第12講：圓錐曲線的切線 -備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)之解析幾何講義

第12講：圓錐曲線的切線不管是哪一種圓錐曲線的切線，其本質(zhì)都是圓錐曲線與直線只有一個交點，即聯(lián)立圓錐曲線方程與直線方程所得到的一元二次方程有且僅有一個根，即，相信這對于大家來說都不是問題，在這里我們對圓錐曲線的切線做一些總結(jié)，以方便大家在最短的時間內(nèi)解決題目。（一）橢圓的切線：①在點P()處的切線方程為②過橢圓外一點Q（）可以做橢圓的兩條切線，兩切點所在的直線方程為③直線與橢圓相切時，滿足例：已知P為橢圓上一動點，求點P到直線的最小值與最大值。（二）雙曲線的切線：①在點P()處的切線方程為②過橢圓外一點Q（）可以做橢圓的兩條切線，兩切點所在的直線方程為③直線與橢圓相切時，滿足（三）拋物線的切線：①上某點P（）的切線斜率為,點P()，則切線方程為，即，通過觀察我們知道:與x軸的交點為，切線與x軸的截距為切點處橫坐標(biāo)的一半，與y軸的交點為，在y軸上的截距為切點縱坐標(biāo)的相反數(shù)。②A（），B（）均在拋物線上，請推證A、B處兩切線及其兩切線的交點坐標(biāo)。A點處切線B點處切線兩條切線的焦點坐標(biāo)（）我們發(fā)現(xiàn)：=1\*romani、兩切線的交點橫坐標(biāo)為兩個切點的中點M的橫坐標(biāo)=2\*romanii、根據(jù)前面弦長知識點可知，直線與拋物線的兩個交點滿足：(為直線與對稱軸的截距)，那么我們得到：兩切線的交點縱坐標(biāo)()與直線與對稱軸的截距互為相反數(shù)延伸一：過拋物線對稱軸上一點(0,b)做直線與拋物線相交于A、B兩點，過A、B分別做拋物線的切線，兩切線相交于點Q，通過幾何畫板作圖我們發(fā)現(xiàn)：不論直線繞P(0,b)如何旋轉(zhuǎn)，兩切線的交點的縱坐標(biāo)恒為-b證明：令過P的直線為，聯(lián)立得設(shè)A點處切線,B點處切線則兩條切線的焦點坐標(biāo)Q（）∴證畢延伸二、過點Q（）做拋物線的兩條切線分別切拋物線于點A、B，直線AB與y軸的截距為-b斜率∴切點弦方程為：③對于焦點在x軸上的拋物線，求切線一般聯(lián)立方程，利用求解。④需要需注意的是：過拋物線外一點做與拋物線僅有一個交點的直線有三條：除了兩條切線之外還有一條與x軸平行（即斜率為0的直線與拋物線也只有一個交點。練習(xí)1．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應(yīng)切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點為，由發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為．利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：（1）求橢圓C的離心率；（2）點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為在l上的射影H在圓上，求橢圓C的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題設(shè)，若橢圓C的長軸長為，則，即可求離心率.（2）法一：延長交于點，易得且H為中點，由中位線的性質(zhì)及點在圓上求橢圓參數(shù)a，即可得橢圓方程；法二：設(shè)，在l上的射影分別為，連接，由反射性質(zhì)設(shè)則，即可得、，根據(jù)求橢圓參數(shù)a，寫出橢圓方程.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的長軸長為，由題意知：發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為，∴．（2）法一：如圖：延長，交于點，在中，，則且H為中點，在中，，則，，即橢圓方程為．法二：設(shè)，在l上的射影分別為，連接，如圖：設(shè)，則，在中，可得，同理：，∴，，∵，∴橢圓方程為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，利用橢圓上點的反射性質(zhì)確定相關(guān)角或邊的等量關(guān)系及對稱關(guān)系，再根據(jù)列方程求橢圓參數(shù).練習(xí)2．已知拋物線，圓的圓心為點．（1）求點到拋物線的準(zhǔn)線的距離；（2）已知點是拋物線上一點（異于原點），過點作圓的兩條切線，交拋物線于，兩點，若過，兩點的直線垂直于，求直線的方程．【答案】（1）;（2）.【分析】（1）求出拋物線的準(zhǔn)線方程以及圓心坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式即可求出結(jié)果；（1）設(shè)點，，，，，，進(jìn)而表示出的斜率，由于到直線的距離相等，因此可得出關(guān)系式，根據(jù)韋達(dá)定理得到表達(dá)式，然后再結(jié)合與垂直即可求出點的坐標(biāo)，進(jìn)而得出結(jié)果.（1）由于拋物線準(zhǔn)線方程為：，圓的圓心，利用點到直線的距離公式可以得到距離．（2）設(shè)點，，，，，；由題意得：，，設(shè)過點的圓的切線方程為：即①則，即設(shè)，的斜率為，，則，應(yīng)該為上述方程的兩個根，，；代入①得：則，應(yīng)為此方程的兩個根，故，由于，故．【點睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．練習(xí)3．離心率為的雙曲線上的動點到兩焦點的距離之和的最小值為，拋物線的焦點與雙曲線的上頂點重合．（1）求拋物線的方程；（2）過直線為負(fù)常數(shù)）上任意一點向拋物線引兩條切線，切點分別為，坐標(biāo)原點恒在以為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率、焦距求頂點坐標(biāo)，結(jié)合題設(shè)即可得拋物線方程.（2）設(shè)，，，根據(jù)題設(shè)條件可得，是方程的兩個不同的根，應(yīng)用韋達(dá)定理及坐標(biāo)