專題之新數(shù)列題型-滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教案（教育機(jī)構(gòu)專用）

滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年度高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)向量專題之研究新數(shù)列題型教學(xué)目標(biāo)初步了解研究新數(shù)列題型的主要命題方式，并熟悉掌握一些基本的做法?！窘庾x：研究新數(shù)列題型難度很大】知識(shí)梳理無典例精講【說明：此部分所給題量較大，難度也很大，大都是高考原題、一二模考題。各位老師可以根據(jù)學(xué)生的程度、是否做過等因素，自由組合課前作業(yè)、課堂例題、課堂練習(xí)、課后作業(yè)等。建議要優(yōu)質(zhì)生源使用，最好有課前作業(yè)，無需面面俱到，但是一定要講透】例1.（★★★）已知數(shù)列，若存在正整數(shù)，對(duì)一切都有，則稱數(shù)列為周期數(shù)列，是它的一個(gè)周期．例如：數(shù)列，，，，…①可看作周期為1的數(shù)列；數(shù)列，，，，…②可看作周期為2的數(shù)列；數(shù)列，，，，，，…③可看作周期為3的數(shù)列…（1）對(duì)于數(shù)列②，它的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是試再寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列③的前項(xiàng)和；（3）在數(shù)列③中，若，且它有一個(gè)形如的通項(xiàng)公式，其中、、、均為實(shí)數(shù)，，，，求該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．解：（1）或等．（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（）．（3）由題意，，應(yīng)有，得，于是，把，，代入上式得由(1)(2)可得，再代入(1)的展開式，可得，與(3)聯(lián)立得，，于是，因?yàn)椋?，于是可求得．故（）．【評(píng)述：此題向函數(shù)借鑒，給了一個(gè)周期數(shù)列，考查學(xué)生求通項(xiàng)和求和的能力，涉及到了分類討論，還有一些三角的知識(shí)，難度不大】例2.（★★★★）如果無窮數(shù)列滿足下列條件：①；②存在實(shí)數(shù)，使．其中，那么我們稱數(shù)列為數(shù)列．（1）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，且是數(shù)列，求的取值范圍；（2）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，證明：數(shù)列是數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，求證：．解：（1）,故數(shù)列單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),，即，則數(shù)列中的最大項(xiàng)是，所以，（2）是各項(xiàng)正數(shù)的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，,，設(shè)其公比為，，整理得，解得或（舍）對(duì)任意的，有，且，故是數(shù)列。（3）假設(shè)存在正整數(shù)使得成立，有數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，可得，即。因?yàn)?，所以，由及，得，故因?yàn)?，所以由此類推，可?又存在,使，總有，故有，這與數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)矛盾，所以假設(shè)不成立，即對(duì)任意，都有成立【評(píng)述：此題把滿足一定條件的數(shù)列作為一類，特別是后一個(gè)條件涉及到了數(shù)列的單調(diào)性。此類題考得很頻繁，要學(xué)生搞懂接替一般思路和步驟】例3.（★★★★★）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，記（），即為中最大值，稱數(shù)列是的控制數(shù)列，如1，3，2，5，5控制數(shù)列是1，3，3，5，5（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為2，3，4，5，5，寫出所有的（2）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（為常數(shù)，），求證：（）（3）設(shè)，常數(shù)，若，是的控制數(shù)列，求解：（1）數(shù)列為：（2）因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?，所以，?因此，.（3）對(duì)，；；；.比較大小，可得.因?yàn)?，所以，即；，?又，從而，，，.因此.【評(píng)述：此題給了一個(gè)定義，可以由已知數(shù)列生成另一個(gè)數(shù)列，但是法則較難，導(dǎo)致反生成不是唯一的。第二問較為抽象，從數(shù)列的單調(diào)性入手，有一定難度；第三問又要討論，較為復(fù)雜。此類題可以要求學(xué)生先從具體數(shù)列開始，尋求規(guī)律，真正理解定義，再去歸納到一般形式，字母的邏輯運(yùn)算】例4.（★★★★★）對(duì)于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對(duì)任意，存在，使得，則稱具有性質(zhì)，例如具有性質(zhì)（1）若，且具有性質(zhì)，求的值（2）若具有性質(zhì)，求證：，且當(dāng)時(shí)，（3）若具有性質(zhì)，且、（為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式解：（1）選取，中與垂直的元素必有形式.所以,從而.（2）證明：取.設(shè)滿足.由得，所以異號(hào).因?yàn)槭侵形ㄒ坏呢?fù)數(shù)，所以中之一為，另一為，故.假設(shè)，其中，則選取，并設(shè)滿足，即，則異號(hào)，從而之中恰有一個(gè)為.若，則，矛盾；若，則，矛盾；所以.（3）設(shè)，則等價(jià)于.記，則數(shù)集具有性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.注意到是中的唯一負(fù)數(shù)，共有個(gè)數(shù)，所以也只有個(gè)數(shù).由于，已有個(gè)數(shù)，對(duì)以下三角數(shù)陣:注意到，所以，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為【評(píng)述：此題將集合、向量、數(shù)列交織在一起，非常復(fù)雜，難度很大。第一問通過列舉法，較簡(jiǎn)單。第二、第三問都很那入手，涉及到了數(shù)列的單調(diào)性等。此類題可以要求學(xué)生先從具體數(shù)列開始，尋求規(guī)律，真正理解定義，再去歸納到一般形式，字母的邏輯運(yùn)算。同時(shí)，要求學(xué)生多做題，吃透題。例如此題與2009北京高考題最后一題、2011五校聯(lián)考填空壓軸題、2012浦東三模壓軸題都如出一轍，但是學(xué)生要么沒做過這些題，要么做了，以為懂了，但是沒有吃透。所以講透難點(diǎn)很重要】鞏固練習(xí)1.（★★★★）如果存在常數(shù)使得數(shù)列滿足：若是數(shù)列中的一項(xiàng)，則也是數(shù)列中的一項(xiàng)，稱數(shù)列為“兌換數(shù)列”，常數(shù)是它的“兌換系數(shù)”.

（1）若數(shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求和的值；（2）若有窮遞增數(shù)列是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）已知有窮等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是，所有項(xiàng)之和是，試判斷數(shù)列是否是“兌換數(shù)列”？如果是的，給予證明，并用和表示它的“兌換系數(shù)”；如果不是，說明理由.（4）對(duì)于一個(gè)不少于3項(xiàng)，且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列，是否有可能它既是等比數(shù)列，又是“兌換數(shù)列”？給出你的結(jié)論并說明理由.解：（1）因?yàn)閿?shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”所以也是該數(shù)列的項(xiàng)，且故即。（2）不妨設(shè)有窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為。因?yàn)橛懈F數(shù)列是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，所以也是該數(shù)列的項(xiàng)，又因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，且，則，故（3）數(shù)列是“兌換數(shù)列”。證明如下：設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)閿?shù)列是項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)的有窮等差數(shù)列若，則即對(duì)數(shù)列中的任意一項(xiàng)，同理可得：若，也成立，由“兌換數(shù)列”的定義可知，數(shù)列是“兌換數(shù)列”；又因?yàn)閿?shù)列所有項(xiàng)之和是，所以，即（4）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列，設(shè)它的公比為，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，則又因?yàn)閿?shù)列為“兌換數(shù)列”，則，所以是正整數(shù)故數(shù)列必為有窮數(shù)列，不妨設(shè)項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，則，①若，則有，又，由此得，與矛盾；②若。由，得即，故，與矛盾；綜合①②得，不存在滿足條件的數(shù)列。【評(píng)述：此題把滿足一定條件的數(shù)列作為一類，突破口，還是數(shù)列的單調(diào)性。此題還涉及了倒序相加等數(shù)列基本技巧，其實(shí)這種考法很常見，一定要讓學(xué)生搞懂一般思路和步驟】2.（★★★★）設(shè)，對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，令為中最大值，稱數(shù)列為的“創(chuàng)新數(shù)列”．例如數(shù)列創(chuàng)新數(shù)列為．考查自然數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列．（1）若，寫出創(chuàng)新數(shù)列的所有數(shù)列；（2）是否存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出符合條件的創(chuàng)新數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）是否存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足所有條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由題意，創(chuàng)新數(shù)列為的所有數(shù)列有兩個(gè)，即和（2）存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列．設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，因?yàn)闉榍皞€(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè)，所以．若為等比數(shù)列，設(shè)公比為，因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，為常數(shù)列滿足條件，即為數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為增數(shù)列，符合條件的數(shù)列只能是，又不滿足等比數(shù)列．綜上符合條件的創(chuàng)新數(shù)列只有一個(gè)．（3）存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，因?yàn)闉榍皞€(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè)，所以．若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)椋裕耶?dāng)時(shí)，為常數(shù)列滿足條件，即為數(shù)列，此時(shí)數(shù)列是首項(xiàng)為的任意一個(gè)排列，共有個(gè)數(shù)列；當(dāng)時(shí)，符合條件的數(shù)列只能是，此時(shí)數(shù)列是，有1個(gè)；當(dāng)時(shí)，，又這與矛盾，所以此時(shí)不存在。綜上滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為個(gè)（或回答個(gè)）．【評(píng)述：此題又是“生成數(shù)列”問題，又和數(shù)列的單調(diào)性有關(guān)。此題還涉及了排列組合等。我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)列類題目，很考查學(xué)生邏輯推理能力，這也是一個(gè)命題特點(diǎn)】3.（★★★★）已知集合具有性質(zhì)：對(duì)任意，與至少一個(gè)屬于，（1）分別判斷集合與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）①求證：；②求證：；（3）研究當(dāng)和時(shí)，集合中的數(shù)列是否一定成等差數(shù)列？解：（1）對(duì)于集合：∴集合具有性質(zhì)．對(duì)于集合：，∴集合不具性質(zhì)．（2）①②．（3）①當(dāng)時(shí)，集合中元素一定成等差數(shù)列．證明：當(dāng)時(shí)，即又，∴．故成等差數(shù)列．②當(dāng)時(shí)，集合中元素不一定成等差數(shù)列．如：中組成等差數(shù)列；中不組成等差數(shù)列．③當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列．證明：當(dāng)時(shí)，又成等差數(shù)列．【評(píng)述：此題還是和數(shù)列的單調(diào)性、邏輯推理能力有關(guān)，近年熱點(diǎn)考法】回顧總結(jié)通過本專題的學(xué)習(xí)，你對(duì)研究新數(shù)列題型了解了多少？有沒有發(fā)現(xiàn)這些題目在命題特點(diǎn)上和解法上有沒有什么共性？涉及到了哪些知識(shí)點(diǎn)？又要注意些什么？大致題型：（1）新定義型數(shù)列，把滿足一個(gè)或者多個(gè)條件的數(shù)列放在一個(gè)集合中，給一個(gè)統(tǒng)一名稱；（2）新性質(zhì)型數(shù)列，把滿足一個(gè)特定性質(zhì)的數(shù)列，單獨(dú)拿出；（3）新生成型數(shù)列，按照某個(gè)法則，由已知數(shù)列生成新數(shù)列，也