廣西壯族自治區(qū)河池市河池十校聯(lián)體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次聯(lián)考（4月）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣西壯族自治區(qū)河池市河池十校聯(lián)體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次聯(lián)考（4月）數(shù)學(xué)試題（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項:1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即可.【詳解】因為，所以，所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.1 B.-1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得到，得到，得到復(fù)數(shù).【詳解】，故，故虛部為1.故選：A3.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)在各象限的符號，與比較大小即可得解.【詳解】由為減函數(shù)可知，，即，因為，所以，由為增函數(shù)知，，即，因為，所以，所以.故選：C4.若為非零向量，則“”是“共線”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】表示與同向的單位向量，共線可能同向共線、也可能反向共線，再由充分性、必要性的定義可求出答案.【詳解】依題意為非零向量，表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，則表示與同向的單位向量，所以能推出共線，所以充分性成立；共線可能同向共線、也可能反向共線，所以共線得不出，所以必要性不成立.故選：B.5.在中，若，則的形狀一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可得邊的關(guān)系，故可得正確的選項.【詳解】因為，故，整理得到，故，故或，即或，故的形狀為等腰或直角三角形，故選：D.6.已知內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若的面積為，則為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式及余弦定理求出，得出即可得解.【詳解】由三角形面積公式可得，即，由，可得，所以.故選：A7.已知的外接圓的圓心為，且，則向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，O為的外接圓的圓心，得到是以BC為斜邊的直角三角形，再由，得到，利用投影向量的定義求解.【詳解】解：如圖所示：因為，所以O(shè)為BC的中點，又O為的外接圓的圓心，所以是以BC為斜邊的直角三角形，又因為，所以，設(shè)，則，所以向量在向量上的投影向量為，故選：B8.已知三點A，B，C共線，不共線且A在線段BC上（不含BC端點），若，則的最小值為（）A.不存在最小值 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知條件，由三點共線的充要條件可知，所以，由“乘1”法結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)，因為A在線段BC上（不含BC端點），所以由向量共線定理設(shè)，所以，由題意有，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以的最小值為.故選：D.二、多項選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是（）A.正四棱柱都是長方體B.以直角三角形的一條邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐C.兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D.平行于同一直線的兩直線平行【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正四棱柱定義判斷A，根據(jù)圓錐定義判斷B，根據(jù)特例判斷C，根據(jù)平行公理判斷D.【詳解】因為正四棱柱是底面為正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是長方體，故A正確；以直角三角形斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸時，所形成的幾何體是兩個同底的圓錐，故B錯誤;如圖所示幾何體，兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體，不是棱柱，故C錯誤；由平行關(guān)系的傳遞性可知，平行于同一直線的兩直線平行，故D正確.故選：AD10.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限C.D.是方程的一個解【答案】AD【解析】【分析】先通過復(fù)數(shù)的乘方和除法化簡得到復(fù)數(shù)z，然后逐項判斷.【詳解】因為，所以，則，故A正確；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，故B錯誤；，故C錯誤；由，得，則，故D正確；故選：AD11.如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點，是AD與BE的交點，則（）A.B.對于任意一點，都有C.對于任意一點，都有D【答案】BCD【解析】【分析】由重心的性質(zhì)及中線的向量表示可判斷A，由向量的減法及A判斷B，由向量的減法及B可判斷C，由數(shù)量積的運(yùn)算法則及相反向量可判斷D.【詳解】由題意，知為的重心，因為F是AB的中點，所以，故A錯誤；因為，所以，故B正確；由B選項可知，，所以，故C正確；因為，同理，，三式相加可得，故D正確.故選：BCD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖為矩形，已知，則四邊形ABCD的面積為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖形與其斜二測畫法圖形面積之間的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意，，由原圖形面積與斜二測畫法圖形面積之間的關(guān)系，可得.故答案為：13.某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為nmile;在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為nmile.貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東，則燈塔與處之間的距離是__________nmile.【答案】【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求得AD，再在中，利用余弦定理求解.【詳解】在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，，所以.故答案為：14.已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.已知平面點，點，把點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，則點的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合特殊角的正余弦值、向量的坐標(biāo)表示公式和向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】因為點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，所以點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，由題設(shè)，設(shè)，則有，因為點，點，所以，因此有，且，解得，即，而，于是有，所以點的坐標(biāo)為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是由點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，轉(zhuǎn)化為點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，這樣應(yīng)用題中定義進(jìn)行求解.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知平面直角坐標(biāo)系中，向量.（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；（2）若與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量平行及向量的模建立方程求解；（2）根據(jù)向量夾角為銳角建立不等式求解即可.【小問1詳解】設(shè)，由題意知，因為，所以，又因為，所以，所以或.【小問2詳解】由題意，則，當(dāng)與共線時，，因為與的夾角為銳角，所以，解得，且，所以與的夾角為銳角，實數(shù)的取值范圍為.16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求的大小;（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中，將已知條件化簡為，化簡后再根據(jù)求解；（2）由（1）結(jié)果結(jié)合已知條件，根據(jù)余弦定理求出，再利用面積公式求解.【小問1詳解】因，所以.因為，所以.因為，所以，所以由，得.因為，所以，即.【小問2詳解】由余弦定理知.因為，所以，所以，故的面積.17.如圖，在中，已知邊上的兩條中線AM，BN相交于點.（1）求AM的長度；（2）求∠MPB的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)AM是中線，由求解；（2）易知為向量的夾角，然后利用平面向量的夾角公式求解.【小問1詳解】解：因為AM是中線，所以，所以，則；【小問2詳解】由圖象知：為向量的夾角，因為，所以，，則，又，，所以，因為，所以.18.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知.（1）求的大小;（2）若為銳角三角形且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，再由三角恒等變換化簡得出，即可得解；（2）由正弦定理化為三角函數(shù)，利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的值域求解.【小問1詳解】由可得，所以，所以，由可得，即，又，所以.【小問2詳解】由正弦定理：，，又，得，；所以，故.即.19.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）討論函數(shù)零點個數(shù).【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性計算即可得；（2）當(dāng)時，等式恒成立，故為的一個零點，當(dāng)時，表示出，可借助換元法，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點與方程的關(guān)系計算即可得.【小問1詳解】的定義域為，因為，所以是奇函數(shù).因為是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，由得，即，所以，解得，即原不等式的解集為；【小問2詳解】由得，①當(dāng)，即時，等式成立，所以為的一個零點.②當(dāng)，即時，即，令，則，因，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，令，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，