解析幾何-呂林根-許子道-第四版-課后習(xí)題解答

解析幾何_呂林根許子道一第四版一課后習(xí)題解答

第一章矢量與坐標(biāo)

§1.1矢量的概念

1.下列情形中的矢量終點(diǎn)各構(gòu)成什么圖形？

(1)把空間中切單位矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)；

(2)把平行于某一平面的一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn);

(3)把平行于某一直線的一切矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)；

(4)把平行于某一直線的一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn).

［解］:(1)單位球面；(2)單位圓

(3)直線；(4)相距為2的兩點(diǎn)

2.設(shè)點(diǎn)。是正六邊形ABCDEF的中心，

在矢量豆、OB.OC.OD0E.

OF,而、BC,CDDE,'EF

、

和市中，哪些矢量是相等的？

［解］:如圖1-1,在正六邊形ABCDEF中,

相等的矢量對是：

次和后R麗和直加和贏;赤和瓦;赤和瓦.

3.設(shè)在平面上給了一個四邊形ABCD,點(diǎn)K、L、M.N分別是邊/反BQCD.

。/的中點(diǎn)，求證：KL=NM.當(dāng)ABCD是空間四邊形時，這等式是否也成立?

：

［證明］:如圖1-2,連結(jié)AC,貝I」在ABAC中，KL=-AC.應(yīng)與通方向相同：在ADAC

2

1--------—?

中，NM2一AC.NM與AC方向相同，從而

2

..*

KL=NM且KL與NM方向相同，所以KL=

NM.

4.如圖1-3,設(shè)A8CD-EFGH是一個平行六面體,

在下列各對矢量中，找出相等的矢量和互為相

反矢量的矢量：

(1)AB,CD;(2)AE,CG-(3)AC.

EG;

(4)AD.GF;(5)CH.

［解］:相等的矢量對是(2)、(3)和(5)；

互為反矢量的矢量對是(1)和(4)。

§1.2矢量的加法

1.要使下列各式成立，矢量3反應(yīng)滿足什么條件?

(1)+/?|=\a—q;(2)卜+外二限+H；

(3),+%；(4)p-S|=|a|+1&|;

⑸p-h|=|a|-|b|.

[解]：(1)ZB所在的直線垂直時有口+q=口一可；

(2)同向時有卜+q=/|+|斗

(3)|a|>%,且a,】反向時有卜+4=H—%；

(4)反向時有?一耳=”+,；

(5)同向，且H?w時有k一q="-%?

§1.3數(shù)量乘矢量

1試解下列各題.

T—>->—?

(1)化簡(x-y)?(〃一/?)一(x+y)?(〃―/?).

TTTTTTT—>T—>—>TTT

(2)已知。=G+2^2-63，=3et-2e2+2e3,求。+》，。一。和3。+2/7.

—>—>->

⑶從矢量方程組|3：+41=:,解出矢量y_

2x-3y=b

解(1)

—>—>—>—>—>—>

(工一丁)?(Q_一(x+y)?(〃-b)=xa-Vxb-ya-yh-xa-\-xh-ya-k-yh=2xb-2ya

—TT—>——>—>—>

(2)〃+h=el+2e2—e3+3el—2e2-^2e3=4e1+e3,

TTTT—>—>—>—>TTT

a—b=6]+20—q—(3q—2/+2q)=-2,+4e2—3q,

T—>—>—?T

3ci—2b=3(G+2g—內(nèi))—2(36]—2e,+2《3)=—3G+10e,一7e§.

—>―)—>—>—>—>—>—>—,

2已知四邊形A8C。中，AB=a-2c,CD=5a+6b-8c,對角線AC、80的中

點(diǎn)分別為E、F,求EF.

—>171T]-?—>—>1—>—>

解EF=—C￡>+—A8=—(5a+6Z?-8c)+—(a—2c)=3a+3b—5c.

2222

3設(shè)48=a+5b,BC=-2a+Sb,CD=3(a—b),證明：A、B、。三點(diǎn)共線.

證明BD=BC+CD=-2a+Sb+3(a—h)=a+5b=AB

.?.A%與5方共線，又?；B為公共點(diǎn),從而A、B、。三點(diǎn)共線.

4在四邊形A8CO中，AB=a+2h,BC=-4a-b,CO=—5a—3b,證明ABC。

為梯形.

—?—?—>—?—?—>TT—>—>—>—>—?

證明：4。=AB+BC+CD=(?+2Z?)+(-4?-fe)+(5a-3>b}=2(-4a-b)=2BC

T—>

AAD//BC,...ABC。為梯形.

6.設(shè)L、、N分別是AABC的三邊BC、AB的中點(diǎn)，證明：三中線矢量瓦

MCA./~BM

麗可以構(gòu)成一個三角形.

--*1------

［證明］:vAL=-(AB+AC)

BM=^(BA+~BC)

CW=1(C4+CB)

..,I..,...

/.AL+BM+CN=-(AB+AC+BA+BC+CA+CB)=0

從而三中線矢量而，麗，麗構(gòu)成一個三角形。

7.設(shè)L、M、N是△ABC的三邊的中點(diǎn)，。是任意一點(diǎn)，證明

----.----...

OA+OB+OC=OL+OM+0N.

［證明］?.?況=瓦+萬

OB^OM+MB

OC^ON+NC

s.^+OB+OC=OL+OM+0N+(LA+MB+NC)

=OL+OM+ON-(AL+BM+CN)

由上題結(jié)論知：AL+'BM+CN

.-.OA+OB+0C=OL+OM+0N

8.如圖L5,設(shè)M是平行四邊形ABCD的中心，。是任意一點(diǎn)，證明

OA+OB+OC+OD=4而.

［證明］:因?yàn)辂?

1----------

-(OA+OC)f0M=

;(而+而),

所以2=

^(OA+TyB+OC+OD)

所以

圖1-5

OA+OB+OC+OD

9在平行六面體ABCDEFGH(參看第一節(jié)第4題圖)中，證明

AC+AF+AH=2AG.

T—>TT―>TTTT

證明AC+AF+AH=AC+AF+AD+DH=AC+AF+FG+CG=2AG.

10.用矢量法證明梯形兩腰中點(diǎn)連續(xù)平行于上、下兩底邊且等于它們長度和的一半.

證明已知梯形A8CO,兩腰中點(diǎn)分別為M、N,連接AN、BN.

—>—>TT—>—>

MN=MA+AN=MA+AD+DN,

—>—>—>—>—>—?—>—>—>

MN=MB+BN=MB+BC+CN,；.MN=AD+BC,即

—>1—>—>

MN=—(AD+BC),故MN平行且等于一(AO+BC).

22

11.用矢量法證明，平行四邊行的對角線互相平分.

［證明］:如圖1-4,在平行四邊形ABCD中，。是對角線AC,BD的交點(diǎn)

AD=OD-OA

BC=OC—OB

但AD=BC

:.OD-OA=OC-OB

OA+OC=OD+OB

由于（況+無）〃/，（麗+而）〃麗，而衣不平行于麗,

/.OA+OC=OD+OB=0,

從而OA=OC,OB=OD?

12.設(shè)點(diǎn)。是平面上正多邊形44…A,的中心，證明:

［證明］:因?yàn)?/p>

。4+OAy—AOA2,

就+兩=2兩,

OA,I+OAl=WAn,

OAn+OA2=AOAt,

所以2(兩+兩+…+西)

=A(OAt+OA2+…+。4”)，

所以(2-2)(兩+兩+…+西)=6.

顯然XW2,即A—2^0.

所以O(shè)A]+OA2+…+OA“=6.

13.在12題的條件下，設(shè)P是任意點(diǎn)，證明：P4+融2+…+PA,,=〃P。

證明：?.?兩+兩+…+西=6

.?.（西-而）+（兩_網(wǎng)+…+（兩_網(wǎng)=6

即兩+兩+…+兩=屈

§1.4矢量的線性關(guān)系與矢量的分解

1.在平行四邊形ABCD中，

（1）設(shè)對角線屹=3,訪=2,求薪，死，而，方工

解：A8=——{h—a^,BC=—+CD=—{h—u^,DA——gb+a）.設(shè)邊BC和CD的

（2）中點(diǎn)M和N,且AM=P,AN=q求BC,CD。

解：元=g（Z—耳加=2祓=2（g&—同一下）=1一3萬

CD=2CN=2(AN—AC)=21—+q+=q+p

2.在平行六面體ABCD-EFGH中，設(shè)AB=e”AO=三個

面上對角線矢量設(shè)為AC=p,AH=q,AF=廠，試把矢量a=2p+〃q+7廠寫成e1*2,63

的線性組合。

證明：AC=p—e2—et,AH—q—e3—e2,

AF=r-e3-ex,

a=AAC+〃而+/AF

=-(A+/>,+(2-4L+口+/)e3

----*---?

3.設(shè)一直線上三點(diǎn)AB,P滿足AP=2尸B（加一1）,0是空間任意一點(diǎn)，求證:

-OA+AOB

0P=---------

1+丸

［證明］:如圖1-7,因?yàn)?/p>

~AP=OP-'OAt

PB=OB~OPf

所以0P—04=2(03_0P),

(1+A)OP^OA+AOB,

圖1-7

UK二°A+7°B

從而OP=-----------.

1+A

4.在AABC中，設(shè)AB=e1,ACe2.

⑴設(shè)。、E是邊BC三等分點(diǎn)，將矢量而，族分解為［，1的線性組合;

（2）設(shè)AT是角A的平分線（它與8c交于T點(diǎn)），將A7分解為％,62的線性組合

1—-1

解：(1)8C=AC-48=02-,80=-BC=-

33

—>■—*,—>■]—*—?]-*21->—>2—(■1-,1

AD=AB4-BD=—e2+——et=—el+—e2，同理AE*=—e2+.6

(2)因?yàn)橐?國，且而與花方向相同，所以而=國元.由上題結(jié)論有

\TC\|^|\e21

一\2\-

+一^~的—?一——

衍=町一=Hlq+lgje?

.Ie.IIe.I+Ie,I

Ie21

5.在四面體0ABe中，設(shè)點(diǎn)G是A4BC的重心（三中線之交點(diǎn)），求矢量0G對于矢量

0A,,08,0C的分解式。

解：:G是A4BC的重心。.?.連接AG并延長與BC交于P

.??私那+詞不評號?凈+祠=凈+就

同理前=1血+前辰同

3、=g?+

.-.0G=O4+AG=0A+-(AB+BC)(1)

—■—,—,—,1/—,—

0G=08+BG=08+-8A+8C(2)

3、'

0G=0C+CG=OC+1(CA+CB)(3)

由(1)(2)(3)得

—■—,—■—,1,—■—,—■、1[■—■—,—,

30G^0A+0B+0C+-(AB+AC+BA)+-\BC+CA+CB

33、

=OA+OB+OC

即為」向+為+而

3、

6.用矢量法證明以下各題

（1）三角形三中線共點(diǎn)

證明：設(shè)BC,CA,AB中點(diǎn)分別為L,M,N。AL與BM交于巴，AL于CN交于鳥

BM于CN交于鳥，取空間任一點(diǎn)0,則A

,“■?,,J,,I■■?,

OP.=0B+BP\^0B+-BM^0B+-\BA+BC

''33'

—,1/—,—,—?-1(—,—,—,

0B+-\pA-0B+0C-0B]^-\QA+0B+0C

3',3、

同理砥^-^A+OB+OC]

(O4+0B+0C)

OP?

3

.??6，鳥,鳥三點(diǎn)重合

三角形三中線共點(diǎn)(圖2)

(第3頁)

7.已知矢量"3不共線，問％=2々一各與1=3^—2歸是否線性相關(guān)？

證明：設(shè)存在不全為。的，使得工+〃)=0

即A(2?-^)+&(-/l-2z/)=0=>a(2A-3//)+&(-/l-2//)=0

故由已知35不共線得{生圖=>{g與假設(shè)矛盾，故不存在不全為0的;1,〃，使得

4c+//d=0成立。所以c,d線性無關(guān)。

—

8,證明三個矢量Q——G+3e2+2e3,b=4弓6e2+2e3,c——3ex+12e2+11e3共面，

其中］能否用線性表示？如能表示，寫出線性表示關(guān)系式.

［證明］:由于矢量［不共面，即它們線性無關(guān).

考慮表達(dá)式Aa+jub+vc=6,即

.?—*—?~?—*?.—?

A.(-ex+3e2+2e3)+//(4el~6e2+2e3)+v(-3^+12e2+lle3)=0,

或(一2+4〃-3v)~ex+(32-6/z+12v)+(22+2/z+llv)］=G.

由于q,e，/線性無關(guān)，故有

一2+4〃—3v=0,

<3A-6//+12v=0,

22+2//+llv=0.

解得2=—10,//=—1,v=2.

由于4=-10M,所以2能用線性表示

9.證明三個矢量一44〃〃一UC,be-共面。

證明:,/(Aci—〃/?)+{^ub—uc)+[ye-4a)=0

三個矢量線性相關(guān)，從而三個矢量共面。

OC-OB=A(OA-OB),

所以~BC=^BA,

從而~BCH~BA.

故A,B,C三點(diǎn)共線.

§1.5標(biāo)架與坐標(biāo)

3.在空間直角坐標(biāo)系下，求P(2,—3,—1),M(a,b,c)關(guān)于

⑴坐標(biāo)平面；(2)坐標(biāo)軸；⑶坐標(biāo)原點(diǎn)的各個對稱點(diǎn)的坐標(biāo).

［解］:M(a,b,c)關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b,—c),

M(a,b,c)關(guān)于yOz平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(一a,b,c),

M(a,b,c)關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,—b,c),

M(a,b,c)關(guān)于x軸平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,—b,—c),

M(a,b,c)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(一a,b,—c),

M(a,b,c)關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(一a,—b,c).

類似考慮P⑵-3,—1)即可.

8.已知矢量Z,b,2的分量如下：

(1)a={0,-1,2},3={0,2,-4},Z={1,2,—1}；

(2)a={1,2,3},b={2,-1,0},c=。5,6}.

試判別它們是否共面？能否將［表成"，3的線性組合？若能表示，寫出表示式.

0-12

［解上⑴因?yàn)?2-4=0,所以九工三矢量共面，

12-1

又因?yàn)?，B的對應(yīng)坐標(biāo)成比例，即"〃3,但

故不能將Z表成"，B的線性組合.

123

(2)因?yàn)?—10=0,所以a,b,c二矢量共面.

056

又因?yàn)閍,5的對應(yīng)坐標(biāo)不成比例，即

故可以將2表成3的線性組合.

設(shè)%=解+癡,亦即{0,5,6}=4{1,2,3}+〃{2,-1,0)

從而

，+2〃=0,

"2"〃=0,

3A=6.

解得4=2,〃=—1,

所以c=2a-b.

7.已知A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)如下：

（1）在標(biāo)架下，A（0,l）,B（2,-2）,C（-2,4）.

（2）在標(biāo)架下，A（0,l,0）,B（-l,0,-2）,C（-2,3,4）

判別它們是否共線？若共線，寫出瓦和元的線形關(guān)系式.

解：（1）因?yàn)椴?（2,-3）,n=（-2,3）

所以A6=-AC共線

（2）={-1-1-2},AC={-2,2,4）

設(shè)瓶=4元，但；I不存在

所以A,8,C不共線.

，+2〃=0"

得，24-〃=5所以，一.

?.u—

34=6

9.已知線段AB被點(diǎn)C（2,0,2）和D（5,-2,0）三等分，試求這個線段兩端點(diǎn)A與B的坐標(biāo).

答A（-l,2,4）,B（8,-4,2）.

10.證明：四面體每一個頂點(diǎn)與對面重心所連的線段共點(diǎn)，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對面

重心距離的三倍.用四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)把交點(diǎn)坐標(biāo)表示出來.

［證明］:設(shè)四面體Ai/A/4A對面重心為G,,欲證AG交于一點(diǎn)(i=l,2,3,4).

在4G,?上取一點(diǎn)Pi，使AP=3PG,,從而OP,=,

設(shè)Ai(xhyhZi)(i=l,2,3,4),則

(x+x,+x%+%+北Z2+Z3+Q)

邑［一23-4，—3—，3>

<?/xl+x3+x4yi+%+y4Z1+Z3+Z4)

+X2+X41+%+〉4&+Z2+Z4I

乳一§—，—33—)

fx,+x2+x3%+%+%Z1+Z2+Z3)

641353/

所以

q+3.J+q+Q

1+31+3

=.（.+々+匕+%一+%+）'3+XZ|+Z?+Z3+z4

4'4，4

同理得P2三P3三P產(chǎn)2,所以AG,交于■■點(diǎn)P,且這點(diǎn)到頂點(diǎn)距離等于這點(diǎn)到對面重心距離的三

倍.

§1.6矢量在軸上的射影

1.已知矢量而與單位矢量之的夾角為150°,且口目=10,求射影矢量;而與射影;而,

又如果3求射影矢量7而與射影7瓦.

［解］射影［而=［而JcosN(工，而)=10.COS15(T=—5JJ,

射影矢量:標(biāo)=-5有工

7=-工,Z(r,A5)=180"-Z(e,AB)=30°

射影7而=|Q|cosZ(7,AB)=lO.COS3Q°=573,

射影矢量7而=5/7

2試證明：射影/(丸。］+幾4+…+4)?！?=九射影/q+4射影q

+…+4射影\an.

［證明］:用數(shù)學(xué)歸納法來證.

當(dāng)。=2時，有

射影乂兒,。1+幾2〃2)=射影/(44］)+射影/()=九射影+“2射影/生,

假設(shè)當(dāng)"=k時等式成立，即有

射影/(4%+…+4%)=心射影嗎+…+兒射影iak.

欲證當(dāng)n=k+l時亦然.事實(shí)上

射影/(4%+…+4%+4+11)

=射影/［(44H--F4q)+4+ak+i］

=射影/(4“1—F44)+射影/(4+］4+)

=〃射影M+…+4射影q+&娼射影/4+

故等式對自然數(shù)〃成立.

§1.7兩矢量的數(shù)性積

1.證明：

(1)矢量a垂直于矢量(ab)c-(ac)b；

(2)在平面上如果見族而2，且萬?沱=B?和(=1,2),則有Z=B.

證明：(1);a.［(aZ)c］-(ac)B=a(〃B)c-a(〃c)另

=(ab)ac一(ac)ab=0

矢量a垂直于矢量(ab)c-(ac)b.

(2)因?yàn)榉?鞏，所以，對該平面上任意矢量e=4鞏+//電,

(a-b\c=(a-b)(4叫+〃玩?)

=4而I(Q-b)+//麗2(。一。)

=2(aih［-bm［)+//(am2-bm2)=0,

故(〃一B)±c.

由c的任意性知a—b=6.

從而a=h.

2.已知矢量工石互相垂直，矢量"與的夾角都是60°，且口=1，W=2,@=3計(jì)算:

(l)(a+B)2;(2)(a+b)(a—b);(3)(3a—2^).(^—3c);(4)(a+26—c)2

［解］:

(l)(a+/?)2—a+2a.b+b=l+2x0+2~=5;

(2)(〃+1)(。一B)=a+至=1-22=-3;

(3)(3〃-2h).(b-3c)=3aZ-2h-9a.e+6h.c

7

=-8-9x3.cos60+6x2x3cos60°=——;

2

(4)(〃4-2^-c)2-a+4aB-2ac-4hc+筋+c2

=1-2X3COS60°-4X2X3COS600+4X22+32=11

3.計(jì)算下列各題.

.—*.—?,■?—?*?—*—*—?—?

(1)已知等邊△ABC的邊長為1,且6C=a,CA=h,48=C1，求a〃+bc+ca；

(2)已知a,b,c兩兩垂直，且卜卜1,河=2,卜卜3,求r=a+B+c的長和它與a,B,c的夾

角.

(3)已知3+3B與72-53垂直，求Z］的夾角.

⑷已知14=2,忖=5,/4，p=3a-b,q=/U+17/?.問系數(shù)4取何值時

p與q垂直？

解⑴:,卜忖=卜卜1,，aB+Bc+ca="-05120°+|^|-|c|-cosl20°

+卜cos120°=--

⑵丁a_LB_Lc,且,卜1,W=2,卜卜3.

設(shè)廠=〃+3+。=i+2j+31???卜卜+2?+3?=V14

設(shè)廠與％的夾角分別為a，B，y.

,1V14.2V1433V14

V1414V147V1414

.V14?V143V14

.?a=arccos-----,p=arccos------,y=arccos--------.

14714

—?—?—?-o—?—?—?o

(3)(a+3b)-(Ja-5b)=0,即7a+16出?-15a=0(1)

(a-4h)-(Ja-2b)=0,即7/-30法+8片=0⑵

(1)一(2)得：2ab=h(1)x8+(2)x5得：2a-b=a

_-7綱2j

/.|a|=|fe|；.cosN(a,b)=口=2.=耳/.cosZ.(a,b)=-y

(4)ab=卜"WcosN(〃[)=2x5x(-；)=-5

p-q=(3a—Z?)-(2a+17fe)=32|a|+51aZ>—2a-/>—17|/?|=-680+174=0

,4=40

(8)頁后

4.用矢量法證明以下各題：

(1)三角形的余弦定理a2=b2+c2-2bccosA-,

(2)三角形各邊的垂直平分線共點(diǎn)且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距.

?—?.-*-?

證明：(1)如圖1-21,ZkABC中，設(shè)AC=6,AB=c,8C=a,

且|I|=a,|B|=b,|c|=c.則.=彼一c,

a2=(b-c)2—b2+c2—2bc=b2+c2—2\b||c|cos)4.

此即a2=b2+c2—IbccosA.

(2)如圖1-22,設(shè)AB,BC邊的垂直平分線PD,

PE相交于8

D,E,F為AB,BC。的中點(diǎn)，設(shè)方=5,~PB=b,

正=乙則初="3,BC=c-b,CA

—?f.1—*—

=a-c,PD=—(a+b),

―?1-ADB

PE=-(c+b).圖1-12

因?yàn)閪PDVAB,PE1BC,

所以^(a+b)(b—a)=^(h2—a2)=0,

~(b+c)(c-b)=-(c2-b2)=0,

從而有a2=h2=c2,即\a\2=\b|2=|c|2,

所以|(c+5)(a-c)=1(a2-c2)=0,

所以PF1CA,且|Z|=|B|=|c|.

故三角形各邊的垂直平分線共點(diǎn)且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距.

5已知平行四邊形以A={1,2,-1},b={1,-2,1)為兩邊

(1)求它的邊長和內(nèi)角(2)求它的兩對角線的長和夾角

解：⑴|tz|=5/2?+1+1=V6,|&|=Jl+2?+1=V6

ah1八1”,1

cos6-I1=--：.8=arccos一或乃一arccos—

□W666

(2)|c||=|a+ft|=A/10,|c2|=|a-h|=V14.

6已知△ABC的三頂點(diǎn)A(0,0,3),B(4,0,0),C(0,8,-3)

試求：(1)△三邊長(2)△三內(nèi)角(3)三中線長(4)角A的角平分線矢量而

(中點(diǎn)在8c邊上)，并求通的方向余弦和單位矢量

解：⑴而=(4,0,-3),AC=(0,8,-6),就=(-4,8,3)

.?.西=5,|砌=10,周=病

小、ABBC99

(2)cosNA=1_1_二一ZA-arccos——

\AB\-\BC\2525

“ACBC41V89

cosZC=?____=---------

|AC|-|BC|445

.41V89

??ZC=arccos---------

445

小BABC7刷.“7789

cosNB=?「=-----------??ZB=arccos-------

|BC|-|BC|445445

...QI.IJ[6]

⑶AD.=AB+BD}=⑵4,--)\AD]\=

BD^=BA+AD^=(-4,4,0).?.恒|=48

ABADACAD.~A~T\8842

(4)cos0-AD-{—,一,—4)cosa--7=

|AB|.|AD|'M-R33V17

設(shè)它的單位矢量為

30-1

{a,h,c},S.a2+b2+c2=12-43=2V=MB(a,b,c}=

-1-22

2____2_-3

而FF

§1.8兩矢量的失性

1.已知卜|=1,W=5,a=3.試求：⑴卜⑵[(a+B)x(a-B)]

⑶[(a-2B)x(B-2a)]

解:⑴sinZ(a,b)-Jl-cos^a》)=4

5

sinN(a,6)=4.

⑵原式=[(a+b)xa-(a+b)xb^^(-2axb)2=《Zx可？=64.

(3)原式=[ax加一2AxB-ax2a+4^xa]-=(-3axfe)2=9x42=144

2.證明：

(1)(axb)2^a2b2,并說明在什么情形下等號成立.

(2)如果a+B+c=6,那么axB=Bxc=cxa,并說明它的幾何意義.

—?—?—??—?—?―?■■?—??—?-?

(3)如果QX/?=cxd,〃xc=/?xd.那么a—d與b—c共線.

—?.?—?—?.—?—?—?—?—?—?

(4)如果a=pxn,b=qxn,c=rxn,那么，a,b,c共面

證明：(1)(axb)2=\axb\2=\a\2\b|2sin2Z(2,^)

\2\b\2=a2b2.

要使等號成立,必須sid/S)=1,從而sin/(a,B)=l,

故N(",B)=三，即當(dāng)時，等號成立.

2

(2)由有(6Z+6+C)XC=6xe=6,但CXC=6,

于是axc+bxc=6,

所以bxc=cxa.

同理由(〃+B+c)x〃=0,有cxa=axb,

從而axb=bxc=cxa.

其幾何意義是以三角形的任二邊為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的面積相等.

—?**-?—?**―*—>-—*

(3)(a-d)x(b-c)=axd-axc-bxd-^-dxc

―>—?―—?—>—?—?—?—*—?—*—?

二cxd-bxd+bxd-cxd=0:.a-d與b-c共線.

(4)(axb)c=(px〃)x(qx〃)?("〃)=q-(px〃)q?〃卜(rx〃)=0

—?—*—*-*—*—?—?—?—?—?-?—*

-(pxn)-q-n-(rxn)-0(axb)c-O.，.a,仇c共面

3.如果非零矢量4(j=l,2,3)滿足「=4Xq,r2=r3xrt,r3=rtXr2,那么八，丹，乃是彼此

垂直的單位矢量，并且按這次序構(gòu)成右手系.‘

［證明］：由矢性積的定義易知彳,^,己彼此垂直，且構(gòu)成右手系.

下證它們均為單位矢量.一

因?yàn)閞i=r2Xr3>弓=4乂小

所以141=1々1匕1,匕l(fā)=MI,I，

所以i￡i=iRF/1.c

由于I￡|HO,從而"|2=1，|￡|/、

=1-__/

同理可證1%1=1,"1=1./\

從而r}fr2,r3都是單位矢量.</----------

,一r1一r1,、圖1T3

4.已知:a={2,—3,1},b={1,—2,3},求

與7花都垂直，且滿足下列條件的矢量2:(1)2為單位矢量(2)A3=10,其

中"={21,一7}.解：⑴設(shè)c={x,y,z}?,二

cLa.cLb,c-b=x-2y-^-3z=0(1)/.

c-a=2x-3y+z=0(2)x2+y2+z2=1(3)山⑴，(2),(3)得:

-、7也y/3行

c=<------,—,—>

|15315

⑵設(shè)c={x,y,z}.：c-2=102x+y-7z=10(4)由⑴，⑵，(4)得:

2551

16'6’6r

5.在直角坐標(biāo)系內(nèi)已知三點(diǎn)4(5』,—1),8(0,—4,3),C(l,-3,7)，試求：

⑴三角形ABC的面積⑵三角形ABC的三條高的長.

解：⑴而=(-5,-5,4)Xc=(-4,-4,8),瑟=(1,1,4)

ABACSABC=!|^|-|^l,Sin/l=12^'

cosNAvnsinA=一

MW~6~6

(2)|AB|=>/66,|AC|='796,|BC|=V18.C%=8^^,h2=2也,%=8.

6.已知：a={2,3,1},B={5,6,4},試求：(1)以￡1為邊的平行四

邊形的面積.⑵這平行四邊形的兩條高的長.

A

解：⑴S=|a|B|.sinN(a,B)；cosN(a,B)=.￡=16sjnZ(a,b)=2/HZ/,

1111WW7777

S=3A/6

⑵同=屈慟=阮..…后=率為=j=2^1.

7.用矢量方法證明：

(1)三角形的正弦定理

cib_c

sinAsinBsinC

(2)三角形面枳的海倫(Heron)公式，即三斜求枳公式：

/^=p(p-a)(p-b)(p-c).

式中p=；(a+b+c)是三角形的半周長，A為三角形的面積.

*■*

[證明]:(1)如圖1-13,在△48C中，設(shè)8C=a,CA=b,AB=c,

且Ia|=o,IBI=b,IcI=c,貝1」Q+B+C=O,

—?~?——*-*—*

從而有bxc=cxa=axb,

所以\bxc\=\cxa\=\axb\,

bcs\nA=cas\nB=abs\nC/

十口ahc

于是--=--=-——.

sinAsinBsinC

(2)同上題圖，△A8C的面積為

1—

△=一|axbI,

2

所以^=—(axb)2.

4

因?yàn)?axb)2+(ab)2=a2b2,

所以^=-[22b2-(ab)2].

4

—?—*—?—?

由于a+b+c=0,

22

從而a+b=—c9(a+b)=c,

所以ab=—(c2—a2—b2)=—(c2—a2—b2)

22z

故有A2=-[a2b2--(c2-a2-b2)2]

44

--[2ab-(c2~a2-b2)][2ab+(c2-a2~b2)]

16

=^-[[a+b)2-c2][c2-(a-b)2]

16

=—(a+b+c)(a+b—c)(c+a—b)(c-a+b)

16

=--2p{2p-2c)(2p-2b){2p-2a).

Io

所以^=p(p-a)(p-b)(p-c),

或p(p-a)(p-b)(p-c).

§1.9三矢量的混合積

i.設(shè)Z3,1為三個非零矢量，證明

⑶(a,b,c+Aa+jub)=(afb,c);

⑷(Q+Z?,b+c,c+a)=2(a,b,c).

[證明]:⑴左端=(QXBMC+九。+海)

=(axh)'c+(axb)(ka)+(axb)(\ih)

=(axb)c+A,(axh\a+|i(axb)b

=(ahc)+X(aba)+|i(abb)

=(abc)=右端.

(2)左端=[(B+c)x(c+〃)卜(〃+B)

=[hxc+hxa+cxa](a+h)

———*—————*■>*——*

=(Z?XC)-6Z+(/?X6Z)-?+(CX?)-?+(/?XC)-/?+(fox?)?/?+(CX6Z)?/?

二(Bca)+(caB)=2(abc)=右端.

2.設(shè)徑矢OA=G，OB=r2,OC=r3,證明R=(qx弓)+(弓Xq)+(qX斗)

垂直于48c平面.

[證明]:由于AB?R=(q-八)?[&XR2)+(GXG)+(GX()]

>—?..?9>?—?—?.—>..—?.—?

=(。244)+億4口)+(々-3八)一(八?！?-(?！┥?一(八")

=(八，2,3)一(八鵬)=0，

所以