河北省唐山市灤南縣第三中學高三數學理期末試題含解析

河北省唐山市灤南縣第三中學高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數）的圖象（部分）如圖所示，則的解析式是

A．

B．C．

D．參考答案：A2.已知，，向量與垂直，則實數λ的值為（）A． B． C．3 D．﹣3參考答案：C【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【專題】計算題；方程思想；定義法；平面向量及應用．【分析】先求出=（λ+1，﹣2λ），=（﹣3，﹣2），再由向量與垂直，能求出實數λ的值．【解答】解：∵，，∴=（λ+1，﹣2λ），=（﹣3，﹣2），∵向量與垂直，∴（）（）=﹣3（λ+1）+4λ=0，解得λ=3．故選：C．【點評】本題考查實數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量垂直的性質的合理運用．3.函數y=2x﹣x2的圖象大致是(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點】函數的圖象．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據函數圖象的交點的個數就是方程的解的個數，也就是y=0，圖象與x軸的交點的個數，排除BC，再取特殊值，排除D【解答】解：分別畫出函數f（x）=2x（紅色曲線）和g（x）=x2（藍色曲線）的圖象，如圖所示，由圖可知，f（x）與g（x）有3個交點，所以y=2x﹣x2=0，有3個解，即函數y=2x﹣x2的圖象與x軸由三個交點，故排除B，C，當x=﹣3時，y=2﹣3﹣（﹣3）2＜0，故排除D故選：A【點評】本題主要考查了函數圖象的問題，關鍵是理解函數圖象的交點和方程的解得個數的關系，排除是解決選擇題的常用方法，屬于中檔題4.若命題:，則對命題的否定是（

）A．

B．C．

D．參考答案：A略5.平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，M為OC的中點，若=（2，4），=（1，3），則等于（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3參考答案：C【考點】平面向量數量積的運算．

【專題】計算題；數形結合；向量法；平面向量及應用．【分析】由題意畫出圖形，利用向量的加法法則與減法法則，結合坐標運算得到的坐標，則答案可求．【解答】解：如圖，∵ABCD為平行四邊形，且AC與BD交于點O，M為OC的中點，∴，又=（1，3），∴，則=（），又=（2，4），∴=（﹣1，﹣1），則=（﹣1，﹣1）?（）=（﹣1）×（）+（﹣1）×（﹣）=3．故選：C．【點評】本題考查平面向量的數量積運算，考查了向量的加減法及數量積的坐標表示，是中檔題．6.若，滿足不等式組，且的最大值為2，則實數的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D設，當取最大值2時，有，先做出不等式對應的可行域，要使取最大值2，則說明此時為區(qū)域內使直線的截距最大，即點A在直線上，由，解得，代入直線得，，選D.7.學校高中部共有學生2000名，高中部各年級男、女生人數如下表，已知在高中部學生中隨機抽取1名學生，抽到高三年級女生的概率是0.18，現用分層抽樣的方法在高中部抽取50名學生，則應在高二年級抽取的學生人數為（）

高一級高二級高三級女生373yx男生327z340A．14B．15C．16D．17參考答案：B

考點：分層抽樣方法．專題：概率與統(tǒng)計．分析：先利用抽到高三年級學生的概率求出x，y，z．然后利用分層抽樣的定義確定高二年級應抽取的學生人數．解答：解：因為高中部學生中隨機抽取1名學生，抽到高三年級女生的概率是0.18，所以，解得x=360．所以高一人數為373+327=700，高三人數為360+340=700，所以高二人數為2000﹣700﹣700=600．所以高一，高二，高三的人數比為700：600：700=7：6：7，所以利用分層抽樣從高中部抽取50人，則應在高二抽取的人數為人．故選B．點評：本題的考點是分層抽樣的應用，比較基礎．8.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是（

）A.2

B.

C.

D.3參考答案：D由三視圖可知，原幾何體是一個四棱錐，其中底面是一個上底，下底，高分別為1，2，2的直角梯形，一條長為的側棱垂直于底面，其體積為9.已知二次函數的圖象如圖1所示,則其導函數的圖象大致形狀是（

）參考答案：B設二次函數為，由圖象可知，，對稱軸，所以，，選B.10.設向量=，=，則“”是“⊥”的（

）A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.閱讀圖的程序框圖,該程序運行后輸出的的值為

__.參考答案：略12.以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線的極坐標方程為，它與曲線（α為參數）相交于兩點A和B，則|AB|=．參考答案：考點：圓的參數方程；直線與圓相交的性質；簡單曲線的極坐標方程．3794729專題：計算題．分析：先利用直角坐標與極坐標間的關系，將極坐標方程為化成直角坐標方程，再將曲線C的參數方程化成普通方程，最后利用直角坐標方程的形式，利用垂徑定理及勾股定理，由圓的半徑r及圓心到直線的距離d，即可求出|AB|的長．解答：解：∵，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，進行化簡∴x﹣y=0相消去α可得圓的方程（x﹣1）2+（y﹣2）2=4得到圓心（1，2），半徑r=2，所以圓心（1，2）到直線的距離d==，所以|AB|=2=∴線段AB的長為故答案為：．點評：本小題主要考查圓的參數方程和直線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及利用圓的幾何性質計算圓心到直線的距等基本方法，屬于基礎題．13.已知，則的大小關系是_______．參考答案：【知識點】指數與對數；B6，B7【答案解析】解析：解：因為【思路點撥】根據各個值的取值范圍比較大小即可.14.（坐標系與參數方程選做題）已知兩曲線參數方程分別為和，它們的交點坐標為

.[來源:K]

參考答案：

本題考查參數方程與直角坐標方程的互化以及曲線交點的求法，難度中等.

兩曲線消去參數后的普通方程分別為和，聯(lián)立得，解得（舍去—5），代入中，解得，即它們的交點坐標為.15.由直線x=1，x=2，曲線及x軸所圍成的封閉圖形的面積是．參考答案：ln2【考點】定積分在求面積中的應用．【分析】先確定積分上限為2，積分下限為1，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可．【解答】解：曲線，直線x=1和x=2及x軸圍成的封閉圖形的面積=lnx|12=ln2，故答案為：ln2．16.使不等式（其中）成立的的取值范圍是

．

參考答案：略17.現有一根n節(jié)的竹竿，自上而下每節(jié)的長度依次構成等差數列，最上面一節(jié)長為

10cm，最下面的三節(jié)長度之和為114cm，第6節(jié)的長度是首節(jié)與末節(jié)長度的等比中

項，則n=

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數據如下表：（單位：人）

參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230（Ⅰ）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加一個社團的概率；（Ⅱ）在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5，3名女同學B1，B2，B3．現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）先判斷出這是一個古典概型，所以求出基本事件總數，“至少參加一個社團”事件包含的基本事件個數，從而根據古典概型的概率計算公式計算即可；（Ⅱ）先求基本事件總數，即從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，有多少中選法，這個可利用分步計數原理求解，再求出“A1被選中，而B1未被選中”事件包含的基本事件個數，這個容易求解，然后根據古典概型的概率公式計算即可．【解答】解：（Ⅰ）設“至少參加一個社團”為事件A；從45名同學中任選一名有45種選法，∴基本事件數為45；通過列表可知事件A的基本事件數為8+2+5=15；這是一個古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）從5名男同學中任選一個有5種選法，從3名女同學中任選一名有3種選法；∴從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人的選法有5×3=15，即基本事件總數為15；設“A1被選中，而B1未被選中”為事件B，顯然事件B包含的基本事件數為2；這是一個古典概型，∴．【點評】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步計數原理的應用．19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點．（1）求直線AC與PB所成角的余弦值；（2）在側面PAB內找一點N，使NE⊥平面PAC．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）設AC∩BD=O，連OE、AE，將PB平移到OE，根據異面直線所成角的定義可知∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角，在△AOE中利用余弦定理，即可求出AC與PB所成角的余弦值；（2）分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，求出A、B、C、D、P、E的坐標，設N（0，y，z），利用空間互相垂直的向量數量積為零，建立關于x、y的方程組，求出點N的坐標為（0，，1），即可得到N到AB、AP的距離分別為1和．【解答】解：（1）設AC∩BD=O，連OE、AE，則OE∥PB，∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角．在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，∴cos∠EOA==．即AC與PB所成角的余弦值為．（2）分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，則可得A（0，0，0）、B（0，，0）、C（1，，0）、D（1，0，0）、P（0，0，2）、E（，0，1），依題設N（0，y，z），則=（，﹣y，1﹣z），由于NE⊥平面PAC，∴，化簡得，可得y=，z=1因此，點N的坐標為（0，，1），從而側面PAB內存在一點N，當N到AB、AP的距離分別為1和時，NE⊥平面PAC．20.已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）圖象的一個對稱中心為（，0），且圖象上相鄰兩條對稱軸間的距離為．（1）求函數f（x）的解析式；（2）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．參考答案：【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】函數思想；轉化法；三角函數的圖像與性質．【分析】（1）由題意和三角函數圖象特點可得周期，可得ω=2，代點計算可得φ=﹣，可得解析式為f（x）=sin（2x﹣）；（2）由題意可得sin（α﹣）=，由同角三角函數基本關系可得cos（α﹣）=，代入cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）+cos（α﹣）計算可得．【解答】解：（1）∵函數f（x）=sin（ωx+φ）圖象的一個對稱中心為（，0），∴sin（ω+φ）=0，又圖象上相鄰兩條對稱軸間的距離為，∴周期T滿足T==2×，解得ω=2，∴sin（+φ）=0，結合﹣≤φ＜可得φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣）；（2）∵f（）=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=，又＜α＜，∴0＜α﹣＜，故cos（α﹣）=，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）+cos（α﹣）=+=【點評】本題考查三角函數解析式的求解和三角函數公式，屬中檔題．21.(本小題滿分16分)已知函數.

（I）求函數在區(qū)間上的最值；（II）若(其中m為常數)，且當時，設函數的3個極值點為a,b,c,且a<b<c,證明：0<2a<b<1<c，并討論函數的單調區(qū)間（用a，b，c表示單調區(qū)間）參考答案：（Ⅰ）……………2分令解得，列表：減極小值增…………………4分所以函數在上單調遞減，在上單調遞增。，所以函數的最大值為，最小值為?！?分

（Ⅱ）由題意：令

，可以得到函數在上單調遞減，在上單調遞增。…………10分因為函數的3個極值點，又從而函數的三個極值點中，有一個為，有一個小于，有一個大于1，因為3個極值點為a,b,c,且a<b<c,所以，所以故0<2a<b<1<c。…………………14分函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增。………