2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)B選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-2 . 6 雙曲線及其方程

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)B選擇性必修第一冊(cè)

第二章平面解析幾何

2.6雙曲線及其方程

2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一雙曲線的定義及其應(yīng)用

1.（2021山東日照一中月考）已知平面上的定點(diǎn)FbF2及動(dòng)點(diǎn)M,甲：||MFj-

|MF2||=m（m為常數(shù)），乙:點(diǎn)M的軌跡是以F?F2為焦點(diǎn)的雙曲線,則甲是乙的

（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.（2020陜西咸陽(yáng)月考）已知點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足J同-1）2+*一

,Q+1）2+y2=+V2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）

A.橢圓

B.雙曲線

C.兩條射線

D.雙曲線的一支

3.已知P是雙曲線親力上一點(diǎn),FbF2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),若|PF?|=14,

貝小PFj=.

題組二對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解

4.（2022廣西玉林育才中學(xué)期中）設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，則“ab<0”是“方程

ax?+by2=c表示雙曲線”的（）

A.充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

22

5.（多選）（2022廣東東莞檢測(cè)）已知曲線C:六+公=1,則下列選項(xiàng)正確的是

)

A.3m￡（0,3）,曲線C為橢圓

B.Vme（3,5）,曲線C為橢圓

C.2me（5,7）,曲線C為雙曲線

D.Vme（7,+8）,曲線c為雙曲線

22

6.若雙曲線士-4=1的一個(gè)焦點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)間的距離為3,則m的值

mm-5

為

題組三雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用

7.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-3,2"和點(diǎn)Q（-6V2,-7）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

匕—且y2_^2

75252575

C.2^=2lD.2U2=1

20

8.（2021湖南郴州永興一中期中）與橢圓寧v+y2=l共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)Q（2,1）的雙曲線的

標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

AX2421D2%21

A.—~y=1B.--y=1

2J4J

c.胃221D,X*2-32^=1

332

2222

9.（2022江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)期中）動(dòng)圓M與圓C,:（x+4）+y=l,圓C2:x+y-8x+7=0都外

切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（）

A.評(píng)1B,x2-g=l

,2,2

C.X2-7-=1（x^l）D.x2-^-=l（x^-1）

1515

10.（2020河北石家莊精英中學(xué)月考）已知圓x2+y2-4x-9=o與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)A,B

都在某雙曲線上,且A,B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線兩焦點(diǎn)的連線三等分,則此雙曲線

的標(biāo)準(zhǔn)方程為

能力提升練

題組一雙曲線的定義及其應(yīng)用

1.（2022江西景德鎮(zhèn)一中期末）已知A（0,7）,B（0,-7）,C（12,2）,以C為一個(gè)焦點(diǎn)

作過(guò)A.B的橢圓，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程為（）

?丫2。丫2

A.y*=l（yW-l）B,

4-04-0

22

c.X2-J-=1（x^-1）D.x2-^-=l

4848

2.（2022河南平頂山月考）已知件,F2分別為雙曲線x2-^-=l的左、右焦點(diǎn),P為雙

曲線右支上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P不在x軸上,若A為APFE內(nèi)切圓上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)

IAF,|的最大值為4時(shí),APF.F,的內(nèi)切圓半徑為（）

A.-B.-C.-D.-

4286

3.侈選）（2020山東濟(jì)南山師附中?？迹┮阎匠坦?31表示曲線C,則下列判

4—LC-1

斷正確的是（）

A.當(dāng)l〈t〈4時(shí),曲線C表示橢圓

B.當(dāng)t>4或t<4時(shí),曲線C表示雙曲線

C.若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則l<t<|

D.若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則t>4

2

4.（2020黑龍江哈爾濱第六中學(xué)月考）已知雙曲線C:x2-+1的左焦點(diǎn)為F,P是雙

曲線C的右支上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q（0.28），則|PF|+1PQ|的最小值等于.

5.（2020天津一中期末）若迪,Fz分別為雙曲線C:[-y2=l的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙

曲線C上，6朋=120。，則點(diǎn)P到X軸的距離為.

題組二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及綜合應(yīng)用

6.（2021江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)期初）人們?cè)谶M(jìn)行工業(yè)設(shè)計(jì)時(shí),巧妙利用了圓錐曲線的光學(xué)

性質(zhì).如圖,從雙曲線右焦點(diǎn)F?發(fā)出的光線通過(guò)雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線,且反

射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)邑.已知雙曲線的方程為x2-y2=l,則當(dāng)入射光線

F2P和其反射光線PE互相垂直時(shí)（其中P為入射點(diǎn)），ZF,F2P的大小為（）

A吟eg噂

22

7.已知雙曲線E：3-%=1（a>0,b>0）.若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中

點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),fi）AB|=3,|BCI=2,則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

%2y2/y2

A?+2R——.^-=1

D?311

44

C.x2-^=l22

3上早-察1

44

22

8.侈選）（2022湖南師大附中月考）已知點(diǎn)P是雙曲線E展-±1的右支上一

169

點(diǎn)Fi,F2分別為雙曲線E的左、右焦點(diǎn),若△PFR的面積為20,則下列說(shuō)法正確

的有（）

A.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為?

B.△PFR為銳角三角形

C.△PFF2的周長(zhǎng)為竽

D.△PFE的內(nèi)切圓半徑為|

9.（2020山東濟(jì)南一中月考）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)（3,-2）且與橢圓4x?+9y2=36有相同

的焦點(diǎn).

⑴求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若點(diǎn)M在雙曲線上,F?F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),且|ME|+1MF2|=6罕）,試

判別△MFE的形狀.

10.已知點(diǎn)M(-2,0),N(2,0)是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足PM|+1PN|=6.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若(1-cosNMPN)|PM|?|PN|=2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

答案與分層梯度式解析

第二章平面解析幾何

2.6雙曲線及其方程

2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.8根據(jù)雙曲線的定義，乙n甲，但甲n/乙,只有當(dāng)(KmVFRl時(shí)，點(diǎn)M的軌跡

才是雙曲線.

2.B設(shè)A(1,0),B(-1,0),則由已知得|PA|-|PB||=傳即動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、

B的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)魚(yú),又IAB|=2,且&<2,所以根據(jù)雙曲線的定義知,

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.

3.答案26

解析由已知可得a2=36,b?=64,所以a=6,b=8,c2=100,即c=10,由于雙曲線左支

上的點(diǎn)與右焦點(diǎn)Fz之間的距離的最小值為a+c=6+10=16,而PF2|=14<16,所以點(diǎn)

P只能在雙曲線的右支上.根據(jù)雙曲線的定義可得IPF.I-IPF21=2a=12,所以

IPF,|=26.

4.C若ab<0,c=0,則方程ax2+by2=0不表示雙曲線,故充分性不成立；

若方程ax2+by2=c表示雙曲線，則a,b異號(hào),即ab〈0,故必要性成立.故選C.

5.BP當(dāng)mW(0,3)時(shí),7-m>0,m-3<0,曲線C為雙曲線,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)(3,5)時(shí),7-m〉0,m-3>0,且7-m>m-3,曲線C為橢圓,故B正確；

當(dāng)(5,7)時(shí),7-m>0,m-3>0,且7-m<m-3,曲線C為橢圓,故C錯(cuò)誤；

當(dāng)m￡(7,+°°)時(shí),7-m<0,m-3>0,曲線C為雙曲線,故D正確.

6.答案7或-2

解析依題意可知c=3,當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),m>5,(?初+111-5=9,所以m=7;

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),m<0,c2=-m+5-m=9,所以m=-2.綜上,m=7或m=~2.

7.B設(shè)雙曲線的方程為mx2+ny2=l(mn<0),

(__j_

則(9m+28n=1,角至彳導(dǎo)機(jī)二一五，

人」［72m+49n=1,_1

-25,

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為泉(=L故選B.

8.A由橢圓的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±百,0),設(shè)與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

方程為于己=1(0<m<3),因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)Q(2,1),所以十六=1,整理可得m2-

8m+12=0,結(jié)合0<m<3可得m=2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為于y2=l,故選A.

9.D易知圓G的圓心為G(-4,0),半徑n=l,圓C2的圓心為C2(4,0),半徑r2=3.

設(shè)M(x,y),動(dòng)圓M的半徑為r,因?yàn)閯?dòng)圓M與圓C?C2都外切，所以所以

|MC2|-|MCl|=2,因?yàn)?<|CQI=8,所以點(diǎn)M的軌跡是以CbC2為焦點(diǎn)的雙曲線的左

支，所以c=4,2a=2,即a=l,所以b=Vi6^T=Vi5,即動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為x2-

1=l(xWT).故選D.

10.答案^-§=1

解析圓x2+y2-4x-9=0與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),(0,-3),

???圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)A,B都在某雙曲線上，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,且a=3,

又兩點(diǎn)恰好將此雙曲線兩焦點(diǎn)的連線三等分，.?.c=9,.,.b2=72,

A此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為于余1.

能力提升練

1.A由題意得AC|=J122+(2-7)2=13,|BC|=J122+(2+7/=15,|AB|=14.因?yàn)锳,B都

在橢圓上，所以河|+屁|=向|+四|,所以河|-畫(huà)|=瓦|-第|=2<14,故5的

軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的下支,又2c=|AB|=14,2a=|AF|-|BF|=2,所以

c=7,a=l,所以b2=48,因此F的軌跡方程是y2-^=l(y^-1).故選A.

2.C易得F.(-2.0),F2(2,0).設(shè)△PFF2的內(nèi)切圓分別與PF?PF2,FE相切于

N,B,M,圓心為C如圖，則|PN|=|PB|,|F】N|=|FM,|F2B|=EM|,又點(diǎn)P在雙曲線的

右支上，所以IPF】HPF以=2a,故支M-1F2M|=2a.

設(shè)M的坐標(biāo)為(x,0),則(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a=L設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,則內(nèi)

切圓的圓心為C(1,r),則|AFJ的最大值為|CF』+r=4,即際產(chǎn)而可+r=4,解得

r[.故選C.

3.BCD由4-t=t-l,得t=|,滿足l<t<4,此時(shí)方程工+左1表示圓,故A錯(cuò)誤;

由雙曲線的定義可知,當(dāng)(4-t)(t-1)<0,即t<l或t>4時(shí),方程3+弓=1表示雙曲

線，故B正確；

由橢圓的定義可知,當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),滿足4-t>t-l>0,解得Kt<|,故C

正確；

若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則｛：_言：仇解得t>4,故D正確.

故選BCD.

4.答案6

解護(hù)設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F',連接QF',PF',如圖，

根據(jù)雙曲線的定義可知PF-IPF'|=2a=2,則|PF|=|PF'|+2,所以

|PF|+|PQ|=|PF'|+|PQ|+22|QF'|+2.因?yàn)镼(0,2V5),F'(2,0),所以

IQF'|小+(—28)2=4,所以|PF|+1PQ|的最小值為6.

5.答案f

22

解析根據(jù)題意得a=2,c=V5,由余弦定理得|F,F2|=|PF/2+1PF2|-21PF』|PF21cos

120°,

2

.?.20=(|PF1|-|PF2|)+3|PF1|?|PF?|=16+31PFJ-|PF2|,

故|PFj-|PF2|=i

設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d,

?"△PF何三義2cXd=T|PF』?|PF2|?sin120°q’d嚕

6.答案P

信懸提取①?gòu)碾p曲線右焦點(diǎn)R發(fā)出的光線通過(guò)雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線,且

反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)B;②雙曲線的方程為x2-y2=l;③F?PJ_PE.

數(shù)學(xué)建模本題以雙曲線鏡面反射為背景,構(gòu)建與雙曲線有關(guān)的問(wèn)題.通過(guò)

F2PJ_PE構(gòu)建方程,再結(jié)合余弦的定義求解.

解析由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2-y2=l,得a=l,b=l,c=V2.

設(shè)IPF21=m(m>0),則PFi|=2+m.

所以m2+(m+2)2=(2乃:，

解得m=V3-l(m=-V3-l舍去)，

所以cosNFF2P=券岑,

所以NFF2P嚕故選D.

7.P如圖，由題意知MN|=|BC|=2.設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,在RtABMN

中，IMNI=2c=2,所以c=l,IBNI=V|BM|2+|MN|2=J(|)2+22=|,由雙曲線的定義可得

2a=|BN|-|BM|=|-|=l,即a?三，所以b2=1,故雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為苧W=L

44

8.ACD由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知a=4,b=3,c=5.不妨令點(diǎn)P在第一象限,設(shè)

P(m,n),m>0,n>0,對(duì)于A,5&%4得1FF21義n=cn=5n=20,即n=4,代入雙曲線的方程

中,可解得mW(負(fù)值舍去)，故A正確;對(duì)于B,由P管,4),F2⑸0),可得％2十>0,則

ZPF2F,為鈍角，所以△PFF2為鈍角三角形,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,易得

IPRI=崎+16哼|PF2|=腭+16當(dāng)貝!J4PFF2的周長(zhǎng)為與+當(dāng)+10=筆故C正確;又

于D,設(shè)△PFE的內(nèi)心為I,內(nèi)切圓半徑為r,連接IP,IFbIF2,則衿真=20,解得

r=|,故D正確.故選ACD.

9.解析⑴橢圓方程可化為十白1,焦點(diǎn)在x軸上，且C=V9^4=V5.

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為9新1(a>0,b>0),

則有