以按如下順序輸入按鍵：

(,x,+,1,),Ctrl+",4,—+,a,Ctrl+_,1,—Ctrl+/,Ctrl+2,2,x,+,1,T,T

利用Basiclnput面板來輸入二維表達式比較簡單，例子就不舉了。

4、大小寫的區(qū)分

1)內(nèi)建函數(shù)的書寫

Mathematica對大小寫的區(qū)分是相當(dāng)嚴(yán)格的。在系統(tǒng)中定義了許多功能強大的函數(shù)，我

們稱之為內(nèi)建函數(shù)(built-infunctions),直接調(diào)用這些函數(shù)可以取到事半功倍的效果。

這些函數(shù)分為兩類，?類是純數(shù)學(xué)意義上的函數(shù)，如：絕對值函數(shù)“Abs[x]”，正弦函數(shù)

“Sin[x]"，余弦函數(shù)“Cos[x]"，以e為底的對數(shù)函數(shù)“Log[x]"，以a為底的對數(shù)函數(shù)

“Log[a,x]”等；第二類是命令函數(shù)，我們以后簡稱命令，如作函數(shù)圖形的命令

"Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]”,解方程命令"Solve[eqn==0,x]",求導(dǎo)命令ftD[f[x],x]"

等。內(nèi)建函數(shù)的首寫字母必須大寫，有時一個函數(shù)名是由幾個單詞構(gòu)成，則每個單詞的首寫

字母也必須大寫,如：求局部極小值命令"FindMinimumEfW,{x,x0}]w中的"F”和"M”

必須大寫。如果輸入了不合語法規(guī)則的表達式，系統(tǒng)會顯示出錯信息，并且不給出計算結(jié)果，

例如：要畫正弦函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的圖形，輸入

ln[8]:=plot[Sin[x],(x,0,2}]

General::spelll:Possiblespellingerror:newsymbol

name"plot"issimilarroexistingsymbolnPlorn.More…

Out[8]=plot[Sin[x],{x,0,2}]

圖中的提示是說：“可能有拼寫錯誤，新符號“plot”很像已經(jīng)存在的符號“Plot”。

一個表達式只有準(zhǔn)確無誤，方能得出正確結(jié)果。學(xué)會看系統(tǒng)出錯信息能幫助我們較快找出錯

誤，提高工作效率。

2）數(shù)學(xué)常數(shù)的書寫

除內(nèi)建函數(shù)的首字母要大寫外，一些常用的數(shù)學(xué)內(nèi)部常數(shù)的首字母也要大寫（注意內(nèi)部

數(shù)學(xué)常數(shù)），見下表

內(nèi)部常數(shù)鍵盤輸入uBasicInput”面板輸入

圓周率萬Pi71

自然對數(shù)的底eEe

虛數(shù)單位iIi

無窮大8Infinity00

5、Mathematica中專用符號說明：

1）百分號％:

Mathematica系統(tǒng)允許在表達式中引用前面得到的計算結(jié)果，提供了簡便的引用方法:

“％”表示上一個輸出結(jié)果，“％%”表示上上一個結(jié)果，“％%%”的意思類推；“％n”則表

示第n個輸出結(jié)果。

ln[9]:=1+2

0呵9區(qū)3

ln[10]:=2+3

Out[10]=5

ln[11]:=3+4

Out[11]=7

ln[12]:=%

Out[12]=7

ln[13]:=%%

Out[13]=7

ln[14]:=%9

Out[14]=3

2）分號；：

為語句分隔符，當(dāng)分號后面沒有其它語句時，表示運算分號前面的表達式，但不顯示

運行結(jié)果，即不顯示“Out[]=…”輸出項；如果分號后還有其它語句，則認(rèn)為兩條語句并

列，在輸出項中只顯示分號后面一個語句的運行結(jié)果。例如：

ln[1]>1+2

Out[1]=3]

In[3]:?2A2;

ln[4]:=1+2;2A2

Out[4]=4

3）中括號口:

緊跟在函數(shù)（或命令）的后面，即函數(shù)的自變量或函數(shù)的參數(shù)必須用[]括起來。如輸

入函數(shù)：sinx+cosx,Mathematica規(guī)定的正確輸入是：Sin|x]+Cos[x]

4）大括號{卜

用以表示集合，在帶了多個參數(shù)的函數(shù)命令中，要把這些互相有關(guān)系的參數(shù)用{}括起

ITTTTT

來。如：作函數(shù)y=sinx在0,—上的圖形的語句是：Plot[Sin[x],{x,0,—}],其中x,0,—三

222

項要用{}括起來，這是作圖函數(shù)Plot的格式規(guī)定。又如語句

JI

Plot[{Sin[x],Cos[x]）,{x,0,—},PlotStyle->{RGBColor[l,0,0J,RGBColor[0,0,1]}]是畫正

2

余弦函數(shù)的圖像，并且前者用紅線表達，后者用藍線來表達，此中三處用了大括號{}。

5）小括號（）：

主要用于改變表達式的運算順序，如：2（（1+2）+3）,如果將此表達式外面的小括號

改成中括號，系統(tǒng)將會提示出錯。止匕外，它也可用于把多個表達式定義為一個表達式（視為

一個整體）。

6）問號？：

在工作窗Notebook輸入相應(yīng)命令，也可以查詢內(nèi)部函數(shù)的用法。方法是：

?函數(shù)名給出該函數(shù)的粗略信息

??函數(shù)名給出該函數(shù)的詳細信息

?L*給出以L開頭的所有函數(shù)的全名

例如：

In[6]:=?Plot

Plot[f,{xzxminrxmax}]generatesaplotoffasa

functionofxfromxmintoxmax.Plot[{f1,f2r...}r

(xrxmin,xmax}]plotsseveralfunctionsfi.More.

In[7]：=??Plot

Plot[fr{xzxmin,xmax}]generatesaplotoffasa

functionofxfromxmintoxmax.Plot[{ff2,...},

{x,xmin,xmax}]plotsseveralfunctionsfi.More.

Attributes[Plot]={HoldAll,Projected)

Options[Plot]=AspecERatio->、—、——：—,

Axes-?Automatic,AxesLabel-?NonezAxesOriginAutomaricr

AxesStyle-?Automatic,Background-?Automaticz

ColorOutputtAutomatic,Compiled-True,

DefaultColor-Au—matiu,DefaultFont：T$DefaultFont,

DisplayFunction:t$DisplayFunction,Epilog-{},

FormatType:-$Forma,cTyperFramerFalse,FrameLabel-None,

FrameStyleAutomaricrFrameTicks->Au*oma*icr

GridLines-None,Imagesize-Automatic,MaxBend10.r

PlotDivision->30.fPlotLabel->None,PlotPoints-?25r

PlorRange-?Automatic,PlotRegionAutomatic,

Plotstyle->Automatic,Prolog-{},—LabeltTrue,

Textstyle:t$TextStyle,Ticks->Automatic

ln(5J:=?L*

System'

工&上elI.ink.ConrLeuLedG

工aquerreL1-ir.k.Orea二e

Lin-Error

Lax?二a二三qor;工inKMlcs?:

LargerLinkInterrupt

Las*tLinkLaunch

Latr.iceP.educeLinkMode

LaunchLinkObject

Layou,t工nformation

LCMLinkCp"ions

LeafCounT；LinkPatterns

LeftLinkProtocol

I■左？&ndreWI.ir.XR=aH

6、求近似值

在Mathematica的運算中，系統(tǒng)總是力求輸出最精確的結(jié)果，如輸入痣+E,運行后的

輸出跟輸入一樣。但在實際的應(yīng)用中，我們常常需要的是近似值，而系統(tǒng)所提供的N命令

就可以滿足我們對任意精度的追求：

N[expr]給出expr的近似值，默認(rèn)為5位有效數(shù)字

N[expr,n]給出expr具n位有效數(shù)字的近似值

例如：

ln(6]:=H[W+E]

Out[6]=4.1325

ln(8]:=H[V^+E,50]

Out[8]=4.1324953908321402841619761955623605763269189690769

1、vW—Rj”保留100位有效數(shù)字的

近似值

2.計算小蚯的近似值

3、方算、慳港應(yīng)保留10位有效數(shù)字的近

V3V2+1

似值

5、借助幫助系統(tǒng)學(xué)習(xí)畫圖命令Plot和解

方程命令Solve的用法

7、找出下列語句的語法錯誤并修正：

[sinpi+cos0]2

Plot{sint,(t,O,e)}

第二節(jié)數(shù)、變量與函數(shù)

一、數(shù)、變量及函數(shù)

1、數(shù)：

Mathematica中的數(shù)分為兩大類：一類是直接用數(shù)字和小數(shù)點寫出來的數(shù)；

另一類是系統(tǒng)內(nèi)部常數(shù)如：Pi,I,E等（此前己經(jīng)介紹過），這些數(shù)學(xué)常數(shù)都是精確

數(shù)，并可用在公式推導(dǎo)和數(shù)值計算中。此外，我們知道數(shù)又可分為：整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)和

復(fù)數(shù)，在Mathematica中對數(shù)的處理總是盡可能給出精確的值，但在實際當(dāng)中，常常需要對

數(shù)據(jù)類型進行轉(zhuǎn)換，此前所介紹的N函數(shù)就是給我們對?數(shù)據(jù)類型進行轉(zhuǎn)換用的。

2、變量：

數(shù)除了定數(shù)外，還有變數(shù)，也就是變量，下面介紹變量的產(chǎn)生、運用和清除。

|）變量的命名規(guī)則：

變量名是以小寫字母開頭，由字母或數(shù)字組成，區(qū)分大小寫，可以包含任意多的字母

或數(shù)字，但不能包含空格和標(biāo)點符號，與一般程序語言的命名規(guī)則相同。如：abc,datal,

data2都是正確的變量名，而如：2a,a_b,a*b等都是錯誤的變量名。

注意：系統(tǒng)內(nèi)部函數(shù)和常數(shù)不能用作變量名，如：Plot、N、Sin、I、Pi

2）變量的賦值：

變量賦值用“="表示，如abc=20

3）變量值的清除：

在Ma山ematica中的變量如果賺了值，在后面的表達式中這個變量就一直以該值出現(xiàn)，

所以第二次使用這個變量時必須先清除原來的值，否則可能造成計算結(jié)果出錯，這點初學(xué)者

常常忽視。清除方法有兩種：

方法一是用“Clear”命令

格式為：Clear[變量],清除多個變量的格式為：Clear[變量1,變量2,變量3]

如：Clear[x],清除x的值

Clear[u,v,w],同時清除u、v、w的值

方法二是在等號右邊寫一個圓點，即=.如abc=.表示變量abc的值清除了。

例：把值1,2,3分別賦給變量a,b,c；然后輸入a,b,c查看它的值；接而把各個變量

的值清除掉，然后再查看他的值。

解：

In[15j:=a=1;b=2;c=3;

ln[16]:=a

Out(16]=1

ln[17]:=b

Out(17]=2

ln[18]:=c

Out[18>3

ln[19]:=Clear[azb,c]

In[20]:=a

Out[20]=a

ln[21]:=b

Out[21)=b

ln[22]:=c

Out[22]=c

4)變量值替換：

用數(shù)值或表達式替換?個變量的格式為：函數(shù)/.變量名。數(shù)值或表達式：

替換多個變量的格式是：函數(shù)/.{變量名1->數(shù)值1或表達式1,變量名2->數(shù)值2或表達式

2,....}o如：fl[x]/.x->8,即表示求函數(shù)值fl(8)；xA3+yA2/.{x->a,y->b}>即表示把x=a(y=b

代入函數(shù)x0+y八2,可以得到a3+b2.

3、函數(shù)

我們前面已經(jīng)提過內(nèi)建函數(shù)(built-infunctions),它本身又可細分為兩類，一類是

純數(shù)學(xué)意義上的函數(shù)，第二類是命令意義上的函數(shù)。除了內(nèi)建函數(shù)外，用戶還可以跟據(jù)臼己

的需要來定函數(shù)，我們把此類函數(shù)稱為自定義函數(shù)。下面我們先介紹數(shù)學(xué)函數(shù)，然后再介紹

自定義函數(shù)，命令函數(shù)我們后面再逐一學(xué)習(xí)。

1)常用的數(shù)學(xué)函數(shù):

數(shù)學(xué)函數(shù)Mathematica中的輸入格式

絕對值函數(shù)1x1Abs[x]

三角函數(shù)Sin[x],Cos[x],Tan[x],Cot[x],Sec[x],Csc[x]

反三角函數(shù)ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x],ArcCot[x],ArcSec[x],ArcCsc[x]

指數(shù)函數(shù)/Exp[x]

對數(shù)函數(shù)Log[x]（表示lnx）,Log[&x]（表示log”x）

平方根函數(shù)五Sqrt[x]

需要注意的是，內(nèi)建函數(shù)都要以大寫字母開頭，后面是小寫字母；當(dāng)函數(shù)名分成幾段時,

每段的頭個字母要大寫，后面的字母小寫。如正弦函數(shù)Sin[x],反正切函數(shù)ArcTan[x]o此

外要注意的是，函數(shù)名后面加的是中括號口而非其他括號。

2)自定義函數(shù)：

Mathematica允許用戶自定義初等函數(shù)和分段函數(shù)。

定義一個一元函數(shù)的格式為：函數(shù)名[自變量一]:=表達式

定義一個多元函數(shù)的格式為：函數(shù)名[自變量1_,自變量2_，自變量3_.....]：=表達式

其中函數(shù)名的命名規(guī)則與變量的命名規(guī)則相同。

例：先定義函數(shù)y=x，-sinx,然后求函數(shù)在x=l處的近似值

解：

ln[23]:=y[x]:=x3-Sin[x];

m24]:=y[l]

Out[24]=1-Sin[l]

ln[25]:=N[%]

Out(25]=0.158529

例：先定義函數(shù)/(x,y)=x2+2xy-y2,然后求函數(shù)在點(1,2)處的值：

解：

ln[26]:=f[x,y]:=x2+2xy-y2;

ln[27]：=f[1,2]

0ut[27]=1

定義分段函數(shù)要用條件判斷語句If、Which,有兩種方法：

方法1：當(dāng)只分兩段時，用If語句定義，格式是：

f[x」:=If[條件1,表達式1,表達式2]

%+2%<0

例：定義分段函數(shù)/(x)=《2

xx>0

解:

2

In[28]:=f[x]:=If[x<0,x+2zx];

方法2：當(dāng)分段多于兩段時，用Which語句定義，格式是：

f[x」:=Which[條件1,表達式1,條件2,表達式2,條件3,表達式3,…]

x-1x<0

例：定義分段函數(shù)：/(%)={X20<x<2

sinxx>2

解：

In[29]:=f[x]:=Which[x<0zx-1,0x<2,,x>2,Sin[x]];|

二、初學(xué)者易犯錯誤總結(jié)

初學(xué)者容易犯的錯誤有：

1、大小寫錯誤和拼寫錯誤：內(nèi)建函數(shù)的首個字母無大寫，數(shù)學(xué)常數(shù)的首字母無大寫，

命令拼寫錯誤。

2、括號錯誤：大、中、小括號的用處混淆，或括號個數(shù)不配對。

3、空格：相乘時一定要加乘號或空格，變量名中不能有空格。

4、未清除再次使用的變量的先前賦值：當(dāng)出現(xiàn)莫名其妙的結(jié)果或結(jié)果非常復(fù)雜時，應(yīng)

使用“核心”菜單的“終止內(nèi)核”選項以使內(nèi)存清零。

三、練習(xí)

JT

1.計算下列函數(shù)的值：1)sin—2)arctan(0.125)3)ln(2.0375)

3

____]e-2

4)V31265)----------sin-------------尸arctan0.6

l+ln262+V2

2.如下幾項中全部符合命名規(guī)則的變量名是：

A.BlB.b_3

C.%D.datcdfkldhl8dal99999

3、自定義函數(shù)/(x)=d+2/+1,并用變量al,a2保存f(6),f(-14)的值。

4、清除上題定義的函數(shù)和al,再輸入al,a2查看計算機是否還存有這些變量的值。

exx<0

5、函數(shù)定義分段函數(shù)：/(尤)=19并求出f(?2)f(3)的值

[x2-3x+2x>0

6、說出下列語句的含義和結(jié)果：

pl=5+6x八2+x八3+xM*y

pl/.{x->1.2,y->2.3}

7、利用幫助瀏覽器或用“？”查詢命令I(lǐng)f、Which的用法及范例。

8、總結(jié)你在操作中出現(xiàn)的錯誤(注意克服)。

第三節(jié)圖像的繪制

、命令與選項說明

本節(jié)要把握的繪圖命令有

命令的格式用途說明

Plot[{f1[x],f2[x],…},{x,min,max},按選項的設(shè)置畫函數(shù)在區(qū)間

option->value|[min,max]上的圖像

ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,min,max},按選項的設(shè)置畫參數(shù)方程x[t],y[t]在區(qū)間

option->value][min,max]上的圖像

ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},?-?},option-按選項的設(shè)置繪出離散點

>value]{xl,yl},{x2,y2},…的圖像

按選項的設(shè)置繪出離散點

ListPlot[{y1,y2,***),option->value]

{l,yl},{2,y2},…的圖像

Show|gl,g2,-]將圖像gl,g2,…顯示在同一幅圖上

常用的選項設(shè)置有:

Option說明默認(rèn)值

AspectRatio圖形的高、寬比，如：AspectRatio->Automatic1/0.618

給坐標(biāo)軸加上名字,如：AxesLabel->{ttshijian,\

AxesLabel不加

“weiyi”}

PlotLabel給圖形加上標(biāo)題，如：PlotLabel->44delaywaives,,不加

PlotRange指定圖像縱軸的畫圖范圍,如:PlotRange->{-l,l}計算的結(jié)果

設(shè)置圖形的顏色，粗細等，如：

PlotStylePlotStyle->{RGBColor|0,0,11,RGBColor[0,1,值是一個表

0]},又如PlotStyle->PointSize[0.02]

二、實例

1.定義函數(shù)/(x)=sin/一，然后做其在區(qū)間[0,2句上的圖像，并要求所顯示的圖像具

x+1

有如下特性：沒有刻度；曲線的顏色是藍色，圖像名稱標(biāo)注為“delaywaives”，橫軸名稱標(biāo)

注為“shijian”，縱軸名稱標(biāo)注為“weiyi”。

解：

r廿1

ln[2]:=f[x]:=Sin--------

—IV41」

ln(11]:=Plot[f[x],{xz0,2Pi}tTicks->None,

Plotstyle->{RGBColor[0,0,1]},

PlotLabel->,*delaywaivesM,

AxesLabelt(nshijianu,Mweiyiu}]

注：顏色的輸入可以通過“輸入”菜單中的“顏色選擇”項來輸入，單擊該選項后將會彈出

如下的顏色選擇窗口(如下圖)，選擇了顏色后按“確定”鍵即可在工作窗口中返回一個

RGBColor的值。

x=2sintfx=sin3r

2.作參數(shù)方程〈和〈3在一個周期內(nèi)的圖像，并用不同的顏色來進

y=cost[y=cos't

行區(qū)分。

ln[15J:=ParametricPlot[{{2Sin[t],Cos[t]},{(Sin[t])3,(Cos[t])3}},

(t,0,2Pi),

Plotstyle-?(RGBColor[l,0,0],RGBColor[0,0,1]}]

x=3sinr

注意：顏色"RGBColor[l,0,0]”（表紅色）對應(yīng)的曲線是《「，而

y=5cosr

fx=sin3r

“RGBColor|0,0,l]”（表藍色）所對應(yīng)的曲線是|,，這兩個顏色要用大括號括起

[y=cost

來。此外，參數(shù)方程和參數(shù)方程要有大括號括起來，各個參數(shù)方程間要用逗號隔開。

這題的另一個做法是：先單獨畫出各個曲線的圖像，然后再用Show命令將其整合在一起，

過程如下：

In[8]:=ParametricPlot[{2Sin[t],Cos[t]},{t,0,2Pi),

Plotstyle->RGBColor[1,0,0]];

33

ln[9]:=ParametricPlot[{(Sin[t]),(Cos[t])}z{t,0,2Pi),

Plotstyle->RGBColor[0,0,1]];

3.根據(jù)如下實驗數(shù)據(jù):(0.5,0.6),(0.8,0.85),(0.11,0.10),(0.15,0.145)畫出其離散點

圖。

ln[16]:=ListPlot[{{0.5,0.6}z{0,8,0.85),{0,11,0.10}z

{0.15,0.145}},Plotstyle->Pointsize[0.02]]

0.8

3.7

3.6

3.5

0.4

3.3

0.2

0.20.30.40.50.60.70.8

Out[16>-Graphics-

讀者可以通過自行調(diào)整PointSize后面的參數(shù)以觀察圖像的變化，進而理解PointSize后面的

參數(shù)的含義。

4.先后畫出sinx和cosx在［0,%］上的圖像，然后將其合并在同一幅圖上:

ln[21]:=Plot[Cos[x],{xz0,Pi}];

-0.5

In[22]:=Show[%z%%];

5.畫出數(shù)列{(1+^)”}的圖像，然后觀察其圖像：

n

首先，我們用Table命令來生成一個集合，然后再畫它的圖像

ln[38]:=Table[+—j,{n,1,200}];

ln[39]:=ListPlot[%];

接而我們畫該數(shù)列的漸近線y=e

ln[40]:=Plot[E,{x,0,200}];

5

4

3

2

50100150200

最后我把前兩幅圖合并

ln[41]:=Show[%z%%]

0ut[41]=-Graphics

通過上圖不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列的極限的確逐漸趨向常數(shù)e

x=5cosr+cosV2r

6.制作動畫，觀察當(dāng)t的范圍不斷增大時概周期函數(shù)〈r-的圖像的變

y=5sint+sin42/

化。

lnp]：=Do[ParametricPlot[

{5Cos[t]+Cos[V^t],5Sin[t]+Sin[V^t]},

{t,0,d},AspectRatioAutomatic],(d,0.01z40,0.2}]

運行以后將后將會看到很多圖像，隨便點擊其中?幅即可觀看動畫。

三、練習(xí)

1.畫出微積分學(xué)中幾個常見函數(shù)的圖形：arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx,

xsin-,——?,sin-,e-""2,注意通過不斷調(diào)整畫圖的范圍以便于我們觀察

XXX

圖形的變化。

[xl=sin3/cosr[x2=sin3t

2.先分別做參數(shù)方程〈,...和1.廣的圖像，然后將其合并在同一幅

[yl=sin3tsinf=cos5;

圖上，要求這兩條曲線要用不同的顏色進行區(qū)分。

3.畫出數(shù)列｛2一"｝的前30個點，然后觀察數(shù)列的的變化，并注意體驗圖中點的大小的設(shè)置

第四節(jié)解方程命令和代數(shù)運算命令

、命令與用途說明

本節(jié)要把握的命令有

命令格式用途說明

給出代數(shù)方程的解集，vars為該方程中的未知數(shù)，

Solve[equition==0,vars]

如：Solve[x2—3x4-2==0,x]

Solve[{equitionl==0,equition1==給出代數(shù)方程組的解集，varsl、vars2,…為該方

0,},{varsl,vars2,}]程中的未知數(shù)

Solve命令是給出代數(shù)方程或方程組的精確解，而

NSolve[equition==0,vars]

此命令是給出方程或方程組的近似解

此命令所能求解的方程不再局限于代數(shù)方程，但只

FindRoot[equition==0,{x,x0}]

能給出以x0為初值的一個數(shù)值解。

Expand[expr]把多項式expr展開成和差的形式

Factor[expr]把多項式expr進行因式分解

FullSimplify[expr]化簡表達式expr,注意expr不一定要求是多項式

二、實例

1.求方程—3%+2=0的根

解：

ln[1]:=Solve[x2-3x+2-0,x]

Out[1]={{XHr1}r{x-2}}

ln[5]:=FindRoot[x^-3x+2==0,{xz0}]

Out[5]={x1.)

ln[6]:=FindRoot[x。-3x+2==0z(x,3)]

Out[6]={x->2.)|

注意：在Mathematica中，等號“=”是用來賦值的，而雙等號“==”才是是我們數(shù)學(xué)意義

上的等號。此外，從以上結(jié)果可以看出：Sovle命令所能求解的方程FindRoot命令也能求解，

但Solve命令給出的是方程解的集合，而FindRoot命令只能給出一個數(shù)值解，也就是近似

解，而該解往往是最為靠近初值點的解。至于FindRoot命令所能求解的方程Solve或NSovle

命令是否也能求解呢？這個問題留待第4個實例去體會。

\2x+y=\

2.求方程組〈c6的解

[x+3y=2

解：

ln[2]:=Solve[{2x+y=lzx+3y==2}z(xzy)]

Out[2]=；2，y-1"二

注意：方程組要用大括號括起來，各個方程間用逗號隔開。

3.求方程/-x-2=0的精確解和數(shù)值解

解：

ln[3]:=Solve[x4-x-2==0,x]

Out[3]={{x-—l},

2y3i(_____

x—11-2I--------------------I+—i47+3V249

31147+3-'2492

1/3

f11z..I2\

、33?47+3—2491

1L1(-------13

—I1-￡73—47+3249'

62)

47+3-；'249

1,t—,1i--------------,

—1-=3—147+3—249

62

ln[4]:=NSolve[x4-x-2==0,x]

0ut[4]={{x——l.},{x-0.176605-1.20282￡}z

{xt-0.176605+1.20282i}r{x一1.35321))

從以上結(jié)果可以看出Solve命令給出的是精確解集，而NSovle命令給出的是近似解。

4.求3cosx=lnx的解

解：

In[9]:=NSolve[3Cos[x]==Log[x],x]

Solve::tdep:

Theequationsappeartoinvolvethevariableszobe

solvedforinanessentiallynon-algebraicway.More…

Out[9]=NSolve[3Cos[x]==Log[x]rx]

從以上的結(jié)果來看，對于此類非代數(shù)方程，Solve和NSolve命令已經(jīng)無能為力了。故只能用

FindRoot命令求解了，但命令中的初值又該如何給定呢？所以為了給定初值，我們先通過圖

像來了解下解的大概情況：

由于圖像在區(qū)間[18,20]之間的相交情況看得不是很清晰，所以另外畫圖以便觀察:

ln[19]:=Plot[{3Cos[x],Log[x]],{x,18,20}]

Out[19]=-Graphics

In[20]:=Plot[{3Cos[x],Log[x]},{x,20,30)]

Out[20]=-Graphics

從以上幾幅圖我們不難看出方程有7個解。從圖上有了各解的大概位置我們也就不難通過設(shè)

定初值用命令FindRoot來求出各個近似解了：

In[34]:=FindRoot[3Cos[x]==Log[x]z(x,1}]

Out[34]={xt1.44726)

In[35]:=FinclRoot[3Cos[x]==Log[x],{x,5}]

Out[35]={xt5.30199)

In[36]:=FindRoot[3Cos[x]==Log[x]z{x,7}]

Out[36]={xT7.13951)

In[37]:=FinclRoot[3Cos[x]==Log[x],{x,12}]

Out[37]={x-11.9702}

In[38]:=FinclRoot[3Cos[x]==Log[x]z{x,13}]

Out[58]={x-13.1064}

In[39]:=FinclRoot[3Cos[x]==Log[x],{x,17}]

Out[39]={x718.6247)

ln[4C]:=FindRoot[3Cos[x]==Log[x],{x,20}]

Out[40]={xt19.0387}

5.展開多項式(x+1)5(2%+3)3

解：

ln[41]:=Expand[(x+1)5(2x+3)3]

Out[4l]=27+189x+576x2+998x3+1075x4+737x5+314x6+76x7+8x3

6.把多項式元2-3x+2進行因式分解

解：

In[42]:=Factor[xi-3x+2]

Out[42]=(-2+x)(-1+x)

7.化簡式子如：1)sin2x+cos2x+sinarcsinx

2sin2x+sin2x

2)-------------------------------

1+tanx

解：

In[43]:=FullSimplify[Sin[x]+Cos[x]+Sin[ArcSin[x]]]

Out[43]=1+x

2Sin[x]2+Sin[2x]

In[15]：=Full