保險精算學(xué)-躉繳純保費

第

五

章人

壽

保

險

躉

繳

純

保

費

的

厘

定本

章

結(jié)

構(gòu)■

人

壽

保

險

躉

繳

純

保

費

厘

定

原

理■

,死

亡年

末賠

付

保

險

躉

繳

純

保

費

的

厘

定■

·死

亡即

刻賠

付

保

險

躉

繳

純

保

費

的

厘

定

遞

歸

方

程第

一

節(jié)人

壽

保

險躉

繳

純

保

費

厘

定

的

原

理人

壽

保

險

簡

介■

什么是人壽保險狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否

死亡作為保險標的的一種保險。廣

義

的

人

壽

保

險

是

以

被

保

險

人

的

壽

命

作

為保險標的的一種保險。它包括以保障期內(nèi)被

保險人死亡為標的的狹義壽險，

也包括以保

障期內(nèi)被保險人生存為標底的生存保險和兩全

保

險

。受

益

金

額

是

否

恒

定

。定額受益保險。變額受益保險保單簽約日和保障期

期始日是否同時進行■

非

延

期

保

險■延期保險保

障

標

的

的

不

同■人壽保險(狹義)生

存

保

險■兩全保險■

保障期是否有限

定

期

壽

險■

終身壽險人

壽

保

險

的

分

類人

壽

保

險

的

性

質(zhì)■保

障

的

長

期

性這使得從投保到賠付期間的投資受益(利息)成為

不容忽視的因素?！?/p>

保險賠付金額和賠付時間的不確定性人壽保險的賠付金額和賠付時間依賴于被保險人的生命狀況。被保險人的死亡時間是一個隨機變量。這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機變量，

它依賴于被保險人剩余壽命分布?！?/p>

被保障人群的大數(shù)性付，

統(tǒng)計的原理計躉

繳

純

保

費

的

厘

定■

假

定

條

件

：假定

一：

同性別、

同年齡、

同時參保的被保

險人的剩余壽命是獨立同分布的?！?/p>

假定二：被保險人的剩余壽命分布可以用經(jīng)

驗

生

命

表

進

行

擬

合

?！?/p>

假定三：保險公司可以預(yù)測將來的投資受益

(

即

預(yù)

定

利

率

)

。純

保

費

厘

定

原

理■

原則保

費

凈

均

衡

原

則■解

釋■

所謂凈均衡原則，即保費收入的期望現(xiàn)

時

值

正

好

等

于

將

來

的

保

險

賠

付

金

的

期

望

現(xiàn)

時

值

。

它

的

實

質(zhì)

是

在

統(tǒng)

計

意

義

上

的

收

支

平

衡

。

是

在

大

數(shù)

場

合

下

，

收

費

期

望

現(xiàn)

時

值

等

于

支

出

期

望

現(xiàn)

時

值主

要

險

種

的

躉

繳

純

保

費

的

厘

定■

n年期定期壽險■

終

身

壽

險■

延

期

m

年

的

終

身

壽

險

n

年

期

生

存

保

險n

年

期

兩

全

保

險■

延

期

m

年

的

n

年

期

的

兩

全

保

險■

遞

增

終

身

壽

險■

遞

減n

年

定

期

壽

險—

—

投

保

年

齡x

的

人

。—

—

人

的

極

限

年

齡—

—

保

險

金

給

付

函

數(shù)

。

——貼現(xiàn)函數(shù)。Z.

f

—保

險

給

付

金

在

保

單

生

效

時

的

現(xiàn)時值z,=b,·v,基

本

符

號(x)COb?躉

繳

純

保

費

的

厘

定■

躉繳純保費的定義在保單生效日一次性支付將來保險賠付金的

期望現(xiàn)時值■

躉繳純保費的厘定按照凈均衡原則，躉繳純保費就等于E(z,)第

二

節(jié)死

亡年

末理

賠的

死

亡

保

險的現(xiàn)

值死

亡

年

末

賠

付死亡年末賠付的含義死

亡

年

末

陪

付

是

指

如

果

被

保

險

人

在

保

障

期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險公司將

在

死

亡

事

件

發(fā)

生

的

當

年

年

末

給

予

保

險

賠

付。由

于

賠

付

時

刻

都

發(fā)

生

在

死

亡

事

件

發(fā)

生

的

當

年年

末

，

所

以

死

亡

年

末

陪

付

時

刻

是

一

個

離

散

隨被

保

險

人

簽

約

時

的

整

值

剩

余

壽

命

加

一

。

這

正好

可

以

使

用

以

整

值

年

齡

為

刻

度

的

生

命

表

所

提供

的

生

命

表

函

數(shù)

。所

以

死

亡

年

末

賠

付

方

式

是

保

險

精

算

師

在

厘

定

躉

繳

保

費

時

通

常

先

假

定

的

理

賠

方

式

。機變量，它距保單生效日的時期長度就等于假設(shè)對

于x

歲

的人

的

延

期t

年的

1年定期

的

死亡保險合同規(guī)定：

若被保險人在時段(x+t,x+t+l)(達到x+t

歲，在x+t+1

歲之前)死亡，則保險公司在死亡年末支付1元保險金.若

被

保險

人

在

其

他時

段

死

亡，

則保險公司無

支

付。

試

計

算

該

保

單的

精

算

現(xiàn)

值

。預(yù)

備

1

:

延

期t年

的

1

年

定

期

的

死

亡保

險1、

計算原理其計算原理為：死者保單對全體保單共有財產(chǎn)的分享.2、計算公式

則有平衡關(guān)系式：假設(shè)上述的延期t年的

1年定期的保單的現(xiàn)值為×l×(1+i)+1=1×死者保單對全體保單共有財產(chǎn)的分享t

年

末

的

投資積累每

人

交

的

凈

保

費死

亡

人

數(shù)初

始

人

數(shù)1

元

賠

償X+tX計

算

原

理

解

釋

：假設(shè)l=4(人),每人交0.25元，共交

0

.

2

5

×

4

=

1

.

0

0

(

元

)假

設(shè)

利

率

i=100%,

則

1

年

末

變

為0

.

25×4×(1+100%)=2(元)假設(shè)死亡率=50%,則共

亡

2人.則保險費支出=1×2=2(元)于是并

令

D?=v

*l?,

則其

中t=0

表示不延

期

.生

存

年

金

是

以

被

保

險

人

生

存

為

支

付

條

件

的

年

金

.生

存

年

金

的

精

算

原

理

是

“生

者

利”

原則

.所

謂

生

者

利

，

指生

存

者

對

共

有

財

產(chǎn)

中

死者權(quán)利部分的享有權(quán).預(yù)

備2

:

純

粹

生

存

年金

與

生

者

利

原

理(1)建模原理現(xiàn)在考慮關(guān)于x

歲的人的t年期的純粹生存年金：合同規(guī)定，如果被保險人在t年后仍存活，則保險公司在其x+t歲時支付1元.試求該年金的精算

現(xiàn)值.純

粹

生

存

年

金

的

現(xiàn)

值建

模

原

理

可以

用

如

下的

等

式

表

示

：x歲的人群的共有財產(chǎn)=該人群在(x+t)

歲時生存的人分

享

的

財

產(chǎn)

.生者

利

原

理記該年金的精算現(xiàn)值為，a

則可得O時刻此人群共繳納錢類分假設(shè)年利率為i,

現(xiàn)值因子為

t時刻還存活的人所領(lǐng)取的保險金在0時刻的現(xiàn)值●其

中。p.=1.

可見，

a是

￥1在生存概率，p、下的數(shù)學(xué)

期

望(

均

值

)

.令

D=lv*,

則1元

t

年純粹生存年金的現(xiàn)值

為進

一

步

記5.2.1

1

元

保

險

金

的

終

身

壽

險記x歲

的人

的

1元

保

險

金

的

終

身

壽

險

的

精

算

現(xiàn)

值為

A

·死亡率

9x

119x

219x

nl9xdx

dx+1dx+2

dx+n

1XX+1X+2X+3X+N

X+n+死亡數(shù)年齡A×lx=vdx+v2dx+1+

…+vn+1dx+n+

…Ax=V9x+v2119x+…+Vn+1nl9x+

…vdxV2dx+Vn+1dx+n年齡

X

X+1X+2nl9x=d?

nZ總

收

費：

AxIx死亡率死亡數(shù)nl9xd,x+nX+N

X+n+119xdx+1219xdx+29xdx各支出X+3終身壽險年末付的躉交純保費：終

身

壽

險

精

算

現(xiàn)

值

的

例

子■

例

：假

設(shè)50歲

的人投保了10000

元的終

身

壽險，保

險

費在

死

亡

年

末

支

付，

假設(shè)年利率

按3%

計算，

試根據(jù)表IV計算

其

精

算

現(xiàn)

值

.=

5

1

4

8

.

1

6

(

元

)解

：x=50,i=3%.練

習(xí)

：

變

額

保

險

金

的

終

身

壽

險假設(shè)第t年的死亡保險金為b,,

則相應(yīng)的終身壽險的精算現(xiàn)值為5

.

2

.

2

定期

壽

險年

末

付

的

躉

交

純

保

費例

：

假

設(shè)

3

0

歲的

人

投

保。

保

單

規(guī)

定

：

被

保

險

人

在

保50

。死

■

解

：

所

求

躉

繳

純

保

費

可以

看

作

保

額

2

0

0

0

元的

終

身壽險

躉

繳

純

保

費與

保

額

1

0

0

0

元

的

5

年

定

期

壽

險

躉

繳

純

保費的

差

額。

則

，·所求躉繳純保費=2000

A?o-10004305保

費1

0

0純付繳給躉，其時求亡元內(nèi)0年給

付

2

0險

開

始=622.095.2.3

延

期

的

終

身

壽

險5.2.4

n年

生

死

兩

全

保

險它是指被保險人于保險期內(nèi)死亡，或生存到期終

時，都支付給付金的一種保險形式。例

：假

設(shè)

2

0

年生

死

兩

全

保

險的

保

額

為

1

00

0

元

，

試

求

其

在

2

0

歲

簽

發(fā)

保

單

的

躉

繳

純

保

費

?！?/p>

解：所求躉繳純保費=1000A

20:20|=561.18壽險的累積費用，是期末生存者為亡故者提供的

壽險保險金支出的累計終值.設(shè)投保年齡

為

x,險

種

為

n年定期壽

險

，保

險

金為

1

,

該保

險

的

累積

費

用

為

S,5.2.5

壽

險

的

累

積

費

用X+1

X+2

X+3

X+n-1

X+Ndx+n-1

dx+?(1+i)n-2

dx(1+i)n-1S×lx+n=d(1+i)”-1+d+(1+i)”-2