廣西示范性高中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2024年廣西示范性高中高二3月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線：和：．若，則m的值為（）A. B.3 C.1或3 D.或3【答案】B【解析】【分析】借助直線平行的性質(zhì)計(jì)算即可得，注意檢驗(yàn)是否重合.【詳解】由，則有，即，解得或，當(dāng)時(shí)，有，，即兩直線重合，不符，故舍去，當(dāng)時(shí)，有，，符合要求，故.故選：B.2.函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.，【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定的減區(qū)間.【詳解】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；的減區(qū)間是；故選：A.3.已知橢圓，分別是橢圓C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義可求，，結(jié)合條件可求.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，則，由橢圓定義可得，，又，所以.故選：D.4.圓與圓的公切線有（）A.條 B.條 C.條 D.條【答案】C【解析】【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系，可得出結(jié)論.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，故兩圓外切，故圓與圓的公切線有條.故選：C.5.在數(shù)列中，，，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】逐項(xiàng)計(jì)算，再根據(jù)數(shù)列的周期性求解即可.【詳解】由題意，，，，，故數(shù)列滿足，故.故選：A6.如圖，平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】在平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，所以.故選：B7.設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，，都有，則的值為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為，且，所以.故選：D.8.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為.過(guò)的直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，且，則的離心率為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線定義和線段之間的倍數(shù)關(guān)系求出，，由余弦定理求出，進(jìn)而得到，得到答案.【詳解】由已知可設(shè)，則，故，由雙曲線的定義有，故，，故，在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，即，解得，即，故的離心率為2.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.函數(shù)在處取得極大值B.函數(shù)在處取得極值C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.的圖象在處的切線斜率大于零【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的圖象判斷函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性和極值、處切線斜率符號(hào)判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題圖知：上，上，所以在上遞增，上遞減，即在處取得極大值，A對(duì)；在處函數(shù)值不是極值，B錯(cuò)；在區(qū)間上單調(diào)遞減，C對(duì)；由圖知：，即在處的切線斜率小于零，D錯(cuò).故選：AC10.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.圓D的面積為 B.l過(guò)定點(diǎn)C.面積的最大值為 D.【答案】ABD【解析】【分析】將圓的方程整理成標(biāo)準(zhǔn)式，得到圓心和半徑，即可求解圓面積判斷A，直線整理成關(guān)于的方程，令其系數(shù)為0，即可得出直線過(guò)的定點(diǎn)，判斷B；由，結(jié)合弦長(zhǎng)公式與基本不等式，即可判斷C；分別求出過(guò)點(diǎn)的弦長(zhǎng)的最大值和最小值，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：圓即的圓心為，半徑，故圓D的面積為，正確；對(duì)于B：將直線整理為：，令，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，正確；對(duì)于C：定點(diǎn)到圓心的距離，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的面積的最大值為，錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦的長(zhǎng)度最小，當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，弦的長(zhǎng)度最大，所以可得，正確.故選：ABD11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面 B.與所成角的取值范圍為C.的最小值為 D.三棱錐外接球體積的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)判定選項(xiàng)；通過(guò)異面直線所成角的定義可知，與所成角即為與所成的角，在△即可確定與所成角的取值范圍；將平面和平面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，即可求出的最小值；由和外接球體積最小即可確定球心的位置，利用球的體積公式求解即可.【詳解】選項(xiàng)，連接，∵∥，平面，平面，∴∥平面，同理可得∥平面，∵，平面，平面，∴平面∥平面，平面，∴平面，則選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，連接，如下圖，∵∥，∴與所成角就是與所成的角，∵為線段上的點(diǎn)，且不包括端點(diǎn)，∴與所成的角的最大值為，，，，則，即，∴，，∴與所成的角的最小值為，但是取不到，∴與所成的角的取值范圍為，即與所成角的取值范圍為，則正確；選項(xiàng)，將平面和平面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，連接角于點(diǎn)，如下圖，此時(shí)有最小值，而≌，∴為的中點(diǎn)，∴，則錯(cuò)誤；選項(xiàng)，由已知得，作的中點(diǎn)，連接、、，∵，∴，∵三棱錐外接球體積最小，∴在處，∴，∴點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，∴，∴三棱錐外接球體積的最小值為,則正確；故選：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：找到外接球的球心，然后找到與外接球半徑有關(guān)系的方程，即可解出答案，或者建立空間直角坐標(biāo)系，找出與半徑有關(guān)的方程，建立目標(biāo)函數(shù)，求得最值即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線的準(zhǔn)線到焦點(diǎn)的距離為_(kāi)___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得的值，即可得到答案.【詳解】由題意，拋物線可化為，可得，所以拋物線的準(zhǔn)線到焦點(diǎn)的距離為.故答案為：.13.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_(kāi)____________【答案】3【解析】【詳解】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案3.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.14.已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為_(kāi)_________.【答案】2【解析】【分析】由求得切線方程，結(jié)合該切線也是的切線列方程，求得切點(diǎn)坐標(biāo)以及斜率，進(jìn)而求得直線，從而求得正確答案.【詳解】設(shè)是圖像上的一點(diǎn)，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，①，令，解得，，所以，，所以或（此時(shí)①為，，不符合題意，舍去），所以，此時(shí)①可化為，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論,再利用數(shù)列求和中的裂項(xiàng)相消法即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得，解得.故數(shù)列的通項(xiàng)公式是【小問(wèn)2詳解】由（1）知，.所以.16.已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)圓心所在直線設(shè)出圓心坐標(biāo)，結(jié)合圓過(guò)的點(diǎn)列出方程求解圓心進(jìn)而求圓的方程；（2）先求出圓心到直線的距離，再分類討論直線斜率不存在和存在兩種情況求解方程即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，所以，解得，即，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，所以到直線距離，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，所以，解得，此時(shí)直線方程為，即.綜上所述，直線的方程為或17.如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，，，分別是線段，的中點(diǎn)，平面平面．（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為線段上的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)已知可得，，再由面面垂直的性質(zhì)有，最后利用線面垂直的判定證結(jié)論；（2）由題設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，向量法求面面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】連接，四邊形是菱形，則，又，分別為，的中點(diǎn)所以，故，又為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故又，，，平面，可得平面.【小問(wèn)2詳解】，，為等邊三角形，是的中點(diǎn)，則，由（1）得平面，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，所以，由（1）得是平面的一個(gè)法向量，，即平面與平面的夾角的余弦值為．18.固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為，其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)．它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)．（1）類比正、余弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系，，，請(qǐng)寫(xiě)出，具有的類似的性質(zhì)（不需要證明）；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求的最小值．【答案】18.,19.20.0【解析】【分析】（1）求導(dǎo)即可得結(jié)論;（2）構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),并結(jié)合分類討論確定函數(shù)的最小值即可求解;（3）多次求導(dǎo)最終判斷函數(shù)單調(diào)在內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)為偶函數(shù)從而確定最小值.【小問(wèn)1詳解】求導(dǎo)易知,.【小問(wèn)2詳解】構(gòu)造函數(shù)，，由（1）可知，①當(dāng)時(shí)，由,可知，，故單調(diào)遞增，此時(shí)，故對(duì)任意，恒成立，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，令，，則，可知單調(diào)遞增，由與可知，存在唯一，使得，故當(dāng)時(shí)，，則內(nèi)單調(diào)遞減，故對(duì)任意，，即，矛盾；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【小問(wèn)3詳解】，，令，則；令，則，當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，則，令，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)?，即為偶函?shù)，故在內(nèi)單調(diào)遞減，則，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值0．19.已知橢圓C：的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、Q（異于A、B），且．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線AP、QB的斜率分別為、，且，求的值；（3）設(shè)和的面積分別為、，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，將直線的方程的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率公式分析可得；（3）利用韋達(dá)定理分析可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，由可得，解得，由離心率可求出標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】由題意可知：點(diǎn)在橢圓內(nèi)，直線與橢圓必相交，且直線的斜率可以不存在，但不