新教材必修第一冊3 .L L 函數(shù)的概念及其表示

新教材必修第一冊3.LL函數(shù)的概念及其表示

課標(biāo)解讀：

1.函數(shù)的概念.（理解）

2.函數(shù)的定義域.（掌握）

3.函數(shù)的值域.（理解）

4.區(qū)間的概念.（了解）

學(xué)習(xí)指導(dǎo)：

函數(shù)的概念是初中函數(shù)知識的基礎(chǔ)上出現(xiàn)的全新的現(xiàn)代定義方式（利用集合語言定義

函數(shù)），相對來說比較抽象，學(xué)習(xí)時要注意對概念的理解、三要素的把握、數(shù)形結(jié)合，

重點(diǎn)理解定義中的“任意性、存在性、唯一性”，要通過適量的練習(xí)加以鞏固，為后續(xù)

的學(xué)習(xí)打牢基礎(chǔ).此部分題目靈活多變，要學(xué)會舉一反三，領(lǐng)悟核心要素.

知識導(dǎo)圖：

教材全解

知識點(diǎn)1：函數(shù)的概念

1.函數(shù)的傳統(tǒng)定義（變量說）

一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與并且對于x的每一個確定的值,

y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么就稱x是自變量，y是x的函數(shù).

2.函數(shù)的現(xiàn)代定義(對于關(guān)系說)

一般地，設(shè)A,B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種

確定的對應(yīng)關(guān)系了,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱/：A-B為集

合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=/(x),xe4

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫

做函數(shù)值，函數(shù)值的集合"(x)|xeA｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.

例下列對應(yīng)關(guān)系是集合A到集合B的函數(shù)的為

A.A=R,8={y|y>0}fy=|無|

B.A=Z,B=Z,f:x^y=x2

C.A-Z,B=Z,f:x->y-4x

D.A=L={0}":xry=0

E.A={1,2,3},8={4,5,6},對應(yīng)關(guān)系如圖所示：

答案：A不是B是C不是D是E不是

變式訓(xùn)練：由下列式子是否確定y是x的函數(shù)?

(1)x2+y2=2；(2)Vx-1+Jy-l=1;(3)y=Jx-2+Jl-x.

答案：(1)不能確定；(2)能確定；(3)不能確定.

知識點(diǎn)2：函數(shù)的三要素

由函數(shù)的概念知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.

1.定義域

函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍.

在函數(shù)關(guān)系的表述中，函數(shù)的定義域有時可以忽略，這時就約定這個函數(shù)的定義域就

是使得這個函數(shù)關(guān)系式有意義的實(shí)數(shù)的全體構(gòu)成的集合.在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域

還要受到自變量實(shí)際意義的制約.

2.對應(yīng)關(guān)系

對應(yīng)關(guān)系/是函數(shù)的核心，它是對自變量x實(shí)施“對應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”.

按照這一“程序”，從定義域A中任何取一個x,可得到值域｛y|y=/(x),xeA｝中唯一的y

與之對應(yīng)洞一可以“操作”不同形式的變量.

3.值域

函數(shù)值域是函數(shù)值的集合，通常一個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定，它的值域也就隨

之確定了.

例2-2：下列說法不正確的是()

A.定義域與對應(yīng)關(guān)系后，函數(shù)值域也就確定了

B.函數(shù)的定義域是無限集，則值域也是無限集

C.若函數(shù)的定義域只有一個元素，則值域也只有一個元素

D.對于/(x)=5,xeR,/(x)不隨著x的變化而變化，所以/(0)=5也成立.

答案：B

例2-3：下列說法正確的是()

A,函數(shù)值域中每一個數(shù)在定義域中一定有一個數(shù)與之對應(yīng)

B.函數(shù)的定義域和值域可以是空集

C.函數(shù)的定義域和值域一定是數(shù)集

D.函數(shù)的定義域和值域確定后，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也就確定了

答案：C

例2-4：下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是()

Xx<22<x<3x>3

y-101

A.{y|-l<x<l}B.RC.{y\2<x<3}D.{-1,0,1)

答案：D

例2-5：下列函數(shù)的定義域不是R的是()

A.y=x+ly=x2C.y=—D.y=2x

x

答案：c

例2-6：已知函數(shù)/(%)=/+1一1；

(1)求/(x),/H)J(a+l)；

X

(2)/S)=5,求A

答案：(1)/⑵=5J(』)=1^^,/(。+1)=。2+3。+1；

x廠

(2)8=2或-3

知識點(diǎn)3：函數(shù)的相等

只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同時，這兩個函數(shù)才相等，即是同一個

函數(shù).

例3-7：下列表示同意函數(shù)的是()

A./(x)=x,g(x)=(Vx)2B./(x)=—+1,g?)=J+1

x

c.f(x)=1,g(x)=—D./(x)=X,g(x)=|X|

答案：B

知識點(diǎn)4：區(qū)間

區(qū)間的概念：設(shè)是兩個實(shí)數(shù)，且a,beR，規(guī)定

[a,h]={x\a<x<h]={x\a<x<b}

[a,h)={x\a<x<b}={x\a<x<b}

(〃,+8)={x[%>〃},(-oo,b)={x\x<b}

(—oo,4-oo)=R.

份分別叫做閉區(qū)間、開區(qū)間；Mb),(〃向叫做半開半閉區(qū)間；。力叫做相應(yīng)區(qū)間的

端點(diǎn).

注意點(diǎn)：

(1)區(qū)間符號內(nèi)的兩個字母或數(shù)之間用“，”隔開.

(2)8讀作無窮大，它是一個符號，不是一個數(shù).

(3)開區(qū)間Qa,b)與平面上的點(diǎn)(a,b)要區(qū)分開，在讀題時注意結(jié)合上下文加以區(qū)

別.

(4)在數(shù)軸上表示區(qū)間時一，用實(shí)心點(diǎn)表示端點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，用空心點(diǎn)表示端點(diǎn)不在區(qū)間

內(nèi).

例4-8：用區(qū)間表示下列數(shù)集：

(1){x|x>l}=；

(2){x|2<%<3}=；

(3){x|x>-1且x72}=；

(4)R=；

(5){x|x<-l}n{-5<x<2}=；

(6){x|x<9}c{9<x<20}=.

答案：(1)[l,+oo)(2)(2,3](3)(-1,2)u(2,+oo)(4)(-oo,+oo)

(5)[-5,-1](6)(-oo,9)u(9,20)

例4-9：求解下列問題

（1）區(qū)間［。-1,旬關(guān)于原點(diǎn)對稱，求。及該區(qū)間.

（2）區(qū)間3,24-1］的右端點(diǎn)為3,求。及該區(qū)間.

答案：（1）?=-,區(qū)間為［-』」］;（2）a=2,區(qū)間為［2,3］.

222

例4-10：設(shè)集合S={x|(x—2)(x—3)20},T={x|x>0},則ScT=()

A.[2,3]B.(-oo,2]u[3,+oo)C.[3,+oo)D.(0,2]u[3,+oo)

答案：D

重難拓展

知識點(diǎn)5：抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

1.抽象函數(shù)的概念

沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù).

2.復(fù)合函數(shù)的概念

若函數(shù)/⑺的定義域?yàn)锳,函數(shù)”g（x）的定義域?yàn)镈,值域?yàn)镃,則當(dāng)時，稱函

數(shù)y=/（g（x））為了⑺與g（x）在D上的復(fù)合函數(shù).

3.抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的定義域

理解抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的定義域，要明確以下幾點(diǎn)：

（1）函數(shù)八力的定義域是指x的取值所組成的集合；

（2）函數(shù)/（。⑶）的定義域是指x的取值范圍，而不是@x）的范圍；

（3）f（t）,y（e（x））,7（/i（x））三個函數(shù)中的r,（p（x）,//（x）在對應(yīng)關(guān)系在/下的范圍相同;

（4）已知/（X）的定義域?yàn)锳,求了”（幻）的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知*（x）的范圍（值域）

為A,求出X的取值范圍；

(5)已知/(火x))的定義域?yàn)锽,求了⑶的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知/(e(x))中的X的取值

范圍B,求出奴X)的范圍(值域)，此范圍就是/(X)的定義域.

例5-11：下列函數(shù)中，是符合函數(shù)的是()

A.f(x)=x2+x3B.f(x)=7x+1

k0

C"(x)=f+x+￡(%為常數(shù))D./-(%)--

_______XX

答案：B

例5-12：函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),且對定義域的任意都有/(肛)=/(》)+/(丁)，如

/(2)=1,則/(4的值為()

A.-2B.-iC.-D.2

22

答案：C

題型與方法

題型L一元二次不等式的解法

例13：(多選題)下列對應(yīng)關(guān)系/是從集合A到集合B的函數(shù)的有().

A.A={1,2,3},B={7,8,9},f(l)=f(2)=7,f(3)=8

B.A=Z,B={-lzl},n為奇數(shù)時，./?(”)=-1,n為偶數(shù)時，/(〃)=1

C.A=B={1,2,3},/(x)=2x-1

D.A=B={x|x>-l},/(x)=2x+l

答案：ABD

題型2：求函數(shù)值

例14：已矢口/(x)=^—(xw—l),g(x)=x2+2.

1+x

(l)求〃2)和g(2);

(2)求g(7(2))J(g(x));

1

（3）若=4，求X.

/(g(x))

答案：(1)6(2)g(/(2))=HJ(g(尤))=J(3)x=±\

9x+3

例15：已知函數(shù)/(x)對任意正實(shí)數(shù)a,b,都有/(時)=/(〃)+/(b).

(1)求/⑴的值；

(2)若f(2)=pj(3)=q(p,q為常數(shù)),求/(36)的值.

答案：(1)/(1)=0(2)f(36)=2p+2q.

題型3：函數(shù)的定義域問題

1.已知解析式求函數(shù)的定義域:

(1)y--2x+3\(2)

x+1

(3)y=y/x-\+Vl-x;(4)

答案：(l){x|xe/?}；(2){X|XN1}(3){X|X=1}(4){X|XW±1}.

變式訓(xùn)練：函數(shù)昨的定義域?yàn)椋ǎ?

A.(-oo,0]B.(-8,一口C.(-8,-D.(-：,()]

2222

答案：C

2.求實(shí)際問題中函數(shù)的定義域

例17：如圖，用長為1的鐵絲做一個下部為矩形、上部為半圓的框架，若半圓的半徑

為x,求此框架圍成的面積y與x的函數(shù).

3.求抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的定義域

(1)已知了(幻的定義域，求/(g(x))的定義域

例18：已知函數(shù)/(x)=J-f+2x+3,則/(3x-2)的定義域?yàn)?

答案.?笠

(2)已知/(g(x))的定義域，求/a)的定義域

例19：已知的/(/一1)定義域。3],則f(x)的定義域?yàn)?

答案：卜1,8]

(3)已知f(g(x))的定義域,求加(⑼的定義域

例20：若函數(shù)〃x+l)的定義域?yàn)閇-g,2],則函數(shù)/(I)的定義域?yàn)?

答案：[|,4]

(4)求運(yùn)算型抽象函數(shù)的定義域

例21：已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇0,1],求函數(shù)8(幻=/0+〃2)+/0-m)(相>0)的定義域.

答案：當(dāng)0<m4』，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?加｝.

2

變式訓(xùn)練：設(shè)函數(shù)/“)=n,則的定義域?yàn)?).

2x

A.[-,4]B.[2,4]C.[l,+oo)D.[-,2]

24

答案：B

4.定義域的逆向問題

例22：已知函數(shù)6=，?2+心+18的定義域?yàn)椴?,6],貝Ija的值為/的值為

答案：-13

例23：已知函數(shù)丫=,-1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)攵的值為.

'k2x2+3kx+l

答案：0

題型4：函數(shù)的值域問題

1.求函數(shù)的值域

例24：求下列函數(shù)的值域

(1)y=x+l,xe{1,2,3,4,5};(2)y=x2-2X+3,XG[0,3);

2x+l

(3)y=(4)y=2x-Jx-l.

x-3

答案：(1){2,3,4,5,6}；(2)[2,6)；(3)(-oo,2)u(2,+oo)；(4)[—,+oo)

8

例25：函數(shù)\=2工+2芯+5的值域?yàn)開_____

X+X+1

答案：(2,6]

4.下列函數(shù)中值域是(0,+8)的是()

A.y=y/x24-3x4-2B.y=+xH—D.y=2x+\

.2

答案：C

2.函數(shù)值域的逆向問題

例26：已知函數(shù)》=儂：.+"的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,9］,則m的值為刀的值

x+1

為.

答案：55

易錯提醒

易錯1：求函數(shù)定義域時非等價化簡解析式致誤

例27：函數(shù)y=區(qū)的定義域?yàn)?/p>

答案：［2,+8)

易錯2：用換元法求值域時，忽略中間變量的取值范圍致錯

例28：函數(shù)y=x+J2x+1的值域?yàn)?

答案：［-；,+℃)

易錯3：誤認(rèn)為f(g(x))與/優(yōu)⑴)中“x”含義相同

例29：已知/(x+2)的定義域?yàn)椋?,2］,則/X2x+1)的定義域?yàn)?/p>

感知高考

考向1:函數(shù)的概念

例32：定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+l)=2/(x),若當(dāng)0GW1時，/(x)=x(l-x),則當(dāng)

-1WxW0時，/(%)=.

答案.x(x+l)

口木.2

考向2：函數(shù)的定義域

例33：函數(shù)y=j7+6x-d的定義域是.

答案：[-1,7]

考向3：函數(shù)值

例35：設(shè)函數(shù)/(外=/+3/+1.已矢口a。。，Kf(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,xeR,則實(shí)數(shù)

a--,b=?

答案：-21

基礎(chǔ)鞏固：

1.函數(shù)y=」一+萬工的定義域?yàn)?)

x+1

A.[0,2]B.(-00,-1)u(-1,2]C.(—oo,—l)<J(—1,2)D.(-oo,2)

2.已知函數(shù)/(尤)=x+L則”2)+/(-2)的值是()

X

A.-1B.0C.1D.2

3.下列函數(shù)，值域?yàn)?0,+8)的是()

A.y=VxB.y=-^=C.y=—

D.y=x2+1

yjXX

4.與函數(shù)y=x是同一個函數(shù)的是()

A.y=|x|B.y=V?C.y=y[x^D.y=—

X

5.函數(shù)y=2的值域是()

x-1

A.(-co,5)B.(5,+co)C.(-00,5)u(5,4-oo)D.(-oo,l)u(l,+oo)

6.若函數(shù)丁=/(3-2”)的定義域?yàn)椴?,2],則函數(shù)/(x)的定義域是()

B.[-l,2]C.[-l,5]D.[l2]

22

7.已知等腰三角形ABC的周長為10,底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系式為y=10-2x,則

此函數(shù)的定義域?yàn)?)

A.RB.{x|x>0}C.{x|0<x<5}D.{x||<x<5)

8.已知函數(shù)/*)=—二，則f(x)的值域是()

x'+2

A.(—℃>,—]B.[—,+oo)C.(0,—]D.(0,+oo)

222

能力提升

9.若函數(shù)/(x)與函數(shù)g(x)=@M是相等函數(shù)，則函數(shù)/(x)的定義域是().

X

A.(-oo,0)B.(-oo,0)u(0,1]C.(-oo,0)u(0,1)D.[l,+oo)

10.y=2)的值域?yàn)?).

C.(-00,-1]D.(-00,-1)

11.已知定義在R上函數(shù)/(X)的值域也是R,并且對任意都有/(4(y))=xy,則

"(2020)1等于().

A.0B.1C.20202D.2020

12.已知/(x)=ax2+bx+c(a>0),g(x)=/(/(%)),g(x)的值域?yàn)椋?,+oo),f(x)的值域?yàn)榛?+(?),

則實(shí)數(shù)上的最大值為().

A.0B.1C.2D.4

13.(多選題)已知集合4={幻0〈%〈2},8={川0<y<4},則下列對應(yīng)關(guān)系，能夠構(gòu)成A

為定義域，B為值域的函數(shù)的是()

A.y=2xQ.y=x2C.y=\4-2x\

D.y=x+5E.y=(x-2)2

14.已