淺談新課標(biāo)全國卷導(dǎo)數(shù)命題背景

淺談新課標(biāo)全國卷導(dǎo)數(shù)命題背景.近幾年高考題的導(dǎo)數(shù)壓軸經(jīng)常以微積分里的重要定理作為背景，但縱觀命題人給的答案，很多是所謂結(jié)合高中知識巧妙構(gòu)造等等，頗有把考生玩弄于股掌之間的味道.結(jié)合高等數(shù)學(xué)部分內(nèi)容，我們來研究下近幾年高考真題的本質(zhì)：例1.（2014北京卷）已知函數(shù)，求證：若在上恒成立，求的最大值與的最小值第（1）問很簡單，求導(dǎo)后容易得到結(jié)論第（2）問我們令，則，由⑴知，，故在上單調(diào)遞減，從而的最小值為，故，的最大值為.接下來b最大值肯定在x等于0處取到，代入x＝0，我們發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了的情況，只用初等數(shù)學(xué)我們無法求解，其實(shí)本題就用到了微積分里兩個(gè)重要極限之一，接下來我們來證明一下這個(gè)結(jié)論令＝，由導(dǎo)數(shù)定義得＝＝，那么＝＝＝＝1，那么顯然第（2）小問里b的最小值就是1評注：本題結(jié)合了極限進(jìn)行命制，并且它的證明過程就是高中數(shù)學(xué)課本里對導(dǎo)數(shù)的定義，很多老師為了方便講解直接跳過該定義講解導(dǎo)數(shù)幾何意義，筆者認(rèn)為這是一個(gè)很大的失誤，所以在復(fù)習(xí)時(shí)以前沒有著重講解的定義需要額外關(guān)心，考場上遇到所謂冷門知識時(shí)才能應(yīng)付自如，游刃有余.高等數(shù)學(xué)里還有個(gè)重要極限就是，稍后我們進(jìn)行討論.上面兩個(gè)極限是導(dǎo)數(shù)與微分的內(nèi)容，在上完導(dǎo)數(shù)與微分后，我們將會接觸到3個(gè)微分中值定理：，拉格朗日中值定理，柯西中值定理羅爾中值定理：，曲線弧（方程為）是一條連續(xù)的曲線弧，如果弧的兩端點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，那么弧上至少有一點(diǎn)，曲線在該點(diǎn)切線是水平的拉格朗日中值定理：如果函數(shù)

f(x)滿足：1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。那么：在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使等式成立柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)對任一x∈(a,b)，F(xiàn)'(x)≠0那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使等式成立其中，在柯西中值定理里當(dāng)b→a時(shí)，我們會得到求取不定式極限的洛必達(dá)法則：(1)當(dāng)x→a時(shí)，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零；(2)f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0，那么有注：洛必達(dá)法則也可以證明極限，上下求導(dǎo)便可得下面我們來看一道用洛必達(dá)法則命制的高考題例2.（2011新課標(biāo)全國卷）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（Ⅰ）求、的值；分析：左右都是和，中間的也將其拆做和的形式，證明通項(xiàng)不等關(guān)系即可證明：注意到＝，故只需證＜＜即可，由（5）式令x＝顯然成立評注：使用泰勒不等式時(shí)要注意不等號方向，并且本題也可以通過定積分的幾何意義證明，證明過程留做習(xí)題前面我們提到后面我們會證明極限，接下來我們用基本函數(shù)不等式≤來給出精彩的證明對原命題取對數(shù)，即只需證明，注意到≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0取等，那么當(dāng)x趨近于0，即趨近于時(shí)，有，即＝1這幾個(gè)基本函數(shù)不等式可以衍生出一大批高考題，下面我們挑幾道進(jìn)行分析：例5（2013新課標(biāo)全國卷II）（1）設(shè)x＝0是（2）證明：當(dāng)m≤2時(shí)，≤來輕松秒殺.因?yàn)椤?-1，故≥--+1，當(dāng)+＝1取等，令＝--+1，求導(dǎo)易得在（0，+）單調(diào)增，在（-m，0）單調(diào)減故＝＝2-m≥0，即≥0，故，證明：-≥1，那么≥1，由不等式≤，得≤＝≤+=兩邊同時(shí)加1得原命題.評注：本題結(jié)合了基本不等式推論之一≤，在了解泰勒不等式時(shí)也需要對課本知識牢牢掌握.例6（2014新課標(biāo)全國卷一）已知，證明：＞＞0，考慮到≥0，因?yàn)樽钚≈翟趚等于e處取到為-，所以≥0，考慮到前面的放縮不可同時(shí)取等號，有評注：本題標(biāo)答是一個(gè)巧妙的等價(jià)變換后再對新函數(shù)求導(dǎo)，這步非常不好想到，顯然是命題人掩