概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式集錦

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式集錦概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式集錦一、隨機(jī)事件與概率公式名稱公式表達(dá)式德摩根公式，古典概型幾何概型，其中μ為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積）求逆公式加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A∪B)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，時(shí)P(A-B)=P(A)-P(B)條件概率公式與乘法公式全概率公式貝葉斯公式（逆概率公式）兩個(gè)事件相互獨(dú)立；；；二、隨機(jī)變量及其分布1、分布函數(shù)2、離散型隨機(jī)變量及其分布分布名稱分布律0–1分布二項(xiàng)分布泊松分布3、續(xù)型隨機(jī)變量及其分布分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)均勻分布分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)指數(shù)分布正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布4、隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的分布離散型：，連續(xù)型：①分布函數(shù)法，②公式法三、多維隨機(jī)變量及其分布1、離散型二維隨機(jī)變量及其分布分布律：分布函數(shù)邊緣分布律：條件分布律：，2、連續(xù)型二維隨機(jī)變量及其分布①聯(lián)合分布函數(shù)及性質(zhì)分布函數(shù)：=P（X<=x,Y<=y）性質(zhì)：②邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)分布函數(shù)：密度函數(shù)：③條件概率密度，3、隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，離散型：，連續(xù)型：4、二維隨機(jī)變量和函數(shù)的分布離散型：連續(xù)型：四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望①定義：離散型，連續(xù)型②性質(zhì)：，，，當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)：2、方差①定義：②性質(zhì)：，，當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)：3、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)①協(xié)方差：，當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)：②相關(guān)系數(shù)：，當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)：(X,Y不相關(guān))③協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：，，4、常見(jiàn)隨機(jī)變量分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布數(shù)學(xué)期望方差0-1分布pp(1-p)二項(xiàng)分布npnp(1-p)泊松分布均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布五、大數(shù)定律與中心極限定理1、切比雪夫不等式若對(duì)于任意有2、大數(shù)定律：①切比雪夫大數(shù)定律：若相互獨(dú)立，且，則：②伯努利大數(shù)定律：設(shè)nA是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則，有：③辛欽大數(shù)定律：若獨(dú)立同分布，且，則3、中心極限定理①列維—林德伯格中心極限定理：獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，均值為，方差為，當(dāng)n充分大時(shí)有：②棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理：隨機(jī)變量，則對(duì)任意x有：③近似計(jì)算：概?率?論?與?數(shù)?理?統(tǒng)?計(jì)?公?式?整?理1、總體和樣本的分布函數(shù)設(shè)總體，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)2、統(tǒng)計(jì)量樣本均值：，樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：，樣本階原點(diǎn)距：樣本階中心距：3、三大抽樣分布(1)分布：設(shè)隨機(jī)變量且相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為的分布，記為性質(zhì)：①②設(shè)且相互獨(dú)立，則(2)分布：設(shè)隨機(jī)變量，且X與Y獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量：服從自由度為的分布，記為性質(zhì)：①②(3)分布：設(shè)隨機(jī)變量，且與獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從第一自由度為m，第二自由度為n的分布，記為，性質(zhì)：設(shè)，則七、參數(shù)估計(jì)1.參數(shù)估計(jì)①定義：用估計(jì)總體參數(shù)，稱為的估計(jì)量，相應(yīng)的為總體的估計(jì)值。②當(dāng)總體是正態(tài)分布時(shí)，未知參數(shù)的矩估計(jì)值=未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值2.點(diǎn)估計(jì)中的矩估計(jì)法：基本思想：用樣本矩來(lái)估計(jì)相應(yīng)的總體矩求法步驟：設(shè)總體X的分布中包含有未知參數(shù)，它的前k階原點(diǎn)矩中包含了未知參數(shù)，即；又設(shè)為總體X的n個(gè)樣本值，用樣本矩代替，在所建立的方程組中解出的k個(gè)未知參數(shù)即為參數(shù)的矩估計(jì)量。注意：分布中有幾個(gè)未知參數(shù)，就求到幾階矩。3.點(diǎn)估計(jì)中的極大似然估計(jì)設(shè)取自的樣本，設(shè)或，求法步驟：①似然函數(shù)：②取對(duì)數(shù)：或③解方程：，解得：4.估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量。若E(）=，則稱為的無(wú)偏估計(jì)量。有效性設(shè)和是未知參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。若，則稱有效。一致性設(shè)是的一串估計(jì)量，如，有則稱為的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。5.單正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間條件估計(jì)參數(shù)樞軸量樞軸量分布置信水平為的置信區(qū)間已知未知已知未知八、假設(shè)檢驗(yàn)1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念基本思想假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想是小概率原理。小概率事件的概率就是顯著性水平α，常取α=0.05，0.01或0.10?；静襟E①提出原假設(shè)H0；②選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；③對(duì)于α查表找分位數(shù)λ，使，從而定出拒絕域W；④由樣本觀測(cè)值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量實(shí)測(cè)值；并作出判斷：當(dāng)實(shí)測(cè)值落入W時(shí)拒絕H0，否則認(rèn)為接受H0。兩類錯(cuò)誤第一類錯(cuò)誤當(dāng)H0為真時(shí)，而樣本值卻落入了拒絕域，應(yīng)當(dāng)否定H0。這時(shí)，我們把客觀上H0成立判為H0為不成立（即否定了真實(shí)的假設(shè)），稱這種錯(cuò)誤為“棄真錯(cuò)誤”或第一類錯(cuò)誤，記為犯此類錯(cuò)誤的概率，即：P{拒絕H0|H0為真}=；第二類錯(cuò)誤當(dāng)H1為真時(shí)，而樣本值卻落入了接受域，應(yīng)接受H0。這時(shí)，我們把客觀上H0不成立判為H0成立（即接受了不真實(shí)的假設(shè)），稱這種錯(cuò)誤為“取偽錯(cuò)誤”或第二類錯(cuò)誤，記為犯此類錯(cuò)誤的概率，即：P{接受H0|H1為真}=。兩類錯(cuò)誤的關(guān)系人們當(dāng)然希望犯兩類錯(cuò)