考向51 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題（新高考地區(qū)專用）

考向51變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例1．（2020·全國(guó)·高考真題（理））某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10°C至40°C之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.【詳解】由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點(diǎn)圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.2．（2020·海南·高考真題）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：3218468123710（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）有.【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；（3）計(jì)算出，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計(jì)641680101020合計(jì)7426100（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題.1.回歸分析問題的類型及解題方法(1)求回歸方程①根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量是否線性相關(guān)，如不是，應(yīng)通過換元構(gòu)造線性相關(guān)．②利用公式，求出回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^)).③待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^)).(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(3)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)，決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^)).(4)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．2.在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng).3.解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表：(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)計(jì)算χ2；(3)通過比較χ2與臨界值的大小關(guān)系來作統(tǒng)計(jì)推斷.1．變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．(2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．2．兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中，.(3)通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法．(4)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．3．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表設(shè)X，Y為兩個(gè)變量，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)如下：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2(也可表示為χ2)的觀測(cè)值k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．【常用結(jié)論】(1)求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)a^，b^，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)(x－，y－)．(2)根據(jù)K2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若K2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大．(3)根據(jù)回歸方程計(jì)算的b^值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值．1．（2020·新疆·克拉瑪依市教育研究所三模（理））已知某種商品的廣告費(fèi)支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：245683040506070根據(jù)上表可得回歸方程為，計(jì)算得，則當(dāng)投入10萬元廣告費(fèi)時(shí)，銷售額的預(yù)報(bào)值為（）A．75萬元 B．85萬元 C．95萬元 D．105萬元2．（2018·河北衡水中學(xué)一模（理））如圖，5個(gè)數(shù)據(jù)，去掉后，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．相關(guān)系數(shù)r變大 B．殘差平方和變大C．R2變大 D．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)3．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，關(guān)于的線性回歸方程為，若，則______．4．（2021·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)（文））有人發(fā)現(xiàn)，多看手機(jī)容易使人近視，下表是調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)此現(xiàn)象的調(diào)查數(shù)據(jù)：近視不近視總計(jì)少看手機(jī)多看手機(jī)總計(jì)則在犯錯(cuò)誤的概率不超過__________的前提下認(rèn)為近視與多看手機(jī)有關(guān)系.附表：參考公式：，其中.1．（2021·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）某種兼職工作雖然以計(jì)件的方式計(jì)算工資，但是對(duì)于同一個(gè)人的工資與其工作時(shí)間還是存在一定的相關(guān)關(guān)系，已知小孫的工作時(shí)間（單位：小時(shí)）與工資（單位：元）之間的關(guān)系如下表：若與的線性回歸方程為，預(yù)測(cè)當(dāng)工作時(shí)間為小時(shí)時(shí)，工資大約為（）A．元 B．元 C．元 D．元2．（2019·遼寧大連·一模）設(shè)有一個(gè)回歸方程為，則變量增加一個(gè)單位時(shí)（）A．平均增加1.5個(gè)單位 B．平均增加2個(gè)單位C．平均減少1.5個(gè)單位 D．平均減少2個(gè)單位3．（2021·黑龍江肇州·模擬預(yù)測(cè)（文））為了了解山高（km）與氣溫（℃）的關(guān)系，登山人員隨機(jī)抽測(cè)了5次山高與相應(yīng)氣溫，如下表：氣溫（℃）22148山高（km）2233384752由表中數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程，由此估計(jì)山高處氣溫大約為（）A．℃ B．℃ C．℃ D．℃4．（2021·江西豐城·模擬預(yù)測(cè)（理））對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A． B．C． D．5．（2021·山東菏澤·二模）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越小說明擬合效果越好B．已知隨機(jī)變量，若，則C．某人每次投籃的命中率為，現(xiàn)投籃5次，設(shè)投中次數(shù)為隨機(jī)變量．則D．對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的觀測(cè)值值越小，判定“兩分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大6．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））由一組樣本點(diǎn)、、、、，根據(jù)最小二乘法求得的回歸方程為，則___________.7．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)一種商品的產(chǎn)量與單位成本數(shù)據(jù)如下表：產(chǎn)量（萬件）234單位成本（元/件）37現(xiàn)根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù)，求得關(guān)于的線性回歸直線方程為，則預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)單位成本為每件______元.8．（2021·福建·漳州三中三模）根據(jù)下面的數(shù)據(jù)：123432487288求得關(guān)于的回歸直線方程為，則這組數(shù)據(jù)相對(duì)于所求的回歸直線方程的4個(gè)殘差的方差為___________.(注：殘差是指實(shí)際觀察值與估計(jì)值之間的差.)9．（2021·江西南昌·一模（理））2020年，全球展開了某疫苗研發(fā)競(jìng)賽，我為處于領(lǐng)先地位，為了研究疫苗的有效率，在某地進(jìn)行臨床試驗(yàn)，對(duì)符合一定條件的10000名試驗(yàn)者注射了該疫苗，一周后有20人感染，為了驗(yàn)證疫苗的有效率，同期，從相同條件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5組，各組感染人數(shù)如下：調(diào)查人數(shù)300400500600700感染人數(shù)33667并求得與的回歸方程為，同期，在人數(shù)為10000的條件下，以擬合結(jié)果估算未注射疫苗的人群中感染人數(shù)，記為；注射疫苗后仍被感染的人數(shù)記為，則估計(jì)該疫苗的有效率為__________．（疫苗的有效率為；參考數(shù)據(jù)：；結(jié)果保留3位有效數(shù)字）10．（2020·廣東·大瀝高中模擬預(yù)測(cè)）某工廠在疫情形勢(shì)好轉(zhuǎn)的情況下，復(fù)工后的前5個(gè)月的利潤(rùn)情況如下表所示：第1個(gè)月第2個(gè)月第3個(gè)月第4個(gè)月第5個(gè)月利潤(rùn)（單位：萬元）111275180設(shè)第i個(gè)月的利潤(rùn)為y萬元．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于i的方程（，的值要求保留小數(shù)點(diǎn)后四位有效數(shù)字）；（2）根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得回歸方程后，為驗(yàn)證該方程的可靠性，可用一個(gè)新數(shù)據(jù)加以驗(yàn)證，方法如下：先計(jì)算新數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差，再計(jì)算，若，則說明該方程是可靠的，否則說明不可靠．現(xiàn)已知該廠第6個(gè)月的利潤(rùn)為120萬元，是判斷(1)中求得的回歸方程是否可靠，說明你的理由．參考數(shù)據(jù)：，取．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．11．（2021·新疆·克拉瑪依市教育研究所模擬預(yù)測(cè)（文））推進(jìn)垃圾分類處理，是落實(shí)綠色發(fā)展理念的必然選擇．為加強(qiáng)社區(qū)居民的垃圾分類意識(shí)，某社區(qū)在健身廣場(chǎng)舉辦了“垃圾分類，從我做起”生活垃圾分類大型宣傳活動(dòng)，號(hào)召社區(qū)居民用實(shí)際行動(dòng)為建設(shè)綠色家園貢獻(xiàn)一份力量，為此需要征集一部分垃圾分類志愿者．（1）為調(diào)查社區(qū)居民喜歡擔(dān)任垃圾分類志愿者是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)選取了一部分社區(qū)居民進(jìn)行調(diào)查，其中被調(diào)查的男性居民30人，女性居民20人，男性居民中不喜歡擔(dān)任垃圾分類志愿者占男性居民的，女性居民中不喜歡擔(dān)任垃圾分類志愿者占女性居民的，判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為居民喜歡擔(dān)任垃圾分類志愿者與性別有關(guān)？附：，．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（2）某垃圾站的日垃圾分揀量y（千克）與垃圾分類志愿者人數(shù)x（人）滿足回歸直線方程，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：志愿者人數(shù)x（人）23456日垃圾分揀量y（千克）24294146t已知，，，根據(jù)所給數(shù)據(jù)求t，預(yù)測(cè)志愿者人數(shù)為10人時(shí)，該垃圾站的日垃圾分揀量．附：，．12．（2021·云南大理·模擬預(yù)測(cè)（理））2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站．某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛．該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造、根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：，模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為．（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益；回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，根據(jù)（1）中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時(shí)公司收益（直接收益+國(guó)家補(bǔ)貼）的大?。剑嚎坍嫽貧w效果的相關(guān)指數(shù)，且當(dāng)越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好．．用最小二乘法求線性回歸方程的截距：．1．（2011·江西·高考真題（理））變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù),表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù),則A． B． C． D．2．（2014·重慶·高考真題（理））已知變量與正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測(cè)的數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是A． B．C． D．3．（2015·湖北·高考真題（文））已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)B．與正相關(guān)，與正相關(guān)C．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)D．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)4．（2015·福建·高考真題（理））為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入（萬元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

支出（萬元）

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根據(jù)上表可得回歸直線方程，其中，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為（）A．11.4萬元 B．11.8萬元 C．12.0萬元 D．12.2萬元5．（2011·湖南·高考真題（文））通過隨機(jī)詢問110名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：

男

女

總計(jì)

愛好

40

20

60

不愛好

20

30

50

總計(jì)

60

50

110

由附表：

0．050

0．010

0．001

3．841

6．635

10．828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”6．（2011·陜西·高考真題（理））設(shè)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是變量x和y的n個(gè)樣本點(diǎn)，直線l是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論正確的是A．直線l過點(diǎn)B．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率C．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間D．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同7．（2011·遼寧·高考真題（文））調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：萬元），調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程：=0.245x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加_______萬元.8．（2011·廣東·高考真題（文））工人月工資y（元）與勞動(dòng)生產(chǎn)率x（千元）變化的回歸方程為=50+80x，下列判斷正確的是_______①勞動(dòng)生產(chǎn)率為1千元時(shí)，工資為130元；②勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1千元，則工資提高80元；③勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1千元，則工資提高130元；④當(dāng)月工資為210元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2千元．9．（2015·全國(guó)·高考真題（文））某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量（=1,2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，=（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：（?。┠晷麄髻M(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？（ⅱ）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù),，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：10．（2021·全國(guó)·高考真題（文））甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82811．（2020·全國(guó)·高考真題（理））某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，.（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1.414.12．（2020·全國(guó)·高考真題（文））某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200](200，400](400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8281．B【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出和，從而求得樣本中心，代入回歸方程后求得，再令時(shí)，即可求出銷售額的預(yù)報(bào)值.【詳解】解：由題意得，，∴樣本中心為，∵回歸直線過樣本中心，∴，解得：，∴回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)投入10萬元廣告費(fèi)時(shí)，銷售額的預(yù)報(bào)值為85萬元．故選：B．2．B【分析】根據(jù)圖中的點(diǎn)，計(jì)算去掉前后的相關(guān)系數(shù)、殘差平方和、，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由圖，，，則，，，∴相關(guān)系數(shù).令回歸方程，則，∴，即回歸方程為，可得為，，，，，∴殘差平方和，故，去掉后，，，則，，，∴相關(guān)系數(shù).∴，A、D正確；令回歸方程，則，∴，即回歸方程為，可得為，，，，∴殘差平方和，故，∴，B錯(cuò)誤，C正確；故選：B3．60【分析】求出，將代入可求出，即可得出所求.【詳解】由可得，把代入回歸方程可得，故．故答案為：60.4．【分析】根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算得，進(jìn)而得答案.【詳解】解:根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為近視與多看手機(jī)有關(guān)系.故答案為：1．B【分析】由樣本中心點(diǎn)可求得，將代入回歸直線即可求得結(jié)果.【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：，，，線性回歸方程為，，即當(dāng)工作時(shí)間為小時(shí)時(shí)，工資大約為元.故選：B.2．C【分析】根據(jù)所給的回歸直線的方程把自變量由變?yōu)闀r(shí)，表示出變化后的值，兩式相減即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€回歸方程為：①，當(dāng)變量增加一個(gè)單位時(shí)②，由②①可得：，所以變量增加一個(gè)單位時(shí)平均減少1.5個(gè)單位，故選：C.3．B【分析】計(jì)算出，代入，求得，進(jìn)而得解.【詳解】由題得，，代入，解得當(dāng)時(shí)，，.故選：B4．A【分析】由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的概念，逐圖判定，即可求解.【詳解】由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，題圖1和題圖3是正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)大于0，題圖2和題圖4是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)小于0，題圖1和題圖2的點(diǎn)相對(duì)更加集中，所以相關(guān)性更強(qiáng)，所以接近于1，接近于，由此可得．故選：A．5．A【分析】對(duì)于判斷個(gè)命題真假，只要對(duì)各選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.對(duì)于A相關(guān)指數(shù)越大說明擬合效果越好，題中說法相反；對(duì)于B根據(jù)正態(tài)分布圖像知概率與概率相同，即可判斷的概率為；對(duì)于C可以根據(jù)二項(xiàng)分布得出從而求解；對(duì)于D根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，相關(guān)指數(shù)越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，正態(tài)分布圖像關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)楦怕蕿?，所以概率為，故的概率為，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，服從二項(xiàng)分布，因此，則，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)于分類變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小，則分類變量間越有關(guān)系的可信度越小，故判定兩分類變量約有關(guān)系發(fā)錯(cuò)誤的概率越大，故D正確．故選:A6．【分析】求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸直線方程即可求得的值.【詳解】由已知條件可得，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程可得，解得.故答案為：.7．9【分析】先求得，代入線性回歸直線方程，得，進(jìn)而求得，代入即可求得結(jié)果.【詳解】由所給數(shù)據(jù)可求得，，代入線性回歸直線方程，得，解得，所以線性回歸直線方程，當(dāng)時(shí)單位成本（元/件）.故答案為：9.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：線性回歸直線方程過（），求得.8．3.2【分析】把x的各個(gè)值代入回歸直線方程，求出y的估計(jì)值，再計(jì)算出對(duì)應(yīng)的殘差，最后求出它們的方差得解.【詳解】把x=1，2，3，4依次代入回歸直線方程為，所得估計(jì)值依次為：，，對(duì)應(yīng)的殘差依次為：0.8，-2.4，2.4，-0.8，它們的平均數(shù)為0，所以4個(gè)殘差的方差為.故答案為：3.29．【分析】先求出線性回歸方程中的值，從而可求，再根據(jù)題設(shè)中的計(jì)算方法可求疫苗的有效率.【詳解】由題設(shè)表格中的數(shù)據(jù)可得，故，故，而，故疫苗有效率為，故答案為：.10．（1）（2）可靠【分析】（1）設(shè)，求出，，，再由即可求解.（2）將代入，求出，再求即可求解.（1）解：設(shè)，則，，則，所以，故關(guān)于的回歸方程為.（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?）中求得的回歸方程可靠.11．（1）能（2），93.4千克【分析】（1）根據(jù)題意，列出2×2列聯(lián)表，再根據(jù)公式計(jì)算，對(duì)照臨界表中的數(shù)據(jù)，比較即可得到答案；（2）由表中數(shù)據(jù)和題中所給數(shù)據(jù)，可求出的值，再根據(jù)參考公式求得線性回歸系數(shù)和，可得回歸直線方程為，再將代入，即可求出結(jié)果．（1）解：根據(jù)題意，列出的2×2列聯(lián)表如下：喜歡擔(dān)任垃圾分類志愿者不喜歡擔(dān)任垃圾分類志愿者合計(jì)男性居民102030女性居民15520合計(jì)252550，所以，能在犯錯(cuò)誤概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為居民喜歡擔(dān)任垃圾分類志愿者與性別有關(guān)．（2）解：由表中數(shù)據(jù)可知，，，∴，∴，，∴回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)志愿者為10人時(shí)，垃圾分揀量大約為93.4千克.12．（1）模型②擬合精度更高、更可靠，億；（2）投入17億元比投入20億元時(shí)收益小.【分析】（1）根據(jù)公式計(jì)算相關(guān)指數(shù)，再根據(jù)大小選擇合適的模型，根據(jù)所得模型可求直接受益.（2）根據(jù)（1）中的公式結(jié)合利潤(rùn)計(jì)算方法可求公司收益，從而可得兩者的大小關(guān)系.【詳解】（1）對(duì)于模型①，對(duì)應(yīng)的，故對(duì)應(yīng)的，故對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對(duì)于模型②，同理對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，故模型②擬合精度更高、更可靠.故對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益為.（2）當(dāng)時(shí)，后五組的，，由最小二乘法可得，故當(dāng)投入20億元時(shí)公司收益（直接收益+國(guó)家補(bǔ)貼）的大小為：，故投入17億元比投入20億元時(shí)收益小.1．C【詳解】第一組變量正相關(guān)，第二組變量負(fù)相關(guān)．2．A【詳解】試題分析：因?yàn)榕c正相關(guān)，排除選項(xiàng)C、D，又因?yàn)榫€性回歸方程恒過樣本點(diǎn)的中心，故排除選項(xiàng)B；故選A．考點(diǎn)：線性回歸直線.3．A【詳解】因?yàn)樽兞亢蜐M足關(guān)系，一次項(xiàng)系數(shù)為，所以與負(fù)相關(guān)；變量與正相關(guān)，設(shè)，所以，得到，一次項(xiàng)系數(shù)小于零，所以與負(fù)相關(guān)，故選A.4．B【詳解】試題分析：由題，，所以．試題解析：由已知，又因?yàn)?，所以，即該家庭支出為萬元．考點(diǎn)：線性回歸與變量間的關(guān)系．5．A【詳解】由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A6．A【詳解】試題分析：回歸直線一定過這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)不是直線的斜率，兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值是小于1的，是在﹣1與1之間，所有的樣本點(diǎn)集中在回歸直線附近，沒有特殊的限制．解：回歸直線一定過這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，故A正確，兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)不是直線的斜率，而是需要用公式做出，故B不正確，兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值是小于1的，故C不正確，所有的樣本點(diǎn)集中在回歸直線附近，不一定兩側(cè)一樣多，故D不正確，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程，考查樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)，考查相關(guān)系數(shù)的做法，考查樣本點(diǎn)的分布特點(diǎn)，是一個(gè)基礎(chǔ)題．7．0.245【詳解】當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，=0.245(x+1)+0.321=0.245x+0.321+0.245，而0.245x+0.321+0.245-（0.245x+0.321）=0.245.因此家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.245萬元，本題填寫0.245.8．②【詳解】試題分析：回歸方程═50+80x變量x增加一個(gè)單位時(shí)