15.4.2-角的平分線的性質(zhì)和判定

第15章

軸對稱圖形與等腰三角形第4節(jié)角的平分線第2課時角平分線的性質(zhì)和判定課堂講解課時流程12角平分線的性質(zhì)角平分線的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)1知識點(diǎn)角平分線的性質(zhì)知1－導(dǎo)思考：如圖，OP是∠AOB的平分線，P是OP上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PC⊥OA,PD⊥

OB,點(diǎn)C,D是垂足.你能猜想PC，PD長度間有什么關(guān)系嗎？證明你的猜想.知1－講知識點(diǎn)下面我們給出上面“思考”中猜想結(jié)論的證明.證明：∵OP平分∠AOB，（已知）∴∠AOP=∠BOP.(角平分線定義）又∵

PC⊥OA，PD⊥

OB，（已知）∴∠PCO=∠PDO=90°.(垂直的定義）知1－講知識點(diǎn)在△PCO

和△

PDO中，∵

∴△

PCO≌

△

PDO.(AAS)∴PC=PD.（來自教材）知1－講知識點(diǎn)1.角的平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．要點(diǎn)精析：(1)點(diǎn)一定要在角平分線上；(2)點(diǎn)到角兩邊的距離是指點(diǎn)到角兩邊垂線段的長度；(3)角平分線的性質(zhì)可用來證明兩條線段相等．知1－講知識點(diǎn)2．書寫格式：如圖，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E,∴PD＝PE.3．易錯提示：易找錯距離，誤以為角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離就是角平分線上的點(diǎn)與角兩邊上任意點(diǎn)間的距離．知1－講知識點(diǎn)例1如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BE＝FC，求證：BD＝DF.導(dǎo)引：要證BD＝DF，可考慮證兩線段所在的△BDE和△FDC全等，兩個三角形中已有一角和一邊相等，只要再證DE＝CD即可，這可由AD平分∠CAB及垂直條件證得．知1－講知識點(diǎn)證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C＝90°，∴DE＝DC，∠DEB＝∠C＝90°.

在△BDE和△FDC中，

∴△BDE≌△FDC,∴BD＝DF.（來自《點(diǎn)撥》）知1－講（來自《點(diǎn)撥》）由角平分線的性質(zhì)不用證全等可以直接得線段相等，這是證線段相等的一個簡捷方法．

總

結(jié)知1－講例2

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E.若AB＝10cm，求△DBE的周長．知1－講導(dǎo)引：要求△DBE的周長，實(shí)質(zhì)是求BE＋DE＋BD的長，而題中已知AB＝10cm，因此需證DE＋BD＝AE，又AD是角平分線及垂直條件知DE＝CD，所以需證BC＝AE，由BC＝AC，因此只需證AC＝AE，它可由Rt△ACD≌Rt△AED得出．知1－講解：∵AD平分∠CAB，且∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE.又∵∠C＝∠DEA＝90°，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.知1－講又∵AC＝BC，∴AC＝AE＝BC.∴DE＋EB＋BD＝DC＋EB＋BD＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB.又∵AB＝10cm，∴△DBE的周長為DB＋BE＋DE＝10cm.（來自《點(diǎn)撥》）知1－練1(中考·茂名)如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PD＝6，則點(diǎn)P到邊OB的距離為(

)A．6 B．5C．4 D．3A（來自《典中點(diǎn)》）知1－練如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，則△DBE的周長是(

)A．6cm B．7cmC．8cm D．9cmA2（來自《典中點(diǎn)》）知1－練(中考·湖州)如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于(

)A．10 B．7C．5 D．43（來自《典中點(diǎn)》）C2知識點(diǎn)角平分線的判定知2－講思考：寫出上面角平分線性質(zhì)定理的逆命題.這個逆命題是真命題嗎？如果是真命題請寫出已知、求證，并給出證明.知2－講角平分線的判定：1．判定方法：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．(1)書寫格式：如圖，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上(或∠AOC＝∠BOC)．(2)作用：運(yùn)用角平分線的判定，可以證明兩個角相等或一條射線是角的平分線．知2－講2．角平分線的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系：(1)如圖，都與距離有關(guān)：即條件PD⊥OA，PE⊥OB都具備；(2)點(diǎn)在角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等．3.拓展：三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)且這點(diǎn)到三邊的距離相等．性質(zhì)判定知2－講例3

如圖，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE相交于點(diǎn)D，BE＝CF.求證：AD平分∠BAC.導(dǎo)引：要證AD平分∠BAC，已知條件中有兩個垂直，即有點(diǎn)到角的兩邊的距離，再證這兩個距離相等即可證明結(jié)論，證這兩條垂線段相等，可通過證明△BDE和△CDF全等來完成．知2－講證明：∵BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.

在△BDE和△CDF中，

∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.又∵DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴AD平分∠BAC.（來自《點(diǎn)撥》）知2－講總

結(jié)判定角平分線的兩步：(1)找出與角的兩邊都垂直的垂線段；(2)證明兩條垂線段相等．

（來自《點(diǎn)撥》）知2－講例4

如圖，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，D是AC上一點(diǎn)，若∠CBD＝20°，求∠ADE的度數(shù)．知2－講解：如圖，作EN⊥CA于點(diǎn)N，EM⊥BD于點(diǎn)M，

EP⊥CB交CB的延長線于點(diǎn)P，因?yàn)椤螦BD＝∠ABC－∠CBD＝100°－20°＝80°，∠PBA＝180°－100°＝80°，所以∠PBA＝∠ABD.知2－講因?yàn)镋M⊥BD于點(diǎn)M，EP⊥CB于點(diǎn)P，所以EP＝EM.又∵點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，EN⊥CA，EP⊥CB，∴EN＝EP，∴EN＝EM，∴DE平分∠ADB.∵∠ADB＝∠ACB＋∠CBD＝40°，∴∠ADE＝∠ADB＝×40°＝20°.（來自《點(diǎn)撥》）知2－講總

結(jié)（來自《點(diǎn)撥》）本題根據(jù)角的和差關(guān)系計算有關(guān)角的度數(shù)，利用角平分線的性質(zhì)定理證明EP＝EM和EN＝EP，得到EN＝EM，由角平分線的判定判斷DE平分∠ADB，便可求出∠ADE的度數(shù)．知2－講例5已知：如圖，△ABC中，∠B的平分線BE與∠C的平分線CF相交于點(diǎn)P.求證：AP平分∠BAC.知2－講證明：過點(diǎn)P分別作PM⊥BC，PN⊥

AC，PQ⊥

AB,垂足分別為點(diǎn)M,N,Q.∵BE是∠B的平分線，點(diǎn)P在BE上，（已知）∴PQ=PM.(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）同理，PN=PM.∴PN=PQ.(等量代換）∴AP平分∠BAC.(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）（來自教材）知2－講總

結(jié)這個例子說明：三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.（來自教材）知2－講例6如圖，在△ABC中，請證明：(1)若AD為∠BAC的平分線，則S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC；(2)設(shè)D為BC上的一點(diǎn)，連接AD，若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，則AD為∠BAC的平分線．知2－講證明：如圖，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.(1)∵AD平分∠BAC且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴S△ABD∶S△ACD＝∶＝AB∶AC.(2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，∴∶＝AB∶AC，∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD為∠BAC的平分線．（來自《點(diǎn)撥》）知2－講總

結(jié)運(yùn)用角平分線解與面積有關(guān)的問題的方法：首先運(yùn)用三角形的面積公式將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，結(jié)合角平分線的性質(zhì)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為三角形邊長之間的關(guān)系，從而把兩者聯(lián)系起來，結(jié)合已知條件可解決問題．（來自《點(diǎn)撥》）知2－練在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是(

)A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N

C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q1（來自《典中點(diǎn)》）A知2－練如圖，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分別為D，C，AD與BC相交于點(diǎn)P，若PA＝PB，則∠1與∠2的大小關(guān)系是(

)A．∠1＝∠2

B．∠1>∠2

C．∠1<∠2

D．無法確定2A（來自《典中點(diǎn)》）知2－練如圖，在△ABC中，分別與∠ABC，∠ACB相鄰的外角的平分線相交于點(diǎn)F，連接AF，則下列結(jié)論正確的是(

)A．AF平分BC

B．AF平分∠BACC．AF⊥BC

D．以上結(jié)論都正確3B（來自《典中點(diǎn)》）知2－練如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S