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習(xí)題一解答或提示
1.(1)設(shè)P:他是本片的編劇,Q:他是本片的導(dǎo)演。PAQ
(2)設(shè)P:銀行利率降低,Q:股價(jià)上揚(yáng)。PfQ
(3)設(shè)P:銀行利率降低,Q:股價(jià)上升。?(PfQ)
(4)設(shè)P:這個(gè)對(duì)象是占據(jù)空間的,Q:這個(gè)對(duì)象是有質(zhì)量的,R:這個(gè)對(duì)象是不斷變化的,S:
這個(gè)對(duì)象稱為物質(zhì)。PAQAR^S
(5)設(shè)P:他今天乘火車去了北京,Q:他今天隨旅行團(tuán)去了九寨溝。PVQ
(6)設(shè)P:小張身體單薄,設(shè)Q:小張極少生病,設(shè)R:小張頭腦好使。PAQAR
(7)設(shè)P:這個(gè)人不識(shí)廬山真面目,設(shè)Q:這個(gè)人身在廬山中。QfR
(8)設(shè)P:兩個(gè)三角形相似,設(shè)Q:兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等或者對(duì)應(yīng)邊成比例。PoQ
(9)設(shè)P:一個(gè)整數(shù)能被6整除,設(shè)Q:這個(gè)整數(shù)能被
2和3整除。PfQ
設(shè)R:一個(gè)整數(shù)能被3整除,設(shè)S:這個(gè)整數(shù)的各
位數(shù)字之和也能被3整除。RfS
2、(1)命題T
(2)命題T/F
(3)不是命題,因?yàn)檎嬷禑o(wú)法確定。
(4)命題T
(5)不是命題。
(6)命題T
(7)命題T/F
(8)不是命題,是悖論。
5、(1)證:?((~PAQ)V(?PA?Q))V(PAQ)
=(?(-pAQ)A-(?P八?Q))V(PAQ)
=((PV~Q)A(PVQ))V(PAQ)
=(PV(?QVQ))V(PAQ)
<=>PV(PAQ)=P
(3)證:P-?(QVR)
。?PV(QVR)
=~PVQV?PVR
o(~PVQ)V(~PVR)
=(P-Q)V(P-R)
6、解:如果PVQoQVR,不能斷定P=R。因?yàn)楫?dāng)Q=T時(shí),PVQoQVR恒成立。
如果PAQoQAR,不能斷定P=R。因?yàn)楫?dāng)Q=F時(shí),PAQoQAR恒成立。
如果?Pu>?R,則P=R。
8、把下列各式用f等價(jià)表示出來(lái):
(1)解:(PAQ)V?P
=((PtQ)t(PtQ))V(PtP)
<=>(((PtQ)t(PtQ))t((PtQ)t(PtQ)))t((PtP)t(PtP))
(3)解:(P-(QV~R))A?P
=(?PV(QV~R))A~P
=((PtP)V(QV(RtR)))A(PtP);
o((PtP)V((QtQ)t((RtR)t(RtR))))A(PtP)
=(((PtP)t(PtP?t(((QtQ)t((RtR)t(RtR)))t
((QtQ)t((RtR)t(RtR)))))A(PtP)
((((PtP)t(PtP))t(((QtQ)t((RtR)t(RtR)))t((QtQ)
t((RtR)t(RtR)))))t(PtP))t((((PtP)t(PtP))t(((QtQ)t((R
tR)t(RtR)))t((QtQ)t((RtR)t(RtR)))))t(PtP))
9、證:VPVQ=??PVQo(?P)-Q
PAQ=?(?PV?Q)=?(p-*~Q)
而{?,V,八}是功能完備集,
...{?,f}是功能完備集,?,f不能互相表示,
故{?,一}是最小功能完備集。
又YP二g?(PfQ),.,.{?,二}也是最小功能完備集。
10、證:由書上的表1.16可知,“?”對(duì)應(yīng)的真值表含2個(gè)1和2個(gè)0,而“V”對(duì)應(yīng)
的真值表也含2個(gè)1和2個(gè)0,V對(duì)應(yīng)的真值表含3個(gè)1和1個(gè)0,A對(duì)應(yīng)的真值表含1
個(gè)1和3個(gè)0,所以,“V”無(wú)法用“?”和“V”來(lái)表示,同樣“A”也無(wú)法用“?”和
“V”來(lái)表示,因此,{?,V}不是功能完備集。
12.解:(1)a)真值表法
PQR
QARQARfS(P-(QARfS))
S
0000011
0001011
0010011
0011011
0100011
0101011
0110101
0111111
1000011
1001011
1010011
1011011
1100011
1101011
1110100
1111111
由表中看出,
i)使公式(P-(QARfS))取值1時(shí)的解釋所對(duì)應(yīng)的全部極小項(xiàng)為:
(?PA?QA?RA?S),(~PA~QA~RAS),(~PA~QARA~S),(~PA~QA
RAS),(-PAQA-RA-S),(-PAQA-RAS),(?PAQARA?S),(-PAQARAS),
(?QAP八?R八?S),(-QAPA-RAS),(?QAPARA?S),(-QAPARAS),(-R
AQAPA-S),(-RAQAPAS),(SAQARAP),由定理1.8,其主析取范式為:
(-PA-QA-RA-S)V(-PA-QA~RAS)V(-PA-QARA-S)V(~P
A-QARAS)V(?PAQA?RA?S)V(-PAQA-RAS)V(?PAQARA?S)V
(-PAQARAS)V(~QAPA-RA-S)V(-QAPA-RAS)V(-QAPARA-S)
V(-QAPARAS)V(-RAQAPA-S)V(-RAQAPAS)V(SAQARAP)o
ii)使公式(P-(QARTS))取值0時(shí)的解釋所對(duì)應(yīng)的全部極大項(xiàng)為:
?PV?QV?RVS由定理1.7,其主合取范式為:?PV?QV?RVS?!?/p>
b)等價(jià)變換法
Pf(QAR)fS)
o-PV(~(QAR)VS)
。?PV?QV?RVS---主合取范式
o(~PA(~QVQ)A(~RVR)A(~SVS))
V(~QA(-PVP)A(?RVR)ACSVS))
V(~RA(~PVP)A(-QVQ)A(~SVS))
V(SA(~PVP)A(~QVQ)A(?RVR))……添加永真式
=(~PA?QA?R八?S)V(?PA?QA?RAS)V(~PA?QARA?
V(-PA-QARAS)V(~PAQA-RA-S)V(-PAQA-RAS)V(-PAQA
RA-S)V(-PAQARAS)V(?QA?PA?RA?S)V(?QA?P八?RAS)V(-Q
A-PARA-S)V(-QA-PARAS)V(~QAPA-RA-S)V(-QAPA~RAS)V
(~QAPARA?s)v(~QAPARAS)v(~RA?QA~PA~S)V(?RA~QA~P
AS)V(-RA-QAPA-S)V(-RA-QAPAS)V(?RAQA?PA?S)V(-RAQ
A-PAS)V(-RAQAPA-S)V(-RAQAPAS)V(SA?QA?RA?P)V(SA-
QA-RAP)V(SA-QARA-P)V(SA-QARAP)V(SAQA-RA-P)V(SAQ
A-RAP)V(SAQARA-P)V(SAQARAP)……合并相同的項(xiàng)
<=>(?PA~QA~RA~S)V(~PA~QA?RAS)V(?PA~QARA?S)V(~
PA-QARAS)V(?PAQA?RA?S)V(-PAQA-RAS)V(-PAQARA-S)V
(-PAQARAS)V(~QAPA-RA-S)V(-QAPA-RAS)V(-QAPARA-S)
V(-QAPARAS)V(-RAQAPA-S)V(-RAQAPAS)V(SAQARAP)
主析取范式
(3)等價(jià)變換法
P-(RA(Q->P))o~PV(RA(~QvP))=~PV((RA~Q)V(RAP))
=(~PA(~QVQ)A(~RVR))V((RA~QA(~PVP))V(RAPA(~QVQ)))
=(~PA~QA~R)v(~PAQA~R)V(~PA~QAR)VPAQAR)V(RA~QA~P)
v(RA~QAP)V(RAPA~Q)V(RAPAQ)
=(~PA~QA~R)v(~PAQA~R)V(~PA~QAR)V(~PAQAR)V(RA~QAP)
V(RAPAQ)-------主析取范式
PT(RA(QTP))O~PV(RA(~QVP))
<=>(~PVR)V(T)<=>~PVR
=~PVRv(~QAQ)
=(~PVRV~Q)A(-PVRVQ).......主合取范式
13.解:
(1)(P—*Q)—?(PAQ)?=>~(~PVQ)V(PAQ)?TA(-PVQ)=~PVQ
(~P->Q)A(Q->P)=(~(~P)VQ)AQVP)<=>(PVQ)A(~QVP)
=Pv(~Q/\Q)oP------不等價(jià)
⑵(P一Q)A(P-R)=(~PVQ)A(~PVR)=~Pv(Q/\R)
P一(QAR)=~PV(QAR)--------等價(jià)
14.解:由題設(shè)A:A去,B:B去,C:C去,D:D去
則滿足條件的選派應(yīng)是如下范式:(A一(CVD))2(BAC)A~(CAD)
構(gòu)造和以上范式等價(jià)的主析取范式
(A一(CVD))2(BAC)2(CAD)
=(~Av(CA~D)v(~CAD))A(~Bv~C)A(~CV~D)
=(~AABv~C)ACv~D))v((CA~D)ABv~C)ACv~D))
v((~CAD)A(~Bv~C)A(~Cv~D))
=(~AA~BA~C)V(~AA~BA~D)V(~AA~CA~C)V(~AA~CA~D)
V(CA~DA~BA~C)V(CA~DA~BA~D)V(CA~DA~CA~C)
V(CA~DA~CA~D)V(~CADA~BA~C)V(~CADA~BA~D)
V(~CADA~CA~C)V(~CADA~CA~D)
=AA~BA~C)V(~AA~BA~D)V(~AA~CA~C)V(~AA~CA~D)
V(CA~DA~BA~D)V(~CADA~BA~C)V(~CADA~CA~C)
=AA~BA~C)v(~AA~BA~D)v(~AA~C)VAA~CA~D)
V(CA~BA~D)V(~CA~BAD)V(~CAD)
=(~AA~BCA(DV~D))V(~AA~BA~DA(CV~O)
V(~AA~CA(BV~B)A(DV~D))V(~AA~CA~DA(BV~B))
v(CA~BA~DA(Av~A))v(~CA~BADA(AV~A))
v(~CADA(Av~A)A(Bv~B))
=(~AA~BA~CAD)V(~AA~BA~CA~D)V(~AA~BACA~D)
VAA~BA~CA~D)VAABA~CA~D)VAA~BA~CA~D)
V(AA~BACA~D)V(~AA~BACD)V(ABCAD)
VAA~BA~CAD)V(~AABA~CAD)V(~AABA~CD)
V(~AA~BA-CAD)V(~AA~BA~CA~D)V(AABA~CAD)
V(AA~BCAD)V(~AABA~CAD)V(~AA~BCAD)
=(~ABA~CAD)V(~AA~BA~CA~D)V(~AA~BACA~D)
V(~AABA~CA~D)V(ABACD)V(AA~BA~CAD)
v(~AABA~CAD)V(AABA~CAD)
共有八個(gè)極小項(xiàng),但根據(jù)題意,需派兩人出差,所以,只有其中三項(xiàng)滿足要求:
(AA~BACA~D)?(AA~BA~CAD),AABA~CAD)
即有三種方案:A和C去或者A和D去或者B和D去。
15.證:(1)由定理LU,需證(P一Q)一(P—(PAQ))為永真式
v(P-Q)一(P一(PAQ))
<=>~(~PvQ)v(~Pv(PAQ))
=~(~PvQ)v((~PvP)A(~PvQ))
(~PvQ)v(~PvQ)=T
...(p—Q)=(PT(PAQ))
(3)由定理1.11,需證PA~PAR—S為永真式
vPA~PAR―?S=FAR—?SoF―>S<=>T
APA~PAR=S
16.證:(1)性質(zhì)1由定理1.11和“一”的定義,A一A是永真式,所以A=A。
(2)性質(zhì)2由定理1.11,???A=B,B=A,A—B和B—A是永真式,
即A一B是永真式,由定理1.3,A=B成立。
(3)性質(zhì)3由定理1.11,「A=B,A—?B是永真式,又?:A是永真式,
根據(jù)“一”的定義,B必是永真式。
17.證:“=”?:A=B,A—B是永真式,
vA-?B0~AvB=~(~B)V―AB-A=T
~B=~A
“=”因?yàn)樯鲜龅葍r(jià)式是可逆的,當(dāng)?B=~A,必有A=B。
18.解:設(shè)P:珍寶藏在東廂房
Q:藏寶的房子靠近池塘
R:房子的前院栽有大柏樹
S:珍寶藏在花園正中地下
T:后院栽有香樟樹
M:珍寶藏在附近(后院)
對(duì)語(yǔ)句符號(hào)化以后得到以下蘊(yùn)涵式:
Q—~P,R-P,Q,RvS,T—M=?
(QiP)A(R—P)AQA(RvS)A(T-M)
?QA(Q—~P)A(R-?P)A(RvS)A(T-M)
=~PA(R一P)A(RVS)A(T^M)
PA(~P—…R)A(RvS)A(T―>M)
=~RA(RVS)A(T―>M)
0sA(T—M)
所以s為真,即珍寶藏在花園正中地下。
19.解:⑴不成立(P=0,Q=l)
(2)不成立(P=l,Q=R=O)
(3)不成立(P=0,Q=l)
(4)不成立(P=0,Q=l,R=0)
(5)不成立(P=l,Q=l,R=0)
20.證:(1)利用CP規(guī)則
①PP(附加前提規(guī)則)
②~PvQP
③QTW②
④R-QP
Q—R
⑤T@E23
⑥~R血⑤
⑦P—RCP規(guī)則①⑥
(2)利用CP規(guī)則
①PP(附加前提規(guī)則)
②PVQT①E?
③(PVQ)—(RAS)P
④RAST①k
⑤ST@E4
⑥SvET⑤E?
⑦(SvE)一BP
⑧BT@?I5
(9)P—BCP規(guī)則①⑧
(4)(反證法)
①~P)P(附加前提規(guī)則)
②P
③P-RP
④RT②③k
⑤(R->Q)A(”S)P
⑥RfQT⑤E?
⑦QT④⑥I5
⑧R-ST⑤E?
⑨sT④⑧I5
?(QTE)A(S-B)P
?QTETOE3
QS-BT?E3
?ET⑦?I5
?BT?OI5
?EABT?0E5
?~(EAB)P
OFT??
21.(2)解:對(duì)原子命題符號(hào)化
P:無(wú)任何痕跡
Q:失竊時(shí),小花在0K廳
R:失竊時(shí),小英在0K廳
S:失竊時(shí),小胖在附近
T:金剛是偷竊者
M:瘦子是偷竊者
前提:{P,QVR,S——P,Q—T,?S—?R,R—M}
結(jié)論:?
推導(dǎo):①PP
②S—~PP
③?ST①②EI
④?S-RP
⑤?RT③④I
⑥QVRP
⑦QT⑤⑥1
⑧Q-TP
⑨TT⑦⑧I
**?金剛是竊賊。
22.解:⑴不相容
(2)相容(P=1,R=。=S=0)
(3)不相容
(4)不相容
23.⑴證:(P—>?Q)A(RVS)A(S—>?Q)A(P一0AP
q(?pV?①人(RVS)A(~SV?Q)A(?PVQ)AP
即4)={~PV~Q,RVS,?SV?Q,?PVQ,P)
利用消解原理:
?PP
②zpv?QP
③?Q①②
④zPVQP
⑤?p③④
?PAP=F口①⑤
習(xí)題2.1
1.把下列命題翻譯成謂詞公式:
(1)每個(gè)有理數(shù)都是實(shí)數(shù),但是并非每個(gè)實(shí)數(shù)都是有理數(shù),有些
實(shí)數(shù)是有理數(shù).
解:設(shè)A(x):x是實(shí)數(shù)鳳x):x是有理數(shù),則有:
V(xXWx)—>A(X))A—iVx(A(x)—>B(X))A3X(A(X)AB(X))
(2)直線a和b平行當(dāng)且僅當(dāng)a和b不相交.
解:A(x):x是直線,
F(x,y):x與y平行G(x,y):x與y相交,則有:
VaVb[A(a)AA(b)—>(JF(G,b)——iG(a,Z>))]
(3)除非所有的會(huì)員都參加,這個(gè)活動(dòng)才有意義
解:4(x):x是會(huì)員C(x):x有意義
F(x,j):無(wú)參加ya:這個(gè)活動(dòng)
C(a)-?Vx(A(x)r/了,〃))或者—>Vx(A(x)->F(x,a))—>—\C(a)
(4)任何正整數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù).
解:A(x):x是正整數(shù)B(x):x是合數(shù)C(x):x是
質(zhì)數(shù)
Vx(A(x)rB(X)VC(X))
(5)凡是存錢的人都想有利息,如果沒(méi)有利息,人們就不會(huì)存錢
解:A(x):x是人B(x):x存錢a:利息
P:存錢有利息F(x,y):x想有y
Vx[(A(x)AB(x)—>F(x,a))A(—IP—>A(X)A—J?(X))]
2.設(shè)論域D={0,1,2}.把下列公式用不含量詞的公式表示出來(lái).
(1)(vx)P(x)A(3x)Q(x)
P(O)A尸⑴AP(2)A(/?(O)VK⑴vQ(2))
(2)(vx)[P(x)-Q(x)]
[p(o)->e(o)]A[p⑴-e(i)]A[尸⑵te(2)
(3)(vx)[-P(x)]v(Bx)Q(x)
解為:(~P(0)八?P(1)A?P(2))V(Q(0)vQ(l)vQ(2))
3.指出下列公式中的約束變?cè)妥杂勺冊(cè)?并確定公式的轄域.
(1)(VX)P(X)TQ(X)
P(x)中的X為約束變?cè)?,轄域?yàn)椋篜(X).
Q(X)中的X為自由變?cè)?/p>
(2)(vx)[P(x)△Q(x)]一((vx)P(x)AQ(x))
(Vx)[P(x)AQ(x)]中,P(x)和Q(x)中的x均為
約束變?cè)犛驗(yàn)镻(x)AQ(x);
(Vx)P(x)/\Q(x)中,P(x)中的x為約束變?cè)?/p>
轄域?yàn)镻(x),Q(x)中的x為自由變?cè)?/p>
(3)(3x)(3y)[P(x,y)AQ(a)]v(vz)R(x,z)
Gx)Gy)[P(x,y)AQ(a)]中,x,y是約束變?cè)?,?/p>
域?yàn)镻(x,y)AQ(a),
Q(a)中的a為自由變?cè)?/p>
(Vz)R(x,z)中,z為約束變?cè)?轄域?yàn)镽(x,z),z
為自由變?cè)?/p>
4.對(duì)下列公式中的變?cè)M(jìn)行代換,以使任何變?cè)荒芗仁羌s束
變?cè)质亲杂勺冊(cè)?
(1)(vx)(3y)[P(xy)Q(y,z)]v(vz)R(x,y,z).
解:(Vx)(h)[?(x,y)-?°(y,f)]v(Vz)H(x,y,z)
(2)((vx)[P(x)-R(x)]vQ(x))A((3x)R(x)-(2z)S(x.z))
解為:((Vx)[P(x)->R(x)]vQ(U))A((3x)R(x)T(3z)S(V,z))
習(xí)題2.2
1.(1)D:數(shù)A(x):x=0f(x,y)=xy
VXVJ[A(/(X,J))->A(x)vA(j)]A-iA(xT)fY(/(x-l,x+1))
永真式
⑵A(x):x是誠(chéng)實(shí)的人B(x):x講實(shí)話a:小林
VX[A(X)—?B(x)]A—iA(a)—>—iB(a)
可滿足式
(3)A(x):x不便宜B(x):x是好貨
“尤丁):X買的ya:衣服b:小王
Vx(A(x)—>B(X)]AF(a,b)/\A(a)—>B(a)
可滿足式
(4)A(x):x是作家B(x):x懂得人性本質(zhì)
C(x):x是詩(shī)人£>(x):x是真正的
E(x):x能刻畫人們內(nèi)心世界
尸(x):x很高明P(x,y):x創(chuàng)作了y
a:莎土比亞b:哈姆雷特
Vx[(A(x)AB(x)-?F(X))A(C(x)A—IE(X)—>—iZ)(x))]AP(a,b)
A—1(3x)(A(x)A—iB(x)A£(X))AVX[C(X)AP(x,b)—>Z)(x)]
2.(1)T
⑵A=P(a,f(b))AP(b,f(a))
=P(3,f(2))AP(2,f(3))
=P(3,3)AP(2,2)
=1AO
=0
B=(Vx)Gy)P(y,x)
=Gy)P(y,2)A(3y)P(y,3)
o(P(2,2)vP(3,2))A(P(2,3)vP(3,3))
=(Ovl)A(0vl)
=1
C=(By)(Vx)P(y,x)
<=>(Vx)P(2,x)v(Vx)P(3,x)
o(P(2,2)AP(2,3))V(P(3,2)AP(3,3))
=(0A0)V(1A1)
=1
E=(Vx)(Vy)[P(x,y)-?P(f(x),f(y))]
o((Vy)[P(2,y)TP(f(2),f(y))])A((Vy)[P(3,y)
->P(f(3),f(y))])
o((P(2,2)->P(f(2),f(2)))A((P(2,3)->P(f(2),f
(3)))A((P(3,2)-?P(f(3),f(2)))A(P(3,3)fP(f
⑶,f⑶)))
=((Of1)A(Of1))A((IfO)A(If0))
=0
3.(1)F(2)T
(3)T
4.D:實(shí)數(shù)P(x,y):y=ex,Q(y):y>0
習(xí)題2.3
1.(1)Q(y)]
oBxBy[~P(x)v2(y)]
o七臥?P(x)vRQ(y)]
<=>3x~P(x)vRQ(y)
o?VxP(x)vh。(y)
=(Ar)P(x)t(3j)g(y)
(2)(3x)Gy)[P(x)fQ(y)]o(Vx)P(x)fGy)Q(y)
證明:
<=>Gx)[?P(x)]VGy)Q(y)]
<=>(Vx)P(x)-?(3y)Q(y)
⑶?Gy)(Vx)P(x,y)=(Vy)(3x)[?P(x,y)]
證明:
<=>(Vy)[~(Vx)P(x,y)]
o(Vy)[Gx)[~P(x,y)]]
<=>(Vy)Gx)[~P(x,y)]
2.不成立
解:因?yàn)镚x)[P(x)fQ(x)]
。Gx)[~P(x)]vGx)Q(x)
o(Vx)P(x)fGx)Q(x),故原式不成立.
n—Siol>0)尸(1)尸⑵0(0)。⑴。⑵
DT0,051501'0'1
3.⑴?((Vx)P(x)t6y)P(y))
o?(?(Vx)P(x)v(3y)P(y))
((3xX-P(x)v(3y)P(y))
o(Vx)尸(%)△(¥/?P。))
=(VxRy)(尸(x)人?P(y))——skolem范式
⑵?((Vx)尸(x)fGdVz)0(y,z))
<=>~(-(Vx)p(x)v3(JXVZ)6(J,Z))
=(VX)P(X)A(VJX3Z)~Q(J,z)
=(Vx)(Vy)(玉X尸(x)人?Q(y,z))----前束范式
<=>(VXXVJX^(^)A?Q(y,f(x,y)))-—skolem范式
(3)(Vx)(Vy)[(3z)P(x,y,z)A((3u)Q(x,u)A
(3v)Q(y,v))]
(4)(Vx)[~P(x,0)—(Gy)P(y,f(x))A(Vz)Q(x,z))]
4、解:
習(xí)題2.4
1.⑴證:在某個(gè)解釋下,(%迫F)[P(x)A2(y)]取值1,必有
尸(4)八。0),取值1,因此,3?eDP(a)取值1。
.?.(h)P(x)取值1,由定義,蘊(yùn)含關(guān)系成立。
(2)①?((3X)P(X)AQ(a))o?(3x)P(x)v?Q(a)
o(Hx)P(x)Q(a)
(2)證:在某個(gè)解釋下,?((玉)P(x)人Q(a))取值1
即(土)尸⑴AQ(a)取值0,分二種情況:
i)(土)明=0,則無(wú)論。⑷為何值,0x)P(x)+。(“)取值lo
ii)Q(a)=0(3x)P(x)=1,則(土)尸(x)t■?Q(o)取值1
由定義,蘊(yùn)含關(guān)系成立。
(3)(Vx)[~P(x)-Q(x)]A(Vx)[~Q(x)]nP(x)
o(Vx)[P(x)VQ(x)]A(Vx)[~Q(x)]
o(Vx)([P(x)VQ(x)]ArQ(x)])
<=>(Vx)(P(x)A?Q(x))
<=>(Vx)P(x)A(Vx)?Q(x)
=>(Vx)P(x)
=>P(y)
<=>P(x)
(4)(Vx)[P(x)vQ(x)]A(Vx)[~P(x)]=>(Vx)Q(x)
證明:
<=>(VX)[(P(X)VQ(X))ACP(X))]
o(Vx)[Q(x)A?P(x)]
o(Vx)Q(x)A(Vx)[?P(x)]
=>(Vx)Q(x)(簡(jiǎn)化法則)
(5)(3x)[P(x)f?Q(x)]A(Vx)P(x)n?(Vx)Q(x)
證明:
o(Gx)[~P(x)]vOx)[-Q(X)])A(Vx)P(x)
oC(Vx)P(x)v?(Vx)Q(x))A(Vx)P(x)
<=>C(Vx)Q(x))A(Vx)P(x)
n~(Vx)Q(x)(簡(jiǎn)化法則)
2、(1)P(x)A(Vx)Q(x)=>Gx)[P(x)AQ(x)]
答:該蘊(yùn)涵關(guān)系成立
判別方法一:當(dāng)左取1時(shí),必有P(t)=l,(Vx)Q(x)=l,
從而Q(t)=l,即P(t)AQ(t)=l,即右取1.
判別方法二:P(X)八(Vx)Q(x)
o(Vx)[P(y)AQ(x)]
nGy)[P(y)AQ(y)]
⑵Gx)P(x)—(Vx)Q(x)=>(Vx)[P(x)fQ(x)]
答:該蘊(yùn)含關(guān)系成立
右=(3x)P(x)->(Vx)Q(x)
<=>?Gx)P(x)v(Vx)Q(x)
<=>(Vx)[~P(x)]v(Vx)Q(x)]
=>(Vx)[P(x)->Q(x)]
(3)(Vx)[P(x)->Q(x)]=>(3x)P(x)-?(Vx)Q(x)
答:該蘊(yùn)涵關(guān)系不成立
判別方法一:構(gòu)造解釋口={41)}
左=(Vx)[P(X)TQ(X)]=1,而右
=(3x)P(x)->(Vx)Q(x)=0.
判別方法二:右二(3x)P(x)T(Vx)Q(x)
o?Gx)P(x)v(Vx)Q(x)
o(Vx)[~P(x)]v(Vx)Q(x)]
=>(Vx)[P(x)->Q(x)]
此為單向蘊(yùn)涵關(guān)系,故原式不成立.
3、這個(gè)證明不正確
證明:當(dāng)(Vx)[P(x)vQ(x)]取值1的時(shí)候,P(x)、Q(x)
中至少有一個(gè)對(duì)于任意的x取值都為1,則右邊式子中,(Vx)
P(x)、(Vx)Q(x)至少有一個(gè)也為1,故原式子成立。
習(xí)題2.5
1(2)(反證法)
①?(h)[P(x)fQ(x)]P
②(Vx)[p(x)-Q(x)]T①,E
③(Vx)[?(?P(x)fv°(x)]T②,I
④(VX"(X)A?Q(x))T③,I
⑤P(X)A?Q(x)US@
⑥P(x)T⑤,I
⑦(Vx)P(x)UG⑥
⑧(Vx)P(x)T(Vx)Q(x)P
⑨(Vx)2(x)T⑧,I
⑩?。(x)T⑤,I
OQ(x)US⑨
口口T⑩口1
2.(1)錯(cuò)誤,應(yīng)換元,即
①(Vx)P(x)->Q(x),
②P(y)->。⑴
(2)正確
(3)錯(cuò)誤,a、b應(yīng)是同一個(gè)常元
(4)錯(cuò)誤,因?yàn)樵趐(x”(玉)[Q(X)AE(%)]中x并不是自由
出現(xiàn)
(5)錯(cuò)誤,因?yàn)樵?球)尸(x)-Q(x)中,前件是命題,
而后件不是命題
(6)錯(cuò)誤,因?yàn)閍、b并不是同一個(gè)常量
(7)錯(cuò)誤,①②和③④的順序不對(duì)
應(yīng)先使用ES,再使用US
3(1)解:設(shè)F(x,y):x2y;G(z):z20;f(x,y)=x-y
前提:
①V(x)V(y)(F(x,y)-*G(f(x,y))
②V(x)V(y)JF(x,y)f-1G(f(x,y))
③V(x)V(y)(-1G(f(x,y)-G(f(y,x)))
結(jié)論:V(x)V(y)(G(f(x,y))VG(f(y,x)))
證明(反證法):
@-iV(x)V(y)(G(f(x,y))VG(f(y,x)))
②Ox)(3x)-i(G(f(x,y))VG(f(y,x)))
③—iG(f(a,b))A—iG(f(b,a))
@V(x)V(y)(F(x,y)fG(f(x,y))
⑤F(a,b)-*G(f(a,b))
⑥->G(f(a,b))-*-iF(a,b)
⑦V(x)V(y)(-iG(f(x,y)fG(f(y,x)))
⑧-iG(f(b,a))fG(f(a,b))
(9)V(x)V(y)JF(x,y)f-1G(f(x,y))
⑩-nF(a,b)-1G(f(a,b))
(11)G(f(a,b))-F(a,b)
?->F(a,b)AF(a,b)
4.(2)
證:首先,將結(jié)論否定否作為前提加入到原有前提中
{[(3x)P(x)->(V.r)[(P(x)vQ(x)-?7?(x))]}A(3X}P(X)A(3X)Q(X)A
~(HxX3y)[7?(x)A/?(%)]
o{(Vx)~%)v(Vx)[?(P(x)vQ(x))vA(3W)P(W)A(3v)g(v)A
?中)伏(卬)入R(y)]
<=>(VxX3wX3vXVwXvyI(~P(x)vR(x))△(?P(x卜?Q(x)vR(x))]
AP(w)A7?(W)A(~R(卬)V?R(⑷))]
o(V%XVwXv>')[(~P(X"R(x))△(??0(x)vR(x))AP(Q)A。(即
人(?R(w)v?R(y))]Skolem范式
子句集為{?P(x)vR(x),?P(x)v~Q(x)vR(x),P(a)R(b),?R(w)v?R(y)}
①?P(x)vH(x)
②P(a)
③於)①,②代換{a/x}
④R(c)③代換{c/x}
⑤?/?(w)v?/?(>')
⑥?R(y)④,⑤代換{c/w}
⑦?R(c)⑥代換{c/y}
⑧口
習(xí)題三
16.解
2A={0,{0},{a},{},{0.a},{0,},{a,},{0,a,}}
17.證:(1)
設(shè)xe2Au2B,則xe2A或xe2B.即XGAUB,
故xe2AU3.
等號(hào)成立的條件是:Ar)B=O.
(2)a=>wxe2An2B=>x62A且xe2B=?xcA5.xcB=JXcAnB
=>xe2AnB.
“="如XC2ACB,由于上述過(guò)程是可逆的,所以XC2AC2B.
18.解:(1)由于是求包含a的子集個(gè)數(shù),實(shí)際上就是
在去掉a以后剩下的n—1個(gè)元素中分別取1個(gè)、2個(gè)、…、
n—1個(gè)元素的可能組合問(wèn)題,即CL+C1+CL+…+墨二"
(2)類似地,包含a、b的子集個(gè)數(shù)為
C上+C1+C氧+…+CM。
19.證:
?="對(duì)v(x,y)eAxC,xeA,yeC,vAcB,xeB,C40,
(x,y)eBxC,AxCcBxC.
?=????Ch0,???AxCh0,BxCh0,vxeA,vyeC,(x,y)eAxC,
又??,AxCGBxC,??.(x,y)wBxC,則xcB,故AGB。
習(xí)題四
6.
RiR2R5
關(guān)系
性質(zhì)
自反VVX
性
反自XXXXV
反性
對(duì)稱XVX
性
反對(duì)VXXXV
稱性
傳遞VVVXJ
性
10.(3)"=>"R是對(duì)稱的,設(shè)(x,y)eR則Rn(x,y)GR-1
v<y,x>eR~l:.<x,y>eR=><y,x>GR,§PR~l=R
"<="R=RiV(x,y)eR,由R”的定義,(y,x)6R~'
:.(y,x)eR,即R是對(duì)稱的。
(5)“n”R是傳遞的,對(duì)V<X,z>eR2
3jGA3<x,j>G1?<>G7?:.<X,Z>^R
即R2qR
"<="R2=R,,對(duì)V<x,y>eR<y,z>eR,由R,的定義,
有<x,z>eR2aR:.<x,z>eR,即R是可傳遞的。
13.解:?.?/?=&U&,且與口號(hào)二①
mmm
R=R\^R2A=AjUA2
:.R^=ZA(R*=I4,二需3|m,5|m
=>加=15,即72=16
R16=R;6UA”=R]UR?=R
故使Rm=Rn的最小正整數(shù)tn=1,W=16
1100000、
01000000、
11100000
15、珞:0100000
11100000
10000000
0000100000011111
M=M"R)=
R0000010000011111
00i11
16.當(dāng)曲。?.瞪1世,/W=I霜1
0000000:111000田12111
()00?0100;0;、00011111,
t(RA)曲)=U(R1U出)
i=l
由歸納法可證:對(duì)VieNR;UR,(RiUR2)i
、00
8;A0000I£.
."(心)山(&)=UKUUR="uK2)q.4(&u勺)'="iuR)
V=1x)V=12.2
+00
⑷證:①1+y=R???R+=t(R)=URi
i=l
..(R+y=MR))+=3(f(R))J
J=1
由歸納法可證:VMN+(?R)y=?R)
/\i0000
.?.(/?+「=U(f?y=u?(/?))=f(R)=R+
J=1j=l
③R。R*=/?+R*=心U?R)
/.RoR*=RO(IA\J^(/?))=ROIA\JROt(R)
=RUR°t(R)=t(R)=R+
習(xí)題五
1.證:,/A=N*}
R={((?,“(c,d))Iad=bc\
①自反性由A的定義,ab=baa,beN
:.([a,b\(a,hy)eR
②對(duì)稱性設(shè)((a,b),(c,d))eH,則ad=be
即cb=da((c,d),(a,〃))eR
③傳遞性設(shè)((。1,坊),(。便1))6£,則
((q,4),(c2d2))eR,則c[d2=4c2
=>a14d2=4Gd2=bxdxc1=>a[d2-h{c2
???46力),&&))eR
3.解:???A={1,2,3,4,},So={{1,2,4},{3}}
設(shè)A={1,2,4},4={3}
R={(1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2,2)(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)(3,3)}
4.解:???每個(gè)集合的劃分就可以確定一個(gè)等價(jià)關(guān)系
集合有多少個(gè)劃分就可以確定多少個(gè)等價(jià)關(guān)系
不同的劃分個(gè)數(shù)為:
血猶卜+“+戲+』5
不同的等價(jià)關(guān)系個(gè)數(shù)等于不同的劃分個(gè)數(shù),所以不同的等價(jià)關(guān)系
個(gè)數(shù)為15o
5.解:
①限色不是A上的等價(jià)關(guān)系
②RC&是A上的等價(jià)關(guān)系
③「伏-&)是A上的等價(jià)關(guān)系
④與?!辈皇茿上的等價(jià)關(guān)系
9.解:A-{a,b,c]
2A={<1>,(a),(b\(c),(a,b\(a,c),(b,c),(a,b,c)}
10.L都是等價(jià)關(guān)系和偏序
關(guān)系。
<Sc,
13.證:i)自反性,對(duì)D方/.(b,b)wR,(H的
自反性)
顯然,:.(b,b)GRC\(BxB)
ii)反對(duì)稱性,對(duì)Ya,beB,(a,Z>)eZ?n(Bx3),伍㈤e/?D(BxB)
即(Q,Z>)GR,0,a)e/?,由R的反對(duì)稱性,=>a=b
iii)傳遞性,
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