概率論與數理統(tǒng)計第一至第四章得重點題型-復習資料

概率論與數理統(tǒng)計第一至第四章得重點題型-復習資料第一章隨機事件與概率一、填空題1.寫出下列隨機試驗的樣本空間。記錄一個小班一次數學考試的平均分數（設以百分制記分），則=；生產產品直到有10件正品為止，記錄生產產品的總件數，則=；對某工廠出廠的產品進行檢查，合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”，如連續(xù)查出2個次品就停止檢查，或檢查4個產品就停止檢查，記錄檢查的結果，用0表示次品，1表示正品，則=；在單位圓內任意取一點，記錄它的坐標，則=；同時擲三顆骰子，記錄三顆骰子點數之和，則=；將一尺之錘折成三段，觀察各段長度，設x,y,z分別表示三段長度，則=；在某十字路口，記錄一小時內通過的機動車輛數，則=；記錄某城市一天內的用電量，則=。2.設A，B，C為三件事，用A，B，C的運算關系表示下列各事件。（1）“A發(fā)生，B與C不發(fā)生”=；（2）“A與B都發(fā)，而C不發(fā)生”=；（3）“A，B，C中至少有一個發(fā)生”=；(4)“A，B，C都發(fā)生”=；（5）“A，B，C都不發(fā)生”=；（6）“A，B，C中不多于一個發(fā)生”=；（7）“A，B，C中不多于兩個發(fā)生”=；（8）“A，B，C中至少有兩個發(fā)生”=。3.在拋三枚硬幣的試驗中，1表示正面，0表示反面，試寫出下列事件的集合表示。（1）“至少出現一個正面”=；（2）“最多出現一個正面”=；（3）“恰好出現一個正面”=；（4）“出現三面相同”=。4.設，則（1）；（2）（3）；（4）5.設A，B為兩事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7，則（1）當時，P（AB）取到最大值，最大值=；（2）當時，P（AB）取到最小值，最小值=。解：（1）觀察上式，已知P(A)，P(B)均固定，當最小時，P(AB)最大。當，即時，最小，此時，P(AB)取到最大值，最大為P(AB)=P(A)=0.6。（2）當最大時，P(AB)最小。當時，取得最大值為1，此時，P(AB)取得最小值，最小值為=0.6+0.7-1=0.3。6.設A，B，C為三件事，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,則A,B,C至少有一個發(fā)生的概率=。要點：用字母表示事件，是本課程入門的又一關鍵，由“至少”聯想“”，進而想到公式：解：至少有一個發(fā)生：其中7.設P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=,則事件A,B,C都不發(fā)生的概率=。解：事件A,B,C都不發(fā)生：8.在電話號碼簿中任取一個電話號碼，則后面四個數全不相同的概率（設后面四個數中的每一個數都是等可能地取0，1，…，9）=。解：所有可能的種數為10×10×10×10種，后四個數全不相同的種數為，則所求概率為。9.在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀念章，任選3個記錄其紀念章的號碼。則最小號碼為5的概率=；（2）最大號碼為5的概率=。解樣本空間的樣本點總數為。最小號碼為5是必須取到5號，而其余2人從6～10號中任取，故事件的樣本點個數為，所求概率為最大號碼為5，其余2人在1～4中選號，事件的樣本點個數為，所求概率為10.10個人隨機地圍一圓桌而坐，則甲、乙兩人相鄰而坐的概率=。要點：先假定某人已坐好，再考慮其他人相對該人的坐法解：設甲已坐好，其余個人相對甲的坐法有種，甲乙相鄰，乙有兩種坐法，其余個人的坐法有種，故所求概率為。10.從0,1,2,…,9中任取4個數，則所取的4個數能排成一個四位偶數的概率。11.有5條線段，其長度分別為1,3,5,7,9，從這5條線段中任取3條，所取的3條線段能拼成三角形的概率。12.一個人把六根草緊握在手中，僅露出它們的頭和尾。然后隨機把六個頭兩兩相接，六個尾兩兩相接，則放開手后六根草恰好連成一個環(huán)的概率=。要點：“六個尾兩兩相接”不會影響是否成環(huán)，所以只需考慮“六個頭兩兩相接”可能出現的情況。解：考慮頭兩兩相接的先后次序，則“六個頭兩兩相接”共有種不同結果。而要成環(huán)則第一步從6個頭中任取1個，此時余下的5個頭中有一個不能相接，只可與余下的4個頭中的任一個相接，第二步從未接的頭中任取1個，與余下的2個頭中的任一個相接，這總共有種可能接法，故所求概率為。13．在區(qū)間（0，1）中隨機地取兩個數，則兩數之和小于6/5的概率=。解：設兩數之和小于6/5，兩數分別為，由幾何概率如圖01y1yy01y1yyx14.設A,B為隨機事件，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,=0.8,則=。解：，所以15.設A,B為隨機事件，且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6,則P()=。解：，所以。16.已知事件A，B滿足，記，則=。解：，由此得，所以。17.已知，則=。解：因為，所以，18.已知，則=。解：，由乘法定理有：又由有：19.三人獨立地破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率=。要點：“至少”對立事件。解：三人能否譯出相互獨立，則三人都譯不出的概率為(1－1/5)(1－1/3)(1－1/5)=0.4，至少一個譯出的概率為1－0.4=0.6。20.設兩兩獨立的事件，且。若，且，則=。解：.或，由.21.已知（1）若和不相容，則=；（2）若和獨立，則=；（3）若，則=。解：（1）（由已知）（2）（3）22.設在三次獨立試驗中，事件A出現的概率均相等且至少出現一次的概率為，則在一次試驗中事件A出現的概率=。解：設所求概率為p，由題意有=，則p=23.某射手對目標獨立射擊四次，至少命中一次的概率為，則此射手的命中率=。24.某盒中有10件產品，其中4件次品，今從盒中取三次產品，一次取一件，不放回，則第三次取得正品的概率為__________，第三次才取得正品的概率為__________.解：設第次取到正品，則或25.三個箱子，第一個箱子中有4個黑球，1個白球；第二個箱子中有3個黑球，3個白球；第三個箱子中有3個黑球，5個白球.現隨機地取一個箱子，再從這個箱子中取出一個球，這個球為白球的概率為__________；已知取出的球是白球，此球屬于第一個箱子的概率為__________.解：設取到第箱，取出的是一個白球26.從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是_________.解法1樣本點總數為，記A=“4只鞋子中至少有2只是一雙”，則對立事件=“4只鞋子均不成雙”，故第一只鞋子是從5雙（10只）中任取一只，有10種取法，第二只鞋子從剩下的4雙（8只）中任取一只，有8種取法，第三只鞋子從再剩下的3雙（6只）中任取一只，有6種取法，第四只鞋子有4種取法，故事件所包含的樣本點總數為10×8×6×4，得

解法2中個數是從5雙不同鞋子中任取4雙，再從每雙中任取一只的不同取法的種數，共有種取法，故27.設在一次試驗中，事件發(fā)生的概率為.現進行次獨立試驗，則至少發(fā)生一次的概率為__________，而事件至多發(fā)生一次的概率為_________.解：設至少發(fā)生一次至多發(fā)生一次二、計算題1.據以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P{孩子得病}=0.6，P{母親得病│孩子得病}=0.5，P{父親得病│母親及孩子得病}=0.4.求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：設A=“孩子得病”，Ｂ＝“母親得病”，Ｃ＝“父親得病”，則所求概率為。已知P(A)=0.6,P(B│A)=0.5,P(C│AB)=0.4,則由乘法定理有 由,,有2..已知在10只晶體管中有2只次品，在其中取兩次，每次任取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率：（1）兩只都是正品；（2）兩只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。解法1：設A=“2正”，B=“2次”，C=“一正一次”，D=“第2次次”，基本事件=“取一只，不放回，再取一只”，S中個數=，可利用古典概型公式計算：Ａ中個數＝，于是Ｂ中個數＝，于是Ｃ中個數＝，于是Ｄ＝“第一次取出正且第二次取出次”∪“第一次取出次且第二次取出次”Ｄ中個數＝，于是解法２：設事件如解法１，又設=“第一次正”，=“第2次正”，則=“第1次次”，=“第2次次”，用乘法公式算3.某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，求他撥號不超過三次而接通所需電話的概率，若已知最后一個數字是奇數，那么此概率是多少？解法1設Ai=“第i次接通電話”（i=1，2，3），A=“撥號不超過3次接通所需電話”，則，故所求概率解法2“撥號不超過3次就接通”的對立事件是“撥號3次都未接通”，于是設B=“已知最后一個數字式奇數，不超過3次撥通”，則4.（1）設有甲、乙兩袋，甲袋中裝有n只白球，m只紅漆；乙袋中裝有N只白球、M只紅球，今從甲袋中任意取一只放入乙袋中，再從乙袋中任意取一只球。問取到白球的概率是多少？（2）第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一只盒子中任取2只球放入第二只盒子中去，然后從第二只盒子中任取一只球，求取到白球的概率。要點：從題中“嗅出”劃分，把“全”公式寫出來，剩下就簡單了。解：（1）設B1=“從甲袋中取到白球”，B2=“從甲袋中取得紅球”，則B1，B2構成一個劃分，Ａ＝“從乙袋中取得白球”，由全概率公式（2）設Bi=“從第一只盒中取到i只白球”，i=0，1，2，則B0，B1，B2構成一個劃分，設A=“從第二個盒中取得白球”，則由全概率公式知5.設一人群中有37.5%的人血型為A型，20.9%為Ｂ型，33.7%為O型，7.9%為AB型，已知能允許輸血的血型配對如下表，現在在人群中任選一人為輸血者，再任選一人為需要輸血者，問輸血能成功的概率是多少？受血者受血者輸血者A型B型AB型O型A型√×√√B型×√√√AB型√√√√O型×××√√：允許輸血×：不允許輸血解：設分別為A，B，O，AB型輸血，分別為A，B，O，AB型受血，則6.某種產品的商標為“MAXAM”，其中有2個字母脫落，有人撿起隨意放回，求放回后仍為“MAXAM”的概率。解字母脫落2個共有五種情況，脫下“M，X”或“A，X”或“M，A”或“A，A”或“M，M”分別用表示，則Ai，i=1，2，…，5構成劃分；設B=“放回結果正確”。脫落的基本事件總數為。由全概率公式 7.已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今從男女人數相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？要點：“條件互倒”聯想“貝”；公式右邊=中轉/全；抓住劃分；死記貝葉斯公式不如掌握其推導過程。解：設Ａ＝“色盲患者”，B＝“男性”，＝“女性”，B與為劃分，由貝葉斯公式8.10件某產品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丟失一件產品，但不知是幾等品，今從箱中任取2件產品，結果都是一等品，求丟失的裝有也是一等品的概率。解：設‘從箱中任取2件都是一等品’‘丟失等號’.則；所求概率為9.一學生接連參加同一課程的兩次考試，第一次及格的概率為p，若第一次及格，則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格，則第二次及格的概率為p/2。(1)若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二次及格，求他第一次及格的概率。解：設Ai=“第i次及格”，i=1，2，則其中10.已知一批產品中90%是合格品，檢查時，一個合格品被誤認為是次品的概率為0.05，一個次品被誤認為是合格品的概率為0.02，求（1）一個產品經檢查后被認為是合格品的概率；（2）一個經檢查后被認為是合格品的產品確是合格品的概率.解：設‘任取一產品，經檢驗認為是合格品’，‘任取一產品確是合格品’則（1）（2）11.將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收做B的概率為0.02，而B被誤收做A的概率為0.01，信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1，若接受站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？解設B1=“發(fā)出信息A”，B2=“發(fā)出信息B”，A=“收到信息為A”，則，B1，B2為劃分，由貝葉斯公式12.設玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為0.8,0.1,0.1,一顧客欲購買一箱玻璃杯，由售貨員任取一箱，經顧客隨機察看4只，若無殘次品，則買此箱玻璃杯，否則不買。求：

（1）顧客買此箱玻璃杯的概率；

（2）在顧客買的此箱玻璃杯中，確實沒殘次品的概率。解：（1）設事件={一箱的玻璃杯中含i個殘次品}，i=0,1,2,且P()=0.8,P()=P()=0.1,事件B={從一箱中任取四只杯子無殘次品}，則由全概率公式可得：P(B)=P()P(B|)+P()P(B|)+P()P(B|)

=0.8×+0.1×+0.1×=0.94

（2）P(|B)==0.8513.設考生的報名表來自三個地區(qū)，分別有10份，15份，25份，其中女生的分別為3份，7份，5份。隨機地從一地區(qū)，先后任取兩份報名表，求：

(1)先取的那份報名表是女生的概率p；

(2)已知后取到的報名表是男生的，而先取的那份報名表是女生的概率q。解：(1)設={考生的報名表是第i個地區(qū)的}，i=1,2,3,B={取到的報名表是女生的}，由全概率公式知：

p=P(B)=P()P(B|)+P()P(B|)+P()P(B|)

=

（2）設C={先取的那份報名表是女生的},D={后取到的報名表是男生的},則q=P(C|D)==

其中P(CD)=P()P(CD|)+P()P(CD|)+P()P(CD|)

=

P(D)=P()P(D|)+P()P(D|)+P()P(D|)=

所以可計算得q=14.設第一只盒子中裝有3只籃球，2只綠球，2只白球；第二只盒子中裝有2只籃球，3只綠球，4只白球。獨立地分別在兩只盒子中各取一只球。求至少有一只籃球的概率；（2）求有一只籃球一只白球的概率；（3）已知至少有一只籃球，求有一只籃球一只白球的概率。解：設分別表示在第一只盒子中取到籃球、綠球、白球；分別表示在第二只盒子中取到的籃球、綠球、白球。（1）（2）15.如果一危險情況C發(fā)生時，一電路閉合并發(fā)出警報，我們可以借用兩個或多個開關并聯以改善可靠性，在Ｃ發(fā)生時這些開關每一個都應閉合，且若至少一個開關閉合了，警報就發(fā)出，如果兩個這樣的開關并聯聯接，它們每一個具有0.96的可靠性（即在情況C發(fā)生時閉合的概率），問這時系統(tǒng)的可靠性（即電路閉合的概率）是多少？如果需要有一個可靠性至少為0.9999的系統(tǒng)，則至少需要用多少只開關并聯？這里設各開關閉合與否都是相互獨立的。要點：獨立“積的概=概的積”解：設Ai=“在情況C發(fā)生時，第i只開關閉合”，i=1，2，3，…，n。當n=2時，系統(tǒng)的可靠性為也可以設n只開關并聯，可保證系統(tǒng)的可靠性至少為0.9999，則即故至少需要3只開關并聯，才能使系統(tǒng)的可靠性至少為0.9999。16.設一枚深水炸彈擊沉一潛水艇的概率為1/3，擊傷的概率為1/2，擊不中的概率的概率為1/6。并設擊傷兩次也會導致潛水艇下沉。求釋放4枚深水炸彈能擊沉潛水艇的概率。（提示：先求出擊不沉的概率。）解：設A=“釋放4枚炸彈，擊沉潛水艇”，B=“釋放4枚炸彈，均未擊中潛水艇”，C=“釋放4枚炸彈，恰有一枚擊傷潛水艇”，則由獨立性有隨機變量及其分布填空題1.一袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取3只球，以X表示取出的3只球中的最大碼，則隨機變量X的分布律為。2.設在15只同類型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數，則X的分布律為。解：P{X=1}=C12·C213/C315=，P{X=2}=C22·C13/C315=，P{X=0}=1－P{X=1}－P{X=2}=分布律圖形如圖2-1所示。X012pk22/3512/351/353.設隨機變量X的分布律為，k=0，1，2，…；為常數，則常數=。4.設，且，則__________，__________。解：4.設隨機變量Y在區(qū)間[1，6]上服從均勻分布，則方程有實根的概率為0.8。解：方程有實根當且僅當Δ≥0，即|Y|≥2,則P(|Y|≥2)==0.85.設隨機變量X在區(qū)間[2，5]上服從均勻分布，求對X進行的三次獨立觀測中，至少有兩次的觀測值大于3的概率為。解：P(X＞3)==,則所求概率即為6.設X～，對X的三次獨立重復觀察中，事件{X≤0.5}出現的次數為隨機變量Y,則P{Y=2}=9/64。解：P{X≤0.5}=0.25,Y服從B(3,0.25)分布,則P{Y=2}==7.設，若，則19/27。解：，則，則而，，，所以.8.設隨機變量的概率密度為則__________，的分布函數__________。解：所以.9.設隨機變量X服從均值為10，均方差為0.02的正態(tài)分布，設Ф（x）為標準正態(tài)分布函數，已知Ф（2.5）=0.9938,則X落在區(qū)間（9.95,10.05）內的概率為0.9876。10.設隨機變量Xf(x)=,-∞＜x＜+∞,則X。解：當x＜0時，F(x)=

當x≥0時，F(x)=11.設隨機變量X的概率分布為P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,則其分布函數F(x)=。12.設X的分布函數,則A=1,P|X|＜=1/2。解：為連續(xù)函數，.13.設X的分布函數，則X的概率分布列為。14.設隨機變量X服從參數為2的泊松分布，且Z=3X-2,則E(Z)=4。15.設X～N(2,）且P{2<X<4}=0.3,則P{X<0}=0.2。解：

即,則16.設隨機變量X服從參數為1的指數分布,則4/3。17.設X表示10次獨立重復射擊命中目標的次數且每次命中率為0.4,則=18.4。解：X～B(10,0.4）,則18.設隨機變量X的概率密度為，則（1）=2；（2）=1/3。19.設服從泊松分布.（1）若，則__________；（2）若，則__________。解：（1），（2）所以20.設，且，則__________。解：，所以21.設，且，則______；______。解：22.設一次試驗成功的概率為，現進行100次獨立重復試驗，當________時，成功次數的標準差的值最大，其最大值為________。解：，有最大值為5.23.設服從參數為的指數分布，且，則_______。解：.，24.一批產品的次品率為0.1，從中任取5件產品，則所取產品中的次品數的數學期望為________，標準差為________。解：設表示所取產品的次品數，則.，25.設隨機變量的概率密度為且，則__________，___________.解：①②解（1）（2）聯立方程有：.計算題1.一汽車沿一街道行駛，要經過三個有信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠信號顯示的時間相等，求此汽車首次遇到紅燈前已通過的路口數X的概率分布。解：設={第個路口遇到紅燈}，=1,2,3,則P()=0.5,X的所有取值為0,1,2,3,其概率分布如下：P(X=0)=P()=0.5P(X=1)==0.25P(X=2)==0.125P(X=3)==0.1252.一大樓裝有5個同類型的供水設備，調查表明在任一時刻t每個設備被使用的概率為0.1，問在同一時刻恰有2個設備被使用的概率是多少？至少有3個設備被使用的概率是多少？至多有3個設備被使用的概率是多少？至少有1個設備被使用的概率是多少？解：設對每個設備的觀察為一次試驗，則試驗次數為5且每次試驗相互獨立。于是X～b(5,0.1),分布律為P{X=k}=(0.1)k(0.9)5-k，k=0，1，2，3，4，5P{X=2}=·0.12·（1-0.1）3=0.0729P{X}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=++=0.00856P{X}=1-P{X=4}-P{X=5}==0.99954P{X}=1-P{X}=1-P{X=0}=1-=0.409513.設事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號。（1）進行了5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率；（2）進行了7次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率。解：設A發(fā)生的次數為X，則Xb(n,0.3)，設B為指示燈發(fā)出信號。（1）n=5，則P(B)=P{X}=或P(B)==（2）n=7，則P(B)==或P(B)===0.3534.設隨機變量X的密度函數為試求（1）X的分布函數；（2）。解：當時，；當時，；當時，；當時，所以可的X的分布函數為（2）5.設隨機變量X的密度函數為試求（1）系數A；（2）X落在區(qū)間（0，/4）的概率。解：（1）因為所以（2）所求概率6.設隨機變量X的分布函數為試求（1）系數A；（2）X落在區(qū)間（0.3，0.7）內的概率；（3）X的密度函數。解：（1）由的連續(xù)性，有，由此得（2）（3）X的密度函數為7.對某地抽樣調查的結果表明，考生的外語成績（按百分制計）近似服從正態(tài)分布，平均72分且96分以上的考生數占2.3%，求考生的外語成績在60分至84分之間的概率。解：設X表示考生的外語成績，且X～N(72,),則P(X＞96)=1-P(X≤96)=1-()=0.023,即()=0.977,查表得=2，則=12，即且X～N(72,144)，

故P(60≤X≤84)=P(-1≤≤1)=2(1)-1=0.6828.設測量誤差X～N(0，100)，求在100次獨立重復測量中至少有三次測量誤差的絕對值大于19.6的概率，并用Possion分布求其近似值（精確到0.01）。解：由于X～N(0，100)，則P(|X|＞19.6)=1-P(|X|≤19.6)=2[1-(1.96)]=0.05且顯然Y～B(100,0.05),

故P(Y≥3)=1-P(Y≤2)=1-

設=np=100×0.05=5，且YP(5),則

P(Y≥3)=1-P(Y≤2)=1-=0.87059.設X~N(3,22)，(1)求Ｐ{2<X≤5}，P{－4<X≤10}，P{丨X丨>2},P{X>3};（2）確定c使得P{X>c}=P{X≤c},(3)設d滿足P{X>d}≥0.9，問d至多為多少？要點：本題及接下來的四道題要查表計算：一般正態(tài)化為標準正態(tài)，再查標準正態(tài)表，其理論根據：若X~N(,2),則～Ｎ（０，１），例如，Ｘ～Ｎ（，2）,求P{x1<X≤x2}=?核心技術：讓x1，X，ｘ2三方“同跳標準舞”，P{x1<X≤x2}=P{<≤}=（）－。反之，若這個知識點不透，后面的學習將會在黑暗中摸索，因為在統(tǒng)計部分仍將反復使用這個知識點。可省去過程，直接使用公式：P{x1<X≤x2}=（）－由于的圖像關于遠點對稱，口訣：解：（１）P{2<X≤5}＝＝0.5328P{－4<X≤10}==P{丨X丨>2}=1－P{}=1－Φ()+Φ()=1－Φ(－)+Φ(－)=1+Φ()－Φ()=0.6977P{X}=1－P{X}=1－Φ()=1－==0.5（2）由P{X}=P{X}得：P{X}=，P{X}=Φ(，則c=3（3）P{X}=1－P{X}=1－P{}=1－Φ()0.9Φ()0.1查表10.設隨機變量X的概率密度函數為對獨立重復觀察4次，表示觀察值大于的次數，求的數學期望。解：因為隨機變量的概率密度函數為所以，。因此。于是便可得11.設隨機變量X的概率密度函數為試求。解：所以，于是得。12.設隨機變量X的概率密度=，x≥0，求Y=的概率密度。解：因為的取值范圍是，且是嚴增函數，其反函數為，及，所以的密度函數為13．設隨機變量，求的分布。解：因為的取值范圍是，所以當時的密度函數為。而當時，的分布函數為，上式兩邊關于求導得，當時的密度函數為所以的密度函數為14.設隨機變量X服從，求隨機變量的密度函數。解：的密度函數為由于在內取值，所以的取值范圍是。在的取值范圍之外有。而當時，的分布函數為上式兩邊關于求導得所以的密度函數為15.設隨機變量X的概率密度為，求的概率密度。解當時，，則當或時，或當時，則概率密度為應用題1.有一大批產品，其驗收方案如下。先作第一次檢驗：從中任取10件，經檢驗無次品接受這批產品，次品數大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時接受這批產品。若產品的次品率為10％，求這批產品經第一次檢驗就能接受的概率。需做第二次檢驗的概率。這批產品按第二次檢驗的標準被接受的概率。這批產品在第一次檢驗未能作決定且第二次檢驗時被通過的概率。這批產品被接受的概率。 解：設X=“第一次檢驗的次品數”，Y=“第二次檢驗的次品數”，p=10％=0.1，則Xb(10,0.1),Yb(5,0.1)P{X=0}==0.910≈0.349P{1X2}=P{X=1}+P{X=2}=≈0.581P{Y=0}==0.95≈0.590P{Y=0,1X2}=P{Y=0}P{1X2}兩事件相互獨立=0.590.581≈0.343P（{X=0}{Y=0,1X2}）=0.349+0.343=0.6922.有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯，如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。某人隨機的去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒，他連續(xù)試驗10次，成功3次，試推斷他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設各次試驗是相互獨立的）。要點：本題第（2）問為后面第八章假設檢驗作伏筆。解：（1）為古典概型問題，基本事件總數為，則成功一次的概率為1/=（2）設成功次數為X，則Xb(10,)，所以P{X=3}=≈3.16310-4因為僅憑猜測，能成功3次的概率特別小，可認為他確有區(qū)分的能力。3.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設每輛汽車在一天的某段時間內出事故的概率為0.0001。在某天的改短時間內有1000輛汽車通過，問出事故的次數不小于2的概率是多少？（利用泊松定理計算。）解：1000輛汽車中在一天的某段時間內發(fā)生事故的次數X服從二項分布b(1000,0.0001),所求概率為P{X2}==1－=1－計算較麻煩，如果用泊松定理計算，將大大化簡計算。即≈，其中np=10000.0001=0.1，于是P{X2}=1－P{X2}=1－P{X=0}－P{X=1}1－=1－=0.004684.某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以mm-Hg計）服從N（110，122），在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測量她的血壓X；（1）求P{X}，P{100}；（2）確定最小的x，使P{X}0.05。解（1）XP{X}=Φ()=Φ(－0.417)=1－Φ(0.417)=1－0.6628=0.3372P{100}=Φ()－Φ()=Φ(0.83)－Φ(－0.83)=2Φ(0.83)－1=0.5934（2）要使P{X}0.05，只須1－P{X}0.05，即P{X}1－0.05=0.095亦即Φ()0.95，故。5.設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（以分計）服從指數分布，其概率密度為，某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘，他就離開，他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，寫出Y的分布律，并求P{Y}。要點：5次5重Yb(n,p)=b(5,p)，p由X的分布求。解：Yb(5,p)p=P{X}=Y的分布律為P{Y=k}=，k=0，1，2，3，4，5P{Y}=1－P{Y}=1－P{Y=0}=1－=0.51676.由某機器生產的螺栓的長度（cm）服從參數μ=10.05，σ=0.06的正態(tài)分布，規(guī)定長度在范圍10.050.12內為合格品，求一螺栓為不合格品的概率。解：記螺栓的長度為X，則螺栓為不合格品的概率為3.一工廠生產的電子管的壽命X（以小時計）服從參數為μ=160，σ的正態(tài)分布，若要求P{}，允許σ最大為多少？解：XP{}=ΦΦ=2Φ得Φ，查表知，Φ(1.28)=0.90，即ΦΦ(1.28)所以σ最大為31.25。7.以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一個顧客到達的等待時間（以分計），X的分布函數是(x)=，求下述概率：P{至多3分鐘}；（2）P{至少4分鐘}；（3）P{3分鐘至4分鐘之間；（4）P{至多3分鐘或至少4分鐘}；（5）P{恰好2.5分鐘}。要點：由此題可體會由分布函數計算概率的簡潔！解：（1）P{X}=FX(3)=1－=1－e-1.2=0.6988P{X}=1－P{X}=1－FX(4)==0.2019P{3X4}=P{X}－P{X}=FX(4)－FX(3)=1－=0.0993P{X}+P{X}=1－=0.6988+0.2019=0.9007P{X=2.5}=08.某公司經銷某種原料，根據歷史資料表明：這種原料的市場需求量（單位：噸）服從（300，500）上的均勻分布。每售出1噸該原料，公司可獲利1.5（千元）；若積壓1噸，公司損失0.5（千元）。問公司應該組織多少貨源，可以使平均收益最大？解：設公司組織該貨源噸，則應有。又記Y為在噸貨源條件下的收益額（單位：千元），則收益額Y為需求量的函數，有所以這是的二次函數。當=450噸時，達到最大。故公司應該組織貨源450噸。-9.某新產品在未來市場上的占有率是僅在區(qū)間（0，1）上取值的隨機變量，它的密度函數為試求平均市場占有率。解：求平均市場占有率即是去求，有第三章多維隨機變量及其分布一、填空題1.設X的分布律為且X與Y獨立同分布，則隨機變量Z=max{X,Y}的分布律為（）。

[答案：]2.設(X,Y)的概率密度為f(x,y)=,求邊緣密度，。解：

=3．設X～N(-3，1），Y～N(2,1),且X與Y相互獨立，若Z=X-2Y+7，則Z服從的分布是（）。

[答案填：N(0,5）]4.設D是由曲線xy=1與直線y=0,x=1,x=圍成的平面區(qū)域,二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，則(X,Y)關于X的邊緣分布在x=2處的值為()。

[答案填：]

由，設(X,Y)的聯合概率密度為f(x,y)，則：

當(x,y)∈D時，f(x,y)=；當(x,y)∈時，f(x,y)=0.

∴當1≤x≤時，顯然在x=2處的值為.5.設隨機變量相互獨立且都服從區(qū)間上的均勻分布，則__________.解：1xy1xy016.設兩個隨機變量X與Y相互獨立且均服從分布N(0,),則E|X-Y|=().

[答案填：]

令U=X-Y,則U～N(0,1),從而

E|X-Y|=E|U|=

=7.設是兩個隨機變量，且，則__________.解：.8.設，則__________.解：，，常數9.設隨機變量X和Y的數學期望分別為-2和2,方差分別為1和4，而相關系數為-0.5,則根據切比雪夫不等式有（）。

[答案填：]事實上，

10.設是兩個隨機變量，且，則__________.解：.11.設，則__________.解：，，常數計算題1.設某班車起點站上客人數X服從參數為（＞0）的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率p(0＜p＜1),且中途下車與否相互獨立。已Y表示在中途下車的人數,求：

（1）在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率;

（2）二維隨機向量(X,Y)的概率分布.解：（1）P{Y=m|X=n}=,m=0,1,2,…n.

（2）P{X=n,Y=m}=,m=0,1,2,…n;n=0,1,2,…2.設隨機變量,求的聯合分布列.解:(X1,X2)的可能取值數對及相應的概率如下：P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=(|Y|≥2)=22Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2)=P(1≤|Y|<2)=2[Φ(2)Φ(1)]=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)=0，P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=0.68263.設(X,Y)的概率密度為f(x,y)=,求邊緣密度，。解：

=4.，試求：（1）常數A；（2）P(X<2,Y<1);（3)P{(X,Y)D},其中D為2x+3y≤6.解：（1）=A/6，所以（2）P{X<2,Y<1}（3）5.設二維隨機變量(X,Y)的聯合概率密度函數為，(1)求常數k；(2)求概率P(X+Y≤1)。解：（1），即，由此得（2）6.設二維隨機變(X,Y)量具有概率密度，(1)確定常數C；(2)求概率P(X>Y)。解：（1），由此得。（2）積分區(qū)域為，所以7.設隨機變量（X,Y）的概率密度為（1）確定常數k；（2）求（3）求（4）求.。要點：1°確定常數，啟動；2°用重要公式：；3°復習二重積分計算。解：（1）由可知（2）（3）（4）8.設二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數為，其中A，B，C為常數，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)(1)試確定A，B，C；(2)求X和Y的邊緣分布函數；(3)求P(X>2)解：由聯合分布函數性質2可知：，，解得，，。故（2），，（3）由X的分布函數可得：9.設二維隨機變量，求邊緣密度函數fX(x)和fY(y)解：當0<x<1時,，當x≤0或x≥1時，fX(x)=0，所以；當0<y<1時,，當y≤0或y≥1時，fY(y)=0，所以10.設二維隨機變量（X,Y）的概率密度為，求邊緣概率密度。解：由知：當時，；當時，由于。，當時，；當時，。于是，邊緣概率密度為，11.設二維隨機變量（X,Y）的概率密度為，（1）試確定常數c；（2）求邊緣概率密度。解：（1）由（2）當時，即時，當時，當時，；其余，故X,Y的邊緣概率密度為12．設解：，得（2）于是(X,Y)關于X的邊緣概率密度為于是(X,Y)關于Y的邊緣概率密度為13.某電子儀器由兩個部件構成，其壽命（單位：千小時）X與Y的聯合分布函數為

問：（1）X與Y是否獨立？（2）兩部件的壽命都超過100小時的概率。解：（1）

則恒有，從而X與Y獨立。

（2）15.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為，求隨機變量Z=X＋Y的概率密度。解：X與Y相互獨立，Z=X+Y的概率密度為，知，故16.設二維隨機變量在區(qū)域上服從均勻分布.求（1）關于的邊緣概率密度；（2）的分布函數與概率密度.1D01z1D01zxyx+y=1x+y=zD1（2）利用公式其中當或時xzz=xxzz=x故的概率密度為的分布函數為17.隨機變量X與Y相互獨立，X～N(1,2),Y～N(0,1),求隨機變量Z=2X-Y+3的概率密度函數。解：由于隨機變量X與Y獨立，X～N(1,2),Y～N(0,1),則X與Y的線性函數Z=2X-Y+3業(yè)服從正態(tài)分布，且E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=5,D(Z)=4D(X)+D(Y)=9,即Z～N(5,9)

則：18.設隨機變量X與Y相互獨立且X～N(,),Y～U[-,}求Z=X+Y的概率密度函數。（計算結果用標準正態(tài)分布函數表示）。解：由卷積公式可知

（令）

19.設隨機變量（X,Y）的概率密度為（1）試確定常數b；（2）求邊緣概率密度（3）求函數的分布函數。解：（1）因為，即由此得得（2）y>0時,即（3）由（1）、（2）不難驗證：，知X,Y相互獨立。于是20.設隨機變量（X,Y）具有概率密度求。解：，21.設隨機變量具有概率密度求。解：，，同理故22.設的概率密度為，求要點：，分別令即可。解：，23.將n只球隨機地放進n只盒子中去，一只盒子裝一只球，若一只球裝入與球同號的盒子中，稱為一個配對，記X為總的配對數，求E(X)。解：引進隨機變量則，其中分布，，從而24.設與在圓域上服從聯合均勻分布，

（1）求與的相關系數；（2）問與是否獨立？解：（1）由與服從圓域上的聯合均勻分布，即

可知關于各自的邊緣概率密度函數為：

且（奇函數對稱區(qū)間上的積分為0

因而

且，即與的相關系數為0。

（2）由

及

可知，即與不獨立。25.已知三個隨機變量X,Y,Z中，,求。要點：條件沒說X,Y,Z相互獨立，因而在算。解：應用題1.兩臺同樣的自動記錄儀，每臺無故障工作的時間服從參數為5的指數分布，先開動其中的一臺，當發(fā)生故障時，自動停機，另一臺自動開機。求：兩臺記錄儀無故障工作的總時間的概率密度、期望值與方差。解：設{第臺自動記錄儀無故障的工作時間}，，與獨立同分布，且，即，

當時，

當時，

即為兩臺記錄儀無故障工作的總時間的概率密度。

2.設一商店經銷某種商品，每周的進貨量與顧客對該商品的需求量是兩個相互獨立的隨機變量，均服從區(qū)間上的均勻分布，此商店每售出一個單位的商品，可獲利1000元，若需求量超過了進貨量，可從其它商店調劑供應，此時售出的每單位商品，僅獲利500元，求此商店經銷這種商品每周獲利的期望。解：設一商店經銷某種商品的每周所獲利潤為元，據題意可知：

當時，

當時，

即

且

所以此商店經銷這種商品每周獲利的期望是14167元。3.卡車裝運水泥，設每袋水泥的重量X（以公斤計）服從(50，2.5)，問最多裝多少袋水泥使總重量超過2000的概率不大于0.05。解：每袋重量X~，設最多裝n袋，則總重量Y＝，，故最多裝39袋，（本題要點：反查的表。）證明題1.設X，Y是相互獨立的隨機變量，它們分別服從參數為的泊松分布，證明：Z=X+Y服從參數為的泊松分布。證明：由題設知由上一題結論可知二項式定理：即Z=X+Y服從參數為的泊松分布。2.設X,X,…,X是相互獨立的隨機變量。且有E(X)＝μ，D(X)＝σ,i＝1,2,…,n.。記＝，S＝驗證E()＝μ,D()＝；驗證S＝;驗證E(S)＝σ。要點：此題為第六章及以后知識作準備，是核心推導之一。證明：利用數學期望和方差的性質及定義。（1）E()＝E＝＝＝μD()＝D＝＝＝(2)S＝＝＝＝＝＝（3）E(S)＝＝＝＝＝3.設二維隨機變量（X,Y）的概率密度為試驗證：X和Y是不相關的，但X和Y不是相互獨立的。要點：不相關；不獨立（非“幾乎處處”）證明：即同理經驗證有，故X與Y不是相互獨立的，這是一方面。另一方面（奇函數在對稱區(qū)間積分為零）同理從而即4.設服從二維正態(tài)分布，且有證明當時，隨機變量相互獨立。證明：服從二維正態(tài)分布X,Y的線性組合W,V也服從正態(tài)分布==由已知二維正態(tài)隨機變量相互獨立的充要條件是：。故當時，隨機變量W與V相互獨立。第四章大數定律及中心極限定理一填空題1.擲一顆骰子100次，記第次擲出的點數為，點數之平均為，則概率=。2.汽車銷售點每天出售的汽車數服從參數為的泊松分布。若一年365天都經營汽車銷售，且每天出售的汽車數是相互獨立的。則一年中售出700輛以上汽車的概率為。3．一儀器同時收到50個信號設它們相互獨立，且都服從（0，1）內的均勻分布，則=。二計算題1.據以往經驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數分布，先隨機地取36只，設它們的壽命是相互獨立的。求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率。解設16只元件壽命分別為，由指數分布的期望及方差公式可知：。由定理四知：即壽命總和大于1920小時的概率為0.2119。2.計算器在進行加法時，將每個加數舍入最靠近它的整數。設所有舍入誤差是獨立的且在（-0.5，0.5）上服從均與分布。（1）若將1500個數相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？（2）最多可有幾個數相加使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90？解設每個加數的舍入誤差為則相互獨立，,于是，。（1）設，由定理四有：即誤差總和的絕對值超過15的概率約為0.1802。設，求。由定理四有：即，查表得從上式解出故最多有443個數相加使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90。3.設各零件的重量都是隨機變量，它們相互獨立，且服從相同的分布，其數學期