fky6-彈性薄板的小撓度彎曲

薄板是一種常見的工程構(gòu)件形式機(jī)械、航空和土建工程應(yīng)用廣泛特殊形式——小撓度薄板第五章薄板的小撓度彎曲板是工程中常用的構(gòu)件，當(dāng)外荷載作用方向平行于板面且沿板厚均勻分布且不發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象時，可以處理為平面應(yīng)力問題；當(dāng)外荷載作用方向垂直于板面時，則屬于彈性力學(xué)的空間問題。由于數(shù)學(xué)上處理空間問題的復(fù)雜性，要求得滿足全部基本方程和邊界條件的精確解非常困難，這就需要引入簡化計(jì)算的近似假設(shè)。下面將通過引入這樣的近似假設(shè)，建立薄板彎曲問題的基本方程和基本關(guān)系式以及各種支承情況下的邊界條件，并討論幾種常用的薄板彎曲問題。第五章薄板的小撓度彎曲

§5-1基本概念與計(jì)算假定§5-2薄板內(nèi)力§5-3薄板彎曲的基本方程§5-4邊界條件§5-5四邊簡支矩形薄板的重三角級數(shù)解(Navier解)§5-6矩形薄板的三角級數(shù)解(Levy解)§5-7圓形薄板的彎曲

§5-1基本概念與計(jì)算假定

板:板面、板邊

板厚薄膜薄板：當(dāng)板厚與板面內(nèi)最小特征尺寸之比在1/80～1/5之間時

撓度小撓度問題：撓度與板厚之比小于或等于1/5大撓度問題

abhzyx荷載（Loads）當(dāng)薄板受一般荷載時，總是可以把每個荷載分解為兩個荷載.

abhzyx縱向載荷（中面載荷）：橫向載荷：作用在薄板中面的載荷，沿板厚均勻分布。（平面應(yīng)力問題）垂直薄板中面的載荷，使板彎曲。（薄板彎曲問題）q基爾霍夫假設(shè)（1）直法線假設(shè)（2）σz引起的變形略去不計(jì)（3）中面內(nèi)各點(diǎn)只有垂直位移w基爾霍夫假設(shè)（1）變形前垂直于薄板中面的直線段（法線）在變形后仍保持為直線，并垂直于變形后的中面，且其長度不變，稱為直法線假設(shè)，它與材料力學(xué)中梁彎曲問題的平面假設(shè)相似。若將板中面作為xOy坐標(biāo)面，z軸垂直向下，則根據(jù)此假設(shè)，有εz=0和γxz=γyz=0。

即：橫向位移w(x,y)只是x,y的函數(shù)，不隨z變化。因此，在中面的任一根法線上各點(diǎn)都具有相同的橫向位移，也就等于撓度。0=??+??ywzv,0=??+??xwzu(2)應(yīng)力分量

遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其余三個應(yīng)力分量，因而是次要的，它們所引起的形變可以不計(jì)

注意：這3個次要應(yīng)力分量本身是維持平衡所必須的，不能不計(jì)。把應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示，得：其他3個物理方程？(3)薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)都沒有平行中面的位移，即：也就是說：中面的任意一部分，雖然彎曲成彈性曲面的一部分，但它在xy面上的投影性狀卻保持不變。在材料力學(xué)里分析直梁的彎曲時，也采用了與上相似的計(jì)算假設(shè)，只是在這里，薄板的中面代替了梁的軸線，薄板的彈性曲面代替了直梁的彈性曲線，薄板的雙向彎曲（實(shí)際上是連彎帶扭）代替了直梁的單向彎曲?！?-2薄板內(nèi)力

根據(jù)§5-1中的三個基本假設(shè)，利用彈性力學(xué)的平衡微分方程、幾何方程和物理方程，可以將薄板內(nèi)任一點(diǎn)的位移分量、應(yīng)變分量、應(yīng)力分量和板橫截面上的內(nèi)力，都用撓度w來表示。下面就來建立這些基本關(guān)系式（位移法）。一、薄板中的位移分量和應(yīng)變分量的表示式二、薄板中的應(yīng)力分量表示式

三、薄板橫截面上的內(nèi)力表示式

一、薄板中的位移分量和應(yīng)變分量的表示式（a）

根據(jù)上述第一假設(shè)，由幾何方程知（a）式成立.由式（a）的第三式可知，在板內(nèi)所有的點(diǎn)，位移分量w只是x和y的函數(shù)而與z無關(guān)，故板內(nèi)各點(diǎn)的位移分量w沿厚度方向是相同的。再由式（a）的第五、第六式，有由第三個假設(shè)：（u）z=0=0和（v）z=0=0可知，f1(x,y)=f2(x,y)=0，于是有

（5-1）

（5-1）

式（5-1）表示，薄板內(nèi)坐標(biāo)為（x,y,z）的任一點(diǎn)，分別在x和y方向的位移沿板厚方向呈線性分布，中面處位移為零，在上、下表面處位移最大。利用式（a）的第一、第二和第四式，得應(yīng)變分量的表示式

由此可見，應(yīng)變分量εx,εy,γxy也是沿板厚呈線性分布，在中面為零，在上、下板面處達(dá)極值。

（5-2）

二、薄板中的應(yīng)力分量表示式

根據(jù)上述的第一個和第二個假設(shè)，物理方程簡化為這是薄板小撓度彎曲時，主要應(yīng)力σx，σy和τxy與撓度w的關(guān)系式?？梢娝鼈冄匕宓暮穸纫彩浅示€性分布，其在中面上為零，在上、下板面處達(dá)到極值。

（5-3）

次要應(yīng)力分量按假設(shè)，σz，τxz和τyz應(yīng)為零，實(shí)際上，它們只是遠(yuǎn)小于σx，σy和τxy的次要的應(yīng)力分量，對于它們所引起的變形可略去不計(jì)，但對于維持平衡，它們不能不計(jì)。為了求得它們，現(xiàn)考慮不計(jì)體力的平衡微分方程：

如體力分量FZ及下表面上的面力不等于零，對簿板來說，可以歸入板上表面的面力，這樣處理只會影響次要應(yīng)力σz，于是板上、下表面的靜力邊界條件為：

這里q為薄板單位面積內(nèi)的橫向荷載。

（5-4）

（5-5）

式（5-4）就是切應(yīng)力τxz和τyz與撓度w的關(guān)系式，它們表明，剪應(yīng)力τxz和τyz沿板厚方向呈拋物線分布，在中面處達(dá)最大值，這也與梁彎曲時剪應(yīng)力沿梁高方向的變化規(guī)律相同。σz沿板厚呈三次拋物線規(guī)律分布（圖5-2）。

將式（5-3）代入方程（c），經(jīng)積分后，利用邊界條件（d）的前三式，不難得到以下結(jié)果:三、薄板橫截面上的內(nèi)力表示式下面要建立這些合成內(nèi)力與撓度之間的關(guān)系。11h/2h/2zxysx右截面上：zdzMx11h/2h/2zxytxytxz右截面上：MxyzdztxyQx11h/2h2zxyMxyQxMxMyMyxQy薄板橫截面上的內(nèi)力~變形的關(guān)系薄板橫截面上的應(yīng)力：應(yīng)力分量又可通過相應(yīng)的內(nèi)力表示

與材料力學(xué)中梁的彎曲應(yīng)力和橫向切應(yīng)力公式相似。

11h/2h/2zxysxsytxytxz

顯然，沿著薄板的厚度，應(yīng)力分量的最大值發(fā)生在板面，和的最大值發(fā)生在中面，而之最大值發(fā)生在載荷作用面。并且，一定載荷引起的應(yīng)力分量中，在數(shù)值上較大，因而是主要應(yīng)力；及數(shù)值較小，是次要的應(yīng)力；擠壓應(yīng)力在數(shù)值上最小，是更次要的應(yīng)力。因此，在計(jì)算薄板的內(nèi)力時，主要是計(jì)算彎矩和扭矩。與材料力學(xué)中梁的彎曲應(yīng)力和橫向切應(yīng)力公式相似。

§5-2薄板彎曲的基本方程

設(shè)在薄板頂面上每單位面積作用的載荷q(包括橫向面力和橫向體力），板上面的邊界條件為:由此得其中稱為薄板的彎曲剛度。

薄板撓曲微分方程也稱為薄板的彈性曲面微分方程，它是薄板彎曲問題的基本微分方程。w=w(x,y)q=q(x,y)說明：1.如果w(x,y)滿足，等價于滿足薄板的6個幾何方程，3個本構(gòu)方程，3個平衡方程及板的上下面邊界條件。故稱為薄板彎曲問題的基本方程，在求解時只需選擇w(x,y)滿足及板邊的邊界條件即可。2.如果體力分量不為零，如何處理？將薄板單位面積內(nèi)的體力歸入薄板上板面的面力中。3.應(yīng)力分量很難精確滿足板邊邊界條件，常用圣維南靜力等效邊界條件，必須確定板橫截面上的內(nèi)力。幾個待定常數(shù)？§5-4邊界條件

以圖示矩形板為例：1固定邊

假定OA邊是固支邊界，則邊界處的撓度和曲面的法向斜率等于零。即：2簡支邊假設(shè)OC邊是簡支邊界，則邊界處的撓度和彎矩My等于零。即：由于且在OC上即則簡支邊OC邊界條件可寫成：3自由邊

板邊CB為自由邊界，則沿該邊的彎矩、扭矩和橫向剪應(yīng)力都為零，即：變扭矩為靜力等效的橫向剪力對此，基爾霍夫作了如下巧妙的處理：他將邊界上的扭矩變換為靜力等效的橫向剪力，再將它與原來的橫向剪力合并成總的分布剪力。這樣，就將每邊上的三個邊界條件歸并成兩個邊界條件。

將Mx、Qx、Mxy與的關(guān)系代入，得自由邊界CB的邊界條件為：FRB=（Myx）B+（Mxy）B＝2（Mxy）B

（5-16）集中力的指向，應(yīng)由扭矩（Mxy）B的符號來判斷。圖示為當(dāng)四個角點(diǎn)上的扭矩都為正時的指向。

角點(diǎn)條件FRB=2（Mxy）B

小撓度薄板的彎曲問題，已經(jīng)歸結(jié)為求解撓度w，w應(yīng)滿足撓曲線微分方程和板邊的邊界條件?！?－5四邊簡支矩形薄板的重三角級數(shù)解對于四邊簡支的矩形板，邊界條件為(b)四邊簡支納維將w表示為重三角級數(shù)，

其中m，n為正整數(shù)。代入式(b)，全部邊界條件滿足。將q(x,y)也展為重三角級數(shù)，再代入式(a)，得將q代入上式，比較兩邊系數(shù)，得納維解答是用多種正弦波形的疊加來表示撓度w的。對于各種形式的荷載q

，均可方便地求出解答。它的主要是，只能適用于四邊簡支的薄板。當(dāng)q為集中荷載F，作用于一點(diǎn)時，可用代替q，并且只在處的微分面積上存在，其余區(qū)域q=0，于是中當(dāng)q為均布荷載時，代入式(f)，便可求出，并得出w解答。設(shè)矩形板的兩對邊為簡支邊，其余兩邊為任意邊界?！?－6矩形薄板的單三角級數(shù)解

兩對邊簡支其中是待定的函數(shù)，m為正整數(shù)。式(a)已滿足了的簡支邊條件,萊維采用單三角級數(shù)表示撓度，將式(a)代入撓曲線微分方程，得兩對邊簡支將也展開為單三角級數(shù)，兩對邊簡支代入式(b)，比較系數(shù)，得出求的常微分方程，其中為式(d)的特解；其余四項(xiàng)為齊次方程的通解。將代入式(a)，得w解，其中的系數(shù)由其余兩邊界條件來確定。式(d)的解為書中列舉了受均布荷載時,四邊簡支板的解答。矩形薄板應(yīng)用重三角級數(shù)和單三角級數(shù)求解，是非常重要的解法。下面我們進(jìn)一步說明幾點(diǎn)。從求解薄板彎曲問題來看，兩者比較如下：

適用性四邊簡支兩對邊簡支，另兩邊可任意求解較困難，須求解系數(shù)

收斂性慢快應(yīng)用局限于四邊簡支可推廣應(yīng)用到其他各種邊界納維解法萊維解法簡便2.應(yīng)用疊加方法，可將萊維提出的單三角級數(shù)解，用于解決各種矩形薄板的邊

界條件問題。3.納維解法和萊維解法，不僅在薄板的靜力（彎曲）問題中得到了廣泛的應(yīng)用，而且可以推廣應(yīng)用于薄板的動力、穩(wěn)定問題,以及能量法中。（3）兩對邊簡支，另兩對邊固定；（4）兩鄰邊簡支，另兩鄰邊固定；（5）一邊簡支，三邊固定；（6）四邊固定?！?－8圓形薄板的彎曲

圓板彎曲問題的方程和公式，都可以從直角坐標(biāo)系的方程和公式導(dǎo)出。

1.

撓曲微分方程仍為其中圓板方程將對x，y的導(dǎo)數(shù)變換為對的導(dǎo)數(shù)，并代入，得2.

內(nèi)力公式--類似地可利用公式，例如，內(nèi)力公式同樣，得出類似地，橫截面上的總剪力為

3.

邊界條件可以表示為⑵設(shè)為簡支邊，則⑴設(shè)為固定邊，則邊界條件前一條件使w對的導(dǎo)數(shù)在邊界上均為0，故簡支邊條件為⑶設(shè)為自由邊，則若圓板的荷載q和邊界條件均為軸對稱，則薄板的撓度和內(nèi)力必然也為軸對稱。所以有§9－9圓形薄板的軸對稱彎曲撓曲微分方程為軸對稱彎矩對于無孔板，則除2個外邊界條件外，還應(yīng)考慮撓度和內(nèi)力在的有限值條件，所以得。式(a)的全解為對于有孔板，由內(nèi)外邊界共4個邊界條件來確定。通解的系數(shù)由邊界條件來確定：其中特解為邊界條件上述的軸對稱解答(b)，是軸對稱彎曲的一般解，可以應(yīng)用于一切軸對稱彎曲問題。讀者可參考教科書的解答和有關(guān)力學(xué)手冊。受均布荷載作用，如圖，試求其撓度和內(nèi)力。固定邊橢圓板的邊界方程為

Oabyx例題1由，顯然。因此，從方向解：固定邊的邊界條件是(a)(b)導(dǎo)數(shù)的公式可推出，為了滿足邊界條件(a)，可以令便可滿足式(a)的邊界條件。對于均布荷載，將式(c)代入方程得出，并從而得因此，只需取(c)內(nèi)力為讀者可以檢驗(yàn)，最大和最小彎矩分別為當(dāng)時，便由上述解得出圓板的解答;若令則橢圓板成為跨度為的平面應(yīng)變問題的固端梁。四邊簡支矩形板，如圖，受有分布荷載的作用，試用重三角級數(shù)求解其撓度。例題2解：將代入積分式，由三角函數(shù)的正交性，及得代入，得撓度的表達(dá)式為四邊簡支矩形板，如圖，在的直線上，受有線分布荷載F的作用，F(xiàn)為單位長度上的作用力。試用重三角級數(shù)求解其撓度。yxabOFa例題3