數(shù)學(xué)八年級上冊第11章三角形 教案 新人教版

第十一章三角形

11.1與三角形有關(guān)的線段

11.1.1三角形的邊

1目為

【知識與技能】

(1)結(jié)合具體實例，進一步認識三角形的概念及其基本要素，并能用符號語言表示三角

形.

(2)利用邊的相等關(guān)系能正確地給三角形分類.

(3)掌握三角形的三邊關(guān)系，并能利用此關(guān)系判斷已知的三條線段能否組成三角形.

【過程與方法】

在探索三角形三邊關(guān)系的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷測量三角形邊長的實踐活動，理解三角形

三邊間的不等關(guān)系.

【情感態(tài)度與價值觀】

幫助學(xué)生樹立幾何知識源于客觀實際的觀念，用客觀實際的觀念激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

出學(xué)0傍

(1)對三角形的有關(guān)概念的了解，能用符號語言表示三角形.

(2)三角形的三邊關(guān)系.

逆：學(xué)期陶

用三角形的三邊關(guān)系判斷已知三條線段能否組成三角形.

他具卷。

多媒體課件、三角形紙片

遹腥回0

出示投影(一些含有三角形的實際例子，比如金字塔、自行車等，如圖11-1.1-1),首

先讓學(xué)生觀察，然后教師進行引入：三角形是一種常見的幾何圖形，從古埃及的金字塔到現(xiàn)

代的飛機、飛船，從宏大的建筑到微小的分子結(jié)構(gòu)，處處都有三角形的影子,我們所研究的

“三角形”這個課題來源于實際生活.本節(jié)我們將從認識三角形開始.(教師板書課題)

(M)

圖11-1.1-1

教師提問：通過觀察剛才的圖片，你們能得出三角形完整的概念嗎？

過程

探究1三角形的有關(guān)概念

教師出示一個三角形紙片，讓學(xué)生觀察，然后由教師直接給出三角形的概念.

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫作三角形.

教師繼續(xù)利用剛才的三角形紙片向?qū)W生直接指明相關(guān)的概念：

1.相鄰兩邊的公共端點叫作三角形的頂點.

2.相鄰兩邊組成的角叫作三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.

3.組成三角形的線段叫作三角形的邊.

接著教師出示投影(△ABC),并提出問題：這個三角形該怎么用符號語言表示？它的內(nèi)

角、邊又該怎么表示？學(xué)生獨立思考，師生共同總結(jié)：圖11-1.1-2“三角形”可用符號

表示，如圖11-1.1-2,頂點是A,B,C的三角形，記作△ABC,讀作“三角形ABC”.NA,

ZB,NC是AABC的三個內(nèi)角；AABC的三邊分別是AB,BC,CA,有時也可用小寫字母來表

示，頂點A,B,C所對的邊分別可用a,b,c來表示，即邊AB可用c表示，邊BC可用a

表示，邊CA可用b表示.

教師安排學(xué)生完成教材P4練習(xí)第1題，并舉手回答：

圖中有幾個三角形？用符號表示這些三角形.

解：5個.分別是△ABC,ABCD,ABCE,AABE,ACDE.

教師講評學(xué)生的回答，然后師生共同歸納、總結(jié)數(shù)三角形個數(shù)的方法(列舉法)：

(1)按圖形形成的過程去數(shù)(即重新畫一遍圖形，按照三角形形成的先后順序去數(shù))

(2)按三角形的大小順序去數(shù).

(3)從圖中的某一條線段開始沿著一定的方向去數(shù).

(4)先固定一個頂點，變換另兩個頂點來數(shù).

探究2：三角形的分類方法

教師布置學(xué)生自學(xué)，先讓學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)的概念，如等腰三角形、等邊三角形等，然后通

過小組進行討論交流后完成下面的填空.

［銳角三角形

按角分類:三角形［直角二角形

，鈍角三角形

三邊都不相等的三角形

一誨邊和震不相嶂的等展三角形

按邊分類：三角形颼二角叫等邊三角形

在這一過程中，教師要注意點撥分類的思想和原則.

探究3：三角形的三邊關(guān)系

教師出示教材P3的探究，先讓學(xué)生動手畫一畫，試一試，教師再引導(dǎo)學(xué)生討論、分析，

得到兩條線路：

(1)由點B直接到點C,即BC；

(2)先由點B到點A,再由點A到點C,即BA+AC.

師生得到結(jié)論：線路（1）中的BC要短一些，即BCVBA+AC.

教師進一步提出問題：為什么BC要短一些？

學(xué)生舉手回答：“兩點之間，線段最短.”

然后師生共同歸納得出：

BC<AB+AC,①

AC<AB+BC,②

AB<BC+AC.③

即三角形兩邊的和大于第三邊.（教師板書）

教師提問：由不等式①②③移項，你能得到怎樣的不等式？通過這些不等式，你有什么

發(fā)現(xiàn)呢？

學(xué)生回答，師生共同歸納：三角形兩邊的差小于第三邊.（教師板書）

教師出示教材P3例題：

用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形.

（1）如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？

（2）能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？

師生共同分析后，教師板書規(guī)范的解答過程：

解：（1）設(shè)底邊長為xcm,則腰長為2xcm.

由題意，得x+2x+2x=18,解得x=3.6.

所以，三邊長分別為3.6cm,7.2cm,7.2cm.

（2）因為長為4cm的邊可能是腰，也可能是底邊，所以需要分情況討論.

若4cm長的邊為底邊，設(shè)腰長為xcm,則

4+2x=18,解得x=7.

若4cm長的邊為腰，設(shè)底邊長為xcm,則

2X4+x=18,解得x=10.

因為4+4<10,不符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以不能圍成腰長是4cm的等腰

三角形.

由以上討論可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰三角形.

教師總結(jié)三角形三邊關(guān)系的作用：（1）已知三角形的兩邊長，求第三邊長的取值范圍.（2）

判斷三條線段能否組成三角形.（3）利用三角形的三邊關(guān)系解決含絕對值符號的化簡問題.

最后讓學(xué)生獨立完成教材P4練習(xí)第2題，學(xué)生舉手口答.

逑堂。?

1.三角形的相關(guān)概念以及表示方法.

2.三角形按邊分類.

3.三角形的三邊關(guān)系.

11.1.1三角形的邊

探究1:三角形的有關(guān)概念探究3：三角形的三邊關(guān)系

投

影探究2：三角形的分類方法三角形兩邊的和大于第三邊.

區(qū)按角分類：三角形兩邊的差小于第三邊.

按邊分類：(教材P3例題的解答過程)

第十一章三角形

11.1與三角形有關(guān)的線段

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

11.1.3三角形的穩(wěn)定性

逆學(xué)圖§

【知識與技能】

(1)會用工具準(zhǔn)確畫出三角形的高、中線與角平分線，并理解它們的含義.

(2)通過畫圖，了解三角形的三條高所在的直線交于一點；三角形的三條中線交于一點

一—三角形的重心；三角形的三條角平分線交于一點.

(3)了解三角形的穩(wěn)定性.

【過程與方法】

經(jīng)歷折紙、畫圖等實踐活動，認識三角形的高、中線與角平分線.

【情感態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐能力.

(1)了解三角形的高、中線與角平分線的概念，會用工具準(zhǔn)確畫出三角形的高、中線與

角平分線.

(2)了解三角形的三條高所在的直線、三條中線與三條角平分線分別交于一點.

(3)了解三角形的穩(wěn)定性.

懣學(xué)靖

(1)了解三角形的高、中線與角平分線的概念，會用工具準(zhǔn)確畫出三角形的高、中線與

角平分線.

(2)了解三角形的三條高所在的直線、三條中線與三條角平分線分別交于一點.

(3)了解三角形的穩(wěn)定性.

邀具卷。

多媒體課件、直角三角尺、硬紙條、釘子

教師提出：同學(xué)們，我們以前學(xué)習(xí)過“過一點畫已知直線的垂線”，誰能說一說是怎樣

畫的？(教師可讓幾名同學(xué)到黑板上演示一下，其他學(xué)生在作業(yè)本上畫.教師要注意強調(diào)畫法

的規(guī)范性)

教師進一步提出問題：過三角形的一個頂點如何畫三角形的高？這節(jié)課我們就來研究這

個問題(教師板書)

探究1:三角形的高

教師讓學(xué)生動手畫出一個銳角三角形的高，然后找學(xué)生描述三角形的高的畫法與定義.

教師總結(jié)三角形的高的定義：

圖11-1.2-1

從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線,頂點和垂足之間的線段叫作三角形

的高,如圖11T.2T,在△ABC中，AD1BC,垂足為D,所以AD是AABC的一條高.

教師引導(dǎo)學(xué)生注意垂直符號的書寫.

接著，教師提出問題：想一想，一個三角形有幾條高？

然后教師要求學(xué)生動手畫三個不同的三角形，即銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形,

要求學(xué)生作出它們的高，最后同學(xué)間進行交流.

教師點評學(xué)生的作法后出示投影（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形以及它們的高,

如圖11-1.2-2）,并出示結(jié)論：

銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形都有三條高.

教師繼續(xù)讓學(xué)生觀察:每個三角形的三條高有什么位置關(guān)系？小組之間進行討論、交流,

然后歸納結(jié)果：

銳角三角形的三條高在三角形的內(nèi)部,相交于一點；直角三角形有兩條高與直角邊重合,

另一條高在三角形的內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，

一條高在三角形的內(nèi)部，三條高不相交，但三條高所在的直線相交于三角形外一點.

教師進一步讓學(xué)生練習(xí)：教材P5練習(xí)第1題.

探究2：三角形的中線

教師提問：你能畫一條線段將三角形的面積平分嗎？

教師先讓學(xué)生思考、嘗試，再引出這條線段就是三角形的另一條特殊的線段一一三角形

的中線.教師緊接著指出三角形的中線的定義：

連接三角形頂點和對邊中點的線段叫作三角形的中線能把三角形分成面積相等的兩部

分，最后教師點評并說明：中線可以把這個三角形分成兩個等底等高的三角形，所以這兩個

三角形的面積相等.接著讓學(xué)生任意畫出一個三角形，畫出這個三角形的三條中線，然后分

析這三條中線的位置關(guān)系，同桌之間互相討論、交流.（教師多讓幾位同學(xué)發(fā)言，分別指出他

們畫出的是什么樣的三角形，這樣三角形的任意性就有了）

師生共同總結(jié)：任意三角形的三條中線都交于一點，三角形三條中線的交點叫作三角形

的重心.教師出示幾何語言表述：

（由中線推線段相等）如圖11T.2-3,AD是4ABC的邊BC上的中線（已知），所以

BD=DC=12BC或BC=2BD=2DC或D為BC的中點.

A

圖11-1.2-3(由線段相等推中線)如圖11-1.2-3,因為BD=DC=12BC或BC=2BD=2DC或D

為BC的中點(已知)，所以線段AD為邊BC上的中線(三角形的中線的定義).

最后教師將這部分知識進行歸納：

(1)一個三角形有三條中線，并且都在三角形的內(nèi)部，相交于一點.

(2)三角形的中線是一條線段.

(3)三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.

探究3：三角形的角平分線

教師指出三角形的角平分線的定義，然后仿照三角形的高或中線的教學(xué)過程，安排學(xué)生

畫一畫，并相應(yīng)地提出類似的問題.學(xué)生動手操作，然后交流、探討，師生共同歸納總結(jié)：

(1)一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部，相交于一點.

(2)三角形的角平分線是線段，而角的平分線是一條射線.

最后教師強調(diào)：三角形的高、中線、角平分線都是線段.

教師出示例題：

圖11-1.2-4

如圖11-1.2-4,AD為AABC的中線,BE為4ABD的中線.

(1)畫出ABED中BD邊上的高；

(2)若aABC的面積為60,BD=5,求點E到BC邊的距離.

教師帶領(lǐng)學(xué)生進行分析，讓學(xué)生自主完成第(1)問，教師給出第(2)問的規(guī)范解答過程.

分析：（1）ABED是鈍角三角形，BD邊上的高在BD邊的延長線上.（2）先根據(jù)三角形的中

線把三角形分成面積相等的兩個小三角形，結(jié)合題意可求得aBED的面積，再求出點E到BC

邊的距離即可.

圖11-1.2-5

解:（1）如圖11-1.2-5,EF即為aBED中BD邊上的高.

（2）因為AD為aABC的中線，BE為aABD的中線，SAABC=60,

所以SABED=12SAABD=14SAABC=15.

因為BD=5,所以EF=2SZ\BED+BD=2X15+5=6,

即點E到BC邊的距離為6.

教師進一步讓學(xué)生練習(xí)：教材P5練習(xí)第2題.

探究4：三角形的穩(wěn)定性

A

圖11-1.2-6

教師把學(xué)生分成四人一組，發(fā)給他們?nèi)龔堄布垪l、三枚釘子，分組合作探究實驗.

教師出示實驗（投影）：如圖117.2-6,把三張硬紙條用釘子釘成一個三角形，然后扭

動它，它的形狀會改變嗎？這說明什么問題？

（教師巡回檢查，并指導(dǎo)，指定個別同學(xué)歸納結(jié)論）

師生共同總結(jié)：三角形具有穩(wěn)定性.

教師讓學(xué)生舉手發(fā)言：在現(xiàn)實生活中，三角形的穩(wěn)定性有哪些方面的應(yīng)用呢？舉例子說

明.（對于學(xué)生的發(fā)言，只要符合實際，教師都要給予肯定）

圖11T.2-7表示其中的一些例子.

鋼架橋起重機

圖11-1.2-7

教師接著類比三角形的方法，與學(xué)生一起探究四邊形、五邊形是否具有穩(wěn)定性，并且尋

找使四邊形、五邊形具有穩(wěn)定性的方法，最后師生共同總結(jié)：三角形的穩(wěn)定性是三角形特有

的性質(zhì)，除三角形以外的多邊形都不具有穩(wěn)定性，要使其穩(wěn)固，可以引入三角形.三角形在

生產(chǎn)、生活中應(yīng)用很廣，有很多需要穩(wěn)定的東西都制成三角形的形狀.

教師進一步讓學(xué)生練習(xí)：教材P7練習(xí).

即堂??

1.三角形的高、中線、角平分線的定義及畫法.

2.運用三角形的高、中線、角平分線可得到相等的線段和相等的角.

3.三角形具有穩(wěn)定性，多邊形不具有穩(wěn)定性.

通*@?

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

11.1.3三角形的穩(wěn)定性

探究3：三角形的角平分線

探究1：三角形的高

（例題的解答過程）

探究2：三角形的中線

探究4：三角形的穩(wěn)定性

第十一章三角形

11.1與三角形有關(guān)的線段

【預(yù)習(xí)速填】

1.三角形的定義及相關(guān)概念.

理解這個知識點要注意以下兩點：一是判定一個圖形是不是三角形要掌握以下三個特征：①

三條線段；②不在同一條直線上；③首尾順次連接.二是三角形的基本要素及表示方法：①

三個頂點，三條邊，三個內(nèi)角；②三角形用符號“（）”表示：③三角形的邊可

以用兩個頂點表示，也可以用一個小寫字母表示.

2.三角形按邊分類.

三角形可分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形又可分為底邊和腰不相等的

等腰三角形和等邊三角形.掌握它要理解：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等邊三角形

（）是等腰三角形，但是等腰三角形（）是等邊三角形.（填“一定”

或“不一定”）

3.三角形的三邊關(guān)系.

要理解以下兩點：一是“三角形兩邊的和第三邊，三角形兩邊的差（）第三邊”

中“三角形兩邊”是指三角形的任意兩邊，而不是特定的；二是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可以

解決以下問題：①判斷三條線段能否組成三角形；②已知三角形的兩邊，求第三邊的范圍（或

取值）.

4.三角形的中線（如圖2,A2D2是△ABC?的邊B￡2上的中線）.

要掌握以下兩點：①三角形的中線是一條線段，一個三角形的中線有三條，且中線及中線的

交點都在三角形內(nèi)部;②三角形的中線把對邊分成相等的兩部分，同時也把三角形的分

11

成相等的兩部分，如圖2中，B2D2=二年2c2,S/SA2B2D2=.

A2

圖2

5.三角形的角平分線（如圖3,A3D3是AAsB3c3的角平分線）.

6.要掌握以下兩點①三角形的角平分線是一條線段，一個三角形的角平分線有三條，且角

平分線及角平分線的交點都在三角形內(nèi)部;②三角形的角平分線把角分成相等的兩部分如圖

3中，NB3A3D3二___二___o

圖3

6.三角形的穩(wěn)定性，要注意以下三點：

（1）三角形的三邊長度確定以后，它的形狀和大小就被確定了，三角形的這種特征叫做三

角形的穩(wěn)定性.而四邊形的四邊長度確定以后，它的形狀和大小不能確定，故四邊形。穩(wěn)

定性；（2）要判斷某圖形是否具有穩(wěn)定性，就是看它的基本組成部分是否是,若是,

則具有穩(wěn)定性，反之則不具有穩(wěn)定性；（3）三角形的穩(wěn)定性與四邊形的不穩(wěn)定性都有著廣

泛的應(yīng)用.例如上圖中空調(diào)掛機的固定方式就運用了三角形的穩(wěn)定性.

口一空調(diào)掛機

__]

三角形支架

【自我檢測】

1.下列說法正確的是（）

A.連接任意三點組成的圖形是三角形

B.三角形按邊分類可分為三邊都不相等的三角形、等腰三角形和等邊三角形

C.等邊三角形一定是等腰三角形

D以上說法都不正確

2.如圖，畫AABC的一邊上的高，下列畫法正確的是（）

3.若AD是4ABC的角平分線（D在線段BC±）,則/BAD==?.若AE是AABC

的中線（E在線段BC上）則BE==BC,且S△械=SAABE=SAACB..

【解析】由角平分線的定義可知，ZBAD=ZCAD=-ZBAC,由中線的定義及性質(zhì)可知，

2

1

BE=CE=-BC,且SAMC=2SAABE=2SAACE.

2

4.如圖，木工師傅做完門框后,為了防止變形,常常像圖中所示那樣斜釘兩根木條,這樣做的

數(shù)學(xué)道理是.

上一空調(diào)掛機

1

三角形支架

5.房子的屋頂常用三角結(jié)構(gòu),從數(shù)學(xué)角度來看,是應(yīng)用了,而活動掛架則應(yīng)用了

6.一個等腰三角形的周長為20cm,其中一邊5cm,求其他兩邊長.

參考答案

【預(yù)習(xí)速填】

1.△

2.一定，不一定

3.大于，小于

4.面積，C2D2,SAA2C2D2>SAA2B2C2

5./C3A3D3,/B3A3c3

6.不具有，三角形

【自我檢測】

1.【解析】連接任意不在同一條直線上的三個點才是三角形；三角形按變分類可分為三邊都

不相等的三角形和等腰三角形，等邊三角形屬于等腰三角形：因此C正確。

【答案】C

2.【解析】A選項中/C是鈍角，因此需要作輔助線延長BC；B選項中同理需要作輔助線延

長CB：C選項正確；D選項中應(yīng)做AD垂直于BC的延長線。

【答案】C

3?【解析】由角平分線的定義可知，ZBAD=ZCAD=-ZBAC,由中線的定義及性質(zhì)可知，

2

BE=CE--BC,且SAABC=2SAABE=2S&CE.

2

1

【答案】ZCAD,ZBAC,CE,2,2,2

4.【解析】三角形具有穩(wěn)定性。

【答案】三角形具有穩(wěn)定性

5.【解析】三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性。

【答案】三角形的穩(wěn)定性，四邊形的不穩(wěn)定性

6.【解析】當(dāng)長5cm的邊為腰時，則底邊長為20-5X2=10(cm),5+5=10,不符合三角

20-5

形兩邊的和大于第三邊，不能圍成三角形；當(dāng)長5cm的邊為底時，則腰為2=7.5(cm)其

他兩邊長為7.5cm,7.5cm

第十一章三角形

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角

課時一三角形的內(nèi)角

學(xué)

【知識與技能】

理解三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容，能應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決一些簡單的實際問題.

【過程與方法】

經(jīng)歷探究活動的過程，得出三角形內(nèi)角和定理，能用平行線的性質(zhì)推出這一定理.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過觀察、歸納、推理得出數(shù)學(xué)猜想，體驗數(shù)學(xué)充滿探索性、創(chuàng)造性.

三角形內(nèi)角和定理.

述學(xué)流

三角形內(nèi)角和定理的證明過程.

邀溟卷?

多媒體課件、三角形硬紙片、剪刀.

教師提問：我們知道，任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°,怎樣證明這個結(jié)論的正確

性呢？在小學(xué)，我們是通過測量或剪拼的方法進行驗證，但我們不可能對所有的三角形都進

行驗證，有沒有一種能證明任意三角形的內(nèi)角和等于180°的方法呢？

（引發(fā)學(xué)生思考，教師板書本節(jié)課的課題）

教師讓學(xué)生拿出提前準(zhǔn)備好的三角形硬紙片.

(1)(2)

圖11-2.1.1-1

在圖11-2.1.1-1(1)中，NB和NC分別拼在NA的左右，三個角合起來形成一個平角,

出現(xiàn)一條過點A的直線1,移動后的NB和/C各有一條邊在直線1上.想一想，直線1與4

ABC的邊BC有什么關(guān)系？由這個圖你能想出證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的方法嗎？

由上述剪拼過程得到啟發(fā)，過4ABC的頂點A作直線1平行于AABC的邊BC(圖

11-2.1.1-1),那么由平行線的性質(zhì)與平角的定義就能證明“三角形的內(nèi)角和等于180?！?/p>

這個結(jié)論.

最后師生共同歸納：三角形的內(nèi)角和等于180。.

探究2：三角形內(nèi)角和定理的證明

教師出示投影：

已知:△ABC,如圖11-2.1.1-2.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

教師引導(dǎo)學(xué)生借助拼接的方法，進行小組討論，借助輔助線進行解答，學(xué)生依據(jù)拼接的

方法進行討論、交流，教師做好引導(dǎo)和指導(dǎo)工作.

思路一：

師生共同完成證明過程(并板書)：

證明:如圖11-2.1.1-3,過點A作DE〃BC.

/.ZB=Z1,NC=N2(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).

VZBAC+Z1+Z2=18O°,

.,.ZBAC+ZB+ZC=180°,

即三角形的內(nèi)角和為180°.

教師強調(diào)：添加輔助線是將三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角，再利用平行線的性質(zhì)進

行證明.

思路二:

教師提問：結(jié)合其他的拼接方法，你還能得到怎樣的證明方法？還有其他的證明方法

嗎？學(xué)生根據(jù)已有的證明方法和拼接經(jīng)驗，自主思考三角形內(nèi)角和定理的證明過程，最后小

組討論，師生交流得到證明方法，學(xué)生書寫證明過程（可模仿思路一的書寫過程）.教師可給

出參考，如圖11-2.1.1-4⑴⑵⑶.

圖11-2.1.1-4

師生總結(jié)并板書：三角形內(nèi)角和定理，即三角形三個內(nèi)角的和等于180。.

教師分別出示教材P12例1、例2：

圖11-2.1.1-5

例1如圖11-2.1.1-5,在△例C中,ZBAC=40°,ZB=75°,AD是△ABC的角平分線.

求/ADB的度數(shù).

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：（D要求NADB的度數(shù)，只要求出哪個角的度數(shù)就可以？（2）此題的

解答都要利用哪些定理？

學(xué)生獨立完成解題過程，并與課本上的過程進行對照.

解：由NBAC=40°,AD是△ABC的角平分線，得

ZBAD=12ZBAC=20°.

在4ABD中,ZADB=180°-ZB-ZBAD=180°-75°-20°=85°.

教師點撥：解決求某個角的度數(shù)的問題，一般先分析這個角是哪一個三角形的內(nèi)角，其

他兩個角是否已知度數(shù)或已知三個角之間的數(shù)量關(guān)系，再利用三角形內(nèi)角和定理進行求解.

圖11-2.1.1-6

例2圖11-2.1.1-6是A,B,C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A

島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A,C兩島的視角NABC是多

少度？從C島看A,B兩島的視角NACB呢？

教師分析：A,B,C三島的連線構(gòu)成△ABC,所求的NACB是aABC的一個內(nèi)角.如果能

求出/CAB,/ABC的度數(shù)，就能求出NACB的度數(shù).

教師板書解題過程.

解：ZCAB=ZBAD-ZCAD=80°-50°=30°.

由AD〃BE,得NBAD+NABE=180".

/.ZABE=1800-ZBAD=180°-80°=100°,

AZABC=ZABE-ZEBC=100°-40°=60°.

在△ABC中,ZACB=1800-ZABC-ZCAB=180°-60°-30°=90°.

答：從B島看A,C兩島的視角NABC是60°,從C島看A,B兩島的視角/ACB是90°.

教師點撥：解答此題的關(guān)鍵是明確方向角的定義，知道題目所給出的角的度數(shù)，再運用

平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答.

1.三角形內(nèi)角和定理的證明.

2.會運用三角形內(nèi)角和定理求三角形中內(nèi)角的度數(shù).

11.2與三角形有關(guān)的角

H.2.1三角形的內(nèi)角(課時?三角形的內(nèi)角)

投探究1:用剪拼法說明三角形的內(nèi)角和等于18()。

影(例2的解題過程)

區(qū)探究2：三角形內(nèi)角和定理的證明

(思路一的證明過程)

第十一章三角形

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角

課時二直角三角形的性質(zhì)

【知識與技能】

(1)會用符號和字母表示直角三角形.

(2)掌握“直角三角形的兩個銳角互余”的性質(zhì).

(3)能用“有兩個角互余的三角形是直角三角形”對三角形進行判定.

【過程與方法】

通過三角形內(nèi)角和定理得出直角三角形的性質(zhì)，使學(xué)生體會從一般到特殊的方法.

【情感態(tài)度與價值觀】

發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.

探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理..

有關(guān)直角三角形的推理表述及性質(zhì)定理和判定定理的應(yīng)用

多媒體課件.

教師提問：

(D三角形的內(nèi)角和為多少？

(2)在aABC中，ZC=90°,/A與/B有什么數(shù)量關(guān)系？

（學(xué)生口答，教師引入本節(jié)課題，并板書）

通學(xué)??

探究1:直角三角形的表示方法

直，\^邊

c直角邊

圖11-2.1.2-1

教師提問：三角形ABC表示成△ABC,直角三角形應(yīng)該如何表示呢？

學(xué)生先自主思考后，教師直接給出：直角三角形可以用符號“Rt△”表示.如圖

11-2.1.2-1,直角三角形ABC的表示方法為RtZ\ABC,直角的兩邊叫作直角邊，直角所對的

邊叫作斜邊.

教師提問：在Rtz^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,NA等于多少度？有沒有簡單的方法

計算這道題呢？下面我們來研究直角三角形的性質(zhì).

活動一：根據(jù)以上問題，教師指導(dǎo)學(xué)生借助三角尺進行分析、計算，學(xué)生得出/A=60°,

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)NA和NB之間的關(guān)系.

活動二：請同學(xué)們畫一個RtaABC,其中NC=90°,用量角器分別量出NA,NB的度數(shù),

并且求出NA+NB的值.

教師追問：通過對問題的計算你們發(fā)現(xiàn)NA和/B有什么關(guān)系？

學(xué)生討論后，小結(jié)得出：直角三角形的兩個銳角互余.

教師繼續(xù)追問：結(jié)合圖形，你們能寫出已知、求證和證明嗎？

學(xué)生回答，教師板書（如下），師生共同完成證明過程.同時教師指出，經(jīng)過證明的這個

結(jié)論被稱為“直角三角形的性質(zhì)定理”.

己知：RtAABC,ZC=90°.

求證：直角三角形的兩個銳角互余.

A

C-----------------B

圖11-2.1.2-2

證明：如圖11-2.1.2-2,在Rt^ABC中，

VZA+ZB+ZC=180°（三角形內(nèi)角和定理），

且NC=90°,

/.ZA+ZB=90°,

即直角三角形的兩個銳角互余.

最后教師強調(diào)以后我們在求直角三角形中銳角的度數(shù)時，就可以直接利用直角三角形的

這個性質(zhì)進行解答，而不必再用三角形的內(nèi)角和定理.

教師出示教材P14例3：

圖11-2.1.2-3

如圖11-2.1.2-3,NC=ND=90°,AD,BC相交于點E,NCAE與NDBE有什么關(guān)系？為

什么？

分析：要想找出NCAE與NDBE的關(guān)系，它們不在同一個三角形中，通過觀察可知它們

是兩個不同的直角三角形中的銳角，只要找出另外兩個銳角的關(guān)系即可.

師生共同完成分析以后，教師給出規(guī)范的解答過程：

解：在RtZXACE中，ZCAE=90°-ZAEC.

在RtZXBDE中，ZDBE=90°-ZBED.

VZAEC=ZBED,AZCAE=ZDBE.

探究3：直角三角形的判定

教師提出問題：我們知道，如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形的兩個銳角

互余.反過來，有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？

學(xué)生獨立思考，然后小組討論、交流，形成結(jié)論，匯報交流結(jié)果，教師做好指導(dǎo)和評價.

教師請一名學(xué)生書寫推理過程：

如圖11-2.1.2-4,在aABC中，ZA+ZB+ZC=180°（三角形內(nèi)角和定理）.

VZA+ZB=900（已知），

AZC=90°,

/.△ABC是直角三角形（直角三角形的定義）.

教師最后總結(jié)：有兩個角互余的三角形是直角三角形.

之后安排學(xué)生完成教材P14練習(xí)第2題，教師請一名學(xué)生進行板演，然后進行點評.

1.直角三角形的表示方法.

2.直角三角形的性質(zhì)一一直角三角形的兩個銳角互余.

3.直角三角形的判定一一有兩個角互余的三角形是直角三角形.

11.2.1三角形的內(nèi)角（課時?直角三角形的性質(zhì)）

探究1：直角三角形的表示方法探究3：直角三角形的判定

RtA/IBC有兩個角互余的三角形是直角三

投

影探究2：直角三角形的性質(zhì)角形.

區(qū)直角三角形的兩個銳角互余.

（性質(zhì)定理推理過程）

（教材P14例3的解答過程）

第十一章三角形

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.2三角形的外角

遨望回0

【知識與技能】

(1)理解三角形外角的定義，并能識別三角形的外角.

(2)掌握三角形外角的性質(zhì).

(3)能利用三角形外角的性質(zhì)解決問題.

【過程與方法】

使學(xué)生在操作過程中，探索并了解三角形的外角的性質(zhì)，并能利用學(xué)過的定理證明這個

性質(zhì).

【情感態(tài)度與價值觀】

能面對數(shù)學(xué)活動中的困難，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.

逆學(xué)00

三角形外角的性質(zhì).

三角形外角的性質(zhì)的證明過程.

多媒體課件.

圖11-2.2-1

(教師出示投影)如圖11-2.2T,在足球場上，小羅在E處受到阻擋需要傳球，請幫助

他作出選擇，應(yīng)傳給在B處的球員還是在C處的球員，其射門才不易射偏？(不考慮其他因

素)

觀察圖中哪個角不同于其他的角？(教師引入新課，板書課題)

探究1：三角形外角的定義

教師提出問題：1.觀察情境導(dǎo)入中的圖形，NACB與/ACD在位置上有什么關(guān)系？

2.對于NACB而言，ZACD在AABC的內(nèi)部還是外部？

學(xué)生回答教師所提出的問題，繼而師生共同總結(jié)三角形外角的定義：

像/ACD這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫作三角形的外角.

探究2：三角形外角的性質(zhì)

教師讓學(xué)生自學(xué)教材P15思考的內(nèi)容，然后讓學(xué)生分小組進行交流、討論，從而歸納三

角形的外角有什么性質(zhì)，并且提出以下問題：

能否用證明的方法說明所歸納的性質(zhì)？

讓學(xué)生先自己去嘗試說一說，互相討論、交流，再安排學(xué)生當(dāng)堂發(fā)言.師生共同糾正敘

述過程中的不當(dāng)之處.

最后教師總結(jié)并板書三角形外角的性質(zhì)：

三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

圖11-2.2-2

教師出示教材P15例4：

如圖11-2.2-2,ZBAE,ZCBF,NACD是△ABC的三個外角,它們的和是多少？

教師先讓學(xué)生進行分析，教師可以適當(dāng)加以引導(dǎo)學(xué)生，將三角形的外角轉(zhuǎn)化為三角形的

內(nèi)角，然后師生共同寫出規(guī)范的解答過程.

解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得NBAE=/2+N3,ZCBF=

Z1+Z3,NACD=/1+N2,

所以ZBAE+ZCBF+ZACD=2(Z1+Z2+Z3).

由Nl+N2+N3=180°,得

ZBAE+ZCBF+ZACD=2X180°=360°.

接著教師布置練習(xí)：教材P15練習(xí)，學(xué)生舉手回答.

1.三角形外角的定義.

2.三角形外角的性質(zhì)：（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;

（2）三角形的外角和等于360°；

（3）三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

逆書?

11.2.2三角形的外角

投探究1：三角形外角的定義知識拓展：1.三角形的外角和等于360。.

影

區(qū)探究2：三角形外角的性質(zhì)2.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何

（教材P15例4的解答過程）一個內(nèi)角

第十二章三角形

11.2與三角形有關(guān)的角

【預(yù)習(xí)速填】

7.三角形內(nèi)角和定理理解它要注意以下兩點:①任何一個三角形的三個內(nèi)角的都是;

②三角形內(nèi)角和定理的證明，是通過作把三角形的內(nèi)角轉(zhuǎn)化到一個平角中，從而得出結(jié)

論.

8.直角三角形的性質(zhì)與判定.理解它要掌握以下三點:①“直角三角形的兩個銳角互余”及

“有兩個角互余的三角形是直角三角形”都可以利用推出;②在直角三角形中，

若已知兩個銳角之間的數(shù)量關(guān)系，可以結(jié)合求出每個銳角的大小，而不必再使用三

角形內(nèi)角和定理求解;③在判定一個三角形是直角三角形時,除利用直角三角形的定義外,還

可找出有兩個銳角,從而直接判定.

3.三角形的外角.掌握這個知識點要理解以下兩點:①判定一個角是三角形的外角的三個條

件：一是頂點是三角形的一個頂點，二是一邊是三角形的一條邊，三是另一邊是三角形

的:②三角形的一個內(nèi)角跟與它相鄰的外另一邊是三角形的角是一對.

4.三角形內(nèi)角和定理的推論（三角形外角的性質(zhì)）.理解時注意掌握以下兩點:①三角形外角

的性質(zhì)反映了三角形的外角跟與它不相鄰的內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系,利用它既可以求相關(guān)的角,

又可以證明一個角等于另兩個角的和或差,還可以把它作為中間量證明兩個角相等等.另外，

由此性質(zhì)可知，三角形的外角任何一個與它不相鄰的內(nèi)角；②三角形的三個外角的和

是.

【自我檢測】

1.如圖，(1)在4ABC中，NB=50°,NC的外角等于100°，則NA=(2)如圖所示，/

2.在aABC中，ZB=ZA+20°,/C=/B+20°求4ABC各內(nèi)角的度數(shù).

3.如圖,AB〃CD,MG、NH分別平分/AMN、NCNM,交點為K,求證：MINK為直角三角形.

4.已知，如圖，在△ABC中,AD平分外角NEAC,NB=NC,求證AD〃BC.

參考答案

【預(yù)習(xí)速填】

1.【答案】180°,平行線

2.【答案】三角形內(nèi)角和定理，兩銳角互余，互余

3.【答案】一條邊的延長線，鄰補角

4.【答案】大于，360°

【自我檢測】

1.【解析】(1)由外角的性質(zhì)可知，100°=ZA+ZB,所以NA=50°

(2)由圖可知，Na=35°+70°=105°(對頂角相對,外角的性質(zhì))

【填空個數(shù)】2

【答案】50°,105°

2.【解析】NB=/A+20°,NC=NB+20°,NC=NA+40°在AABC中，NA+NC=180°,

ZA+ZA+200+ZA+400=180°,ZA=40°.

3.【解析】MG、NH分別平分NAMN、ZCNM,

ii

ZKMN=2ZAMN,ZKNM=2ZCNM.AB^CD,ZAMN+ZCNM=180°

1

AZKMN+ZKNM=2(ZAMN+ZCNM)=90q

△MNK為直角三角形

4.【解析】；AD平分NEAC,NEAD=NCAD.

XVZEAC=ZB+ZC,/B=NC,；.NCAD=NC,，AD〃BC

第十一章三角形

11.3多邊形及其內(nèi)角和

11.3.1多邊形

【知識與技能】

(1)了解多邊形及其有關(guān)概念，理解正多邊形及其有關(guān)概念.

(2)區(qū)別凸多邊形與凹多邊形.

【過程與方法】

通過對多邊形的概念的探究，使學(xué)生體會從特殊到一般的認識問題的方法.

【情感態(tài)度與價值觀】

接觸社會環(huán)境中的數(shù)學(xué)信息，認識到數(shù)學(xué)既來源于生活，又服務(wù)于生活，提高學(xué)生學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)的積極性.

通學(xué)金

多邊形及有關(guān)概念.

區(qū)分凹、凸多邊形.

多媒體課件.

教師提出問題：(D什么是三角形？

(2)與三角形有關(guān)的線段有哪些？

(3)與三角形有關(guān)的角有哪些？

學(xué)生搶答，教師指導(dǎo)、點評.

探究1：多邊形的概念

教師出示問題：

1.觀察圖11-3.1-1中的圖片，說說它們是由哪些基本圖形組成的.

圖11-3.1-1

2.你們能說出生活中的多邊形嗎？

學(xué)生觀察圖片并進行討論、交流，之后學(xué)生自由發(fā)言.在這一過程中，教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)

生能否積極地參與到活動中，是否能認真觀察、敢于發(fā)言，最后教師指明相關(guān)的概念：

在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫作多邊形.多邊形按組成它的線

段的條數(shù)分為三角形、四邊形、五邊形……三角形是最簡單的多邊形.如果一個多邊形由n

條線段組成，那么這個多邊形叫作n邊形.

教師強調(diào)：對于定義應(yīng)抓住四點：①在平面內(nèi)；②一些線段；③首尾順次相接；④封閉

圖形.

探究2：多邊形的相關(guān)概念

教師引入：在三角形中，我們專門研究了它的內(nèi)角、外角，類似地，你們能結(jié)合圖

11-3.1-2指出這個多邊形的內(nèi)角和外角嗎？

學(xué)生觀察教師給出的圖形，然后思考回答：ZA,ZB,ZBCD,ZD,ZE,ZF是六邊

形的內(nèi)角，/DCM是六邊形的一個外角.

教師進而指出：

多邊形相鄰兩邊組成的角叫作多邊形的內(nèi)角，多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角

叫作多邊形的外角.

問題：什么是多邊形的對角線？三角形有幾條對角線？四邊形、五邊形、六邊形……n

邊形呢？

教師給出多邊形對角線的概念，然后提出問題，組織學(xué)生進行討論、探究.

教師可以根據(jù)圖形適當(dāng)向?qū)W生提示：過四邊形的一個頂點可以畫幾條對角線，四邊形一

共有幾條對角線？

過五邊形的一個頂點可以畫幾條角線，五邊形一共有幾條對角線？六邊形呢？這里有什

么規(guī)律嗎？

〃(n-3)

歸納：多邊形的對角線的條數(shù)是一，這里的n指的是多邊形的邊數(shù).

(教師出示例題)

例1若一個多邊形自一個頂點引對角線可把它分割為六個三角形，則這個多邊形是幾邊

形？

教師分析：解答此類問題可以運用對角線條數(shù)的計算過程進行分析，也可以畫圖進行分

析，明確對角線是不相鄰的兩個頂點之間的線段，所以由n邊形的一個頂點出發(fā)，可作(n-3)

條對角線，即可分(n-2)個三角形.

分析完之后，師生共同解答，教師板書解答過程：

解：設(shè)該多邊形的邊數(shù)為n.因為過n邊形的一個頂點有(n-3)條對角線，它們把n邊形

分割成了(n-2)個三角形，所以n-2=6,解得n=8,

所以這個多邊形是八邊形.

探究3：凸、凹多邊形及正多邊形的概念

教師引入問題：你們能說出圖11-3.1-3中的兩個四邊形的異同點嗎？

圖11-3.1-3

教師引導(dǎo)學(xué)生分析得出，在圖(1)中，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個

四邊形都在這條直線的同一側(cè)；在圖(2)中，畫出邊CD所在的直線，整個四邊形不都在這條

直線的同一側(cè).教師介紹，學(xué)生總結(jié)，得出凸多邊形和凹多邊形的定義.

凸多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一

側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形.

凹多邊形:畫出多邊形的某一條邊所在的直線,如果整個多邊形不都在這條直線的同側(cè),

那么這個多邊形就是凹多邊形.

教師在黑板上任意畫一個多邊形，讓學(xué)生判斷其屬于哪一類多邊形.

教師引入：我們知道，正方形的各個角都相等，各條邊都相等，像正方形這樣，各個角

都相等，各條邊都相等的多邊形叫作正多邊形.圖11-3.1-4是正多邊形的一些例子：

多媒體展示：正三角形、正方形、正五邊形等.

圖11-3.1-4

（教師出示例題）

例2若一個正六邊形的周長為36cm,請求出它的邊長.

師生共同分析：正六邊形有六條邊，且每條邊都相等.

然后讓一名學(xué)生進行板演，其余學(xué)生在草稿本上進行解答，做完之后，教師點評.

解：因為正多邊形的邊長相等，

所以正六邊形的六條邊都相等，

所以它的邊長為364-6=6（cm）.

-MgS??

i.多邊形的概念.

2.多邊形的對角線的條數(shù)：,2（n指的是多邊形的邊數(shù)）.

3.凸、凹多邊形及正多邊形的概念.

11.3.1多邊形

探究1:多邊形的概念.探究3：凸、凹多邊形及

投探究2：多邊形的相關(guān)概念.正多邊形的概念

影

區(qū)多邊形的對角線的條數(shù)是血嚴(yán)（”指的是多邊形的邊數(shù)）

（例1的解答過程）

第十一章三角形

11.3多邊形及其內(nèi)角和

11.3.2多邊形的內(nèi)角和

逆學(xué)??

【知識與技能】

掌握多邊形的外角和及內(nèi)角和公式.

【過程與方法】

(D通過把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，體會轉(zhuǎn)化思想在幾何中的運用，讓學(xué)生體會從特殊到

一般認識問題的方法.

(2)通過探索多邊形的內(nèi)角和與外角和，讓學(xué)生嘗試從不同的角度尋求解決問題的方

法，并有效地解決問題.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過學(xué)生間交流，進一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與求知欲望，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

探索多邊形的內(nèi)角和公式及外角和.

如何把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形，用分割多邊形法推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和與外角和.

多媒體課件.

出示問題1：你還記得三角形的內(nèi)角和是多少嗎？

學(xué)生思考并回答問題，教師提出問題并對學(xué)生的回答進行總結(jié)：

三角形的內(nèi)角和等于180°.

出示問題2：正方形、長方形的內(nèi)角和是360。，那么任意一個四邊形的內(nèi)角和是否等

于360°呢？能證明你的結(jié)論嗎？

學(xué)生在獨立探究的基礎(chǔ)上，分組交流、探討，匯總解決問題的方法.教師深入小組參與

活動，指導(dǎo)、傾聽學(xué)生交流，可以在測量、拼圖的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生利用添加輔助線的方法把

四邊形轉(zhuǎn)化為三角形

探究1：五、六邊形的內(nèi)角和

教師引入：解決四邊形的內(nèi)角和時，連接了對角線，你們知道連接對角線起到了什么作

用嗎？

(學(xué)生舉手回答)將四邊形分割成兩個三角形，進而將四邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為兩個三

角形的所有內(nèi)角和的問題.

接著教師提出問題：類比前面的過程，你知道五邊形的內(nèi)角和是多少嗎？六邊形呢？十

邊形呢？你是怎么得到的？

學(xué)生先獨立思考每個問題，再分組活動，最后總結(jié)如圖11-3.2-1.

圖11-3.2-1

結(jié)論：從五邊形的一個頂點出發(fā)可以作2條對角線，將五邊形分割為3個三角形，得到

五邊形的內(nèi)角和為(5-2)X180°=540°,同理六邊形的內(nèi)角和為(6-2)X180°=720°.

教師進一步啟發(fā)學(xué)生從頂點或邊或多邊形內(nèi)部分割多邊形，進而得到多邊形的內(nèi)角和.

探究2：多邊形內(nèi)角和的計算公式

教師提出問題：你能從四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和的探究過程獲得啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)多

邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？能證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？你知道n邊形的內(nèi)角和嗎？

學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上分組活動，推導(dǎo)出n邊形可以轉(zhuǎn)化為(n-2)個三角形，發(fā)現(xiàn)和

概括出幾邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和之間的關(guān)系，歸納總結(jié)n邊形的內(nèi)角和公式，即(n-2)X180°.

教師和學(xué)生互相交流，共同歸納總結(jié)：

多邊形的內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和等于(n-2)X180°.

教師出示教材P22例1：

如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關(guān)系？

師生共同分析：由多邊形的內(nèi)角和公式可知，四邊形的內(nèi)角和為360°.若其中兩個角

的和為180°,則可得到另外兩個