超級電容器分?jǐn)?shù)階模型的分頻段參數(shù)辨識方法

摘要

超級電容器的電阻與電容參數(shù)不是常數(shù)，受頻率等因素影響。研究發(fā)現(xiàn)采用分?jǐn)?shù)階等效電路模型能夠更加準(zhǔn)確地描述超級電容器的非線性特性。針對超級電容器的分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)難以獲取的問題，提出一種分頻段參數(shù)辨識方法。該方法根據(jù)不同頻段下超級電容器的阻抗特性，提出了相應(yīng)頻段的等效阻抗表達式，進而根據(jù)典型頻率的阻抗數(shù)據(jù)求解各頻段阻抗表達式中的未知參數(shù)，實現(xiàn)超級電容器分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)的全頻段辨識，從而大大降低了分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)辨識的難度。最后，對超級電容器進行動態(tài)應(yīng)力(DST)測試和不同頻率的恒流充放電實驗，將辨識得到的超級電容器分?jǐn)?shù)階模型仿真輸出電壓與超級電容器的實測電壓進行對比。結(jié)果顯示在DST測試下，模型端電壓的平均相對誤差為1.52%，最大相對誤差限制在4%以內(nèi)；在恒流充放電實驗中，最大相對誤差限制在6%以內(nèi)，驗證了所提分頻段參數(shù)辨識方法的有效性和準(zhǔn)確性。關(guān)鍵詞

超級電容器；分?jǐn)?shù)階模型；頻率特性；阻抗特性；參數(shù)辨識超級電容器是一種新型的儲能元件，其電解電極由高表面多孔材料組成，通過極化電解液在電極表面形成雙電層來實現(xiàn)儲能。由于使用多孔電極材料實現(xiàn)較大的表面積與較小的電荷分離距離，故超級電容器能夠以較小的體積儲存更多電荷，具有功率密度大、充放電時間短、循環(huán)壽命長、工作溫度范圍寬等優(yōu)點，被廣泛用于平抑功率波動、制動能量回收、混合儲能等場合。由于超級電容器的儲能原理有別于常規(guī)介質(zhì)電容器，其電阻與電容參數(shù)不是常數(shù)，阻抗特性會隨頻率發(fā)生改變。當(dāng)頻率增加時，超級電容器的容抗和電阻減小，且容抗占比減小，電阻占比增大。為了準(zhǔn)確表征超級電容器的阻抗特性，研究人員先后建立了多種等效電路模型。其中整數(shù)階模型由若干個固定大小的電阻、電容串并聯(lián)組合而成，元件數(shù)量越多，模型越精確，但增大了模型的復(fù)雜度。研究發(fā)現(xiàn)，超級電容器的電流和電壓呈分?jǐn)?shù)階微積分關(guān)系，故采用分?jǐn)?shù)階元件的超級電容器等效電路模型被提出。相較于整數(shù)階模型，分?jǐn)?shù)階模型利用更少的模型參數(shù)獲得更高的模型精度，且在不同溫度和電壓下都具有較強的適應(yīng)性。為了獲取超級電容器分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)，最直接的方法是測量其阻抗頻譜。在目標(biāo)頻率范圍內(nèi)，對超級電容器加載不同頻率的正弦電壓(電流)激勵，得到相應(yīng)的電流(電壓)響應(yīng)信號，并計算出阻抗大小，繪制完整的阻抗頻譜。但以上阻抗頻譜的測試及獲取需要使用專業(yè)昂貴的電化學(xué)儀器，普通阻抗測量儀的量程無法達到超級電容器的低頻范圍和容值范圍。然而，由于激勵信號幅值較小，其參數(shù)辨識結(jié)果不能準(zhǔn)確反映超級電容器在大電流下的實際工作特性。此外，該方法只能在離線條件下進行，隨著超級電容器的老化，電容器的內(nèi)阻增加、容量降低，模型參數(shù)也會隨之發(fā)生改變，利用阻抗譜獲得的模型參數(shù)將不再適用。另一種參數(shù)辨識方法是對超級電容器進行動態(tài)電流(電壓)測試，包括混合脈沖功率(hybridpulsepowercharacterization，HPPC)測試、動態(tài)應(yīng)力測試(dynamicstresstest，DST)和行駛工況(federalurbandrivingschedule，F(xiàn)UDS)測試等。通過采集超級電容器的電壓電流數(shù)據(jù)，在時域內(nèi)進行波形辨識。由于超級電容器分?jǐn)?shù)階模型對應(yīng)的電壓電流時域表達式涉及大量的分?jǐn)?shù)階微積分推導(dǎo)，增加了辨識的難度和復(fù)雜度。為此，本文提出了一種超級電容器分?jǐn)?shù)階模型的分頻段參數(shù)辨識方法，根據(jù)超級電容器在不同頻段的阻抗特性，推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階模型在不同頻段的等效阻抗表達式，實現(xiàn)超級電容器分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)的全頻段辨識。具體安排如下：第一部分介紹了超級電容器分?jǐn)?shù)階模型的定義；第二部分分析了超級電容器在不同頻段下的阻抗特性，提出了分?jǐn)?shù)階模型的分頻段等效阻抗表達式，并提供了辨識超級電容分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)的流程圖；第三部分搭建了超級電容器的實驗測試平臺，通過對超級電容器進行幾組典型頻率的恒流充放電實驗，得到對應(yīng)頻率的阻抗參數(shù)；第四部分求解超級電容器的分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)，然后對超級電容器進行DST測試和恒流充放電實驗，將分頻段辨識法得到的分?jǐn)?shù)階模型的仿真輸出電壓與實測電壓進行對比，驗證了分頻段辨識法的有效性和準(zhǔn)確性，最后將分頻段辨識法與分?jǐn)?shù)階模型的其他辨識方法進行了分析對比；第五部分對全文進行了總結(jié)。1超級電容器分?jǐn)?shù)階模型超級電容器分?jǐn)?shù)階模型采用分?jǐn)?shù)階元件描述了超級電容器的動態(tài)行為，與整數(shù)階模型相比，分?jǐn)?shù)階元件能夠在階數(shù)上給模型帶來額外的自由度，不僅可以提高模型的準(zhǔn)確度，而且還能降低模型的復(fù)雜度。超級電容器的分?jǐn)?shù)階模型如圖1所示，由常相位CPE元件、類Warburg元件、并聯(lián)電阻Rp和串聯(lián)電阻Rs組成。其中，串聯(lián)電阻Rs用于等效超級電容器電解液和集流體的電阻，常相位CPE元件的阻抗ZCPE的表達式為：圖1

超級電容器的分?jǐn)?shù)階模型Fig.1

FOMofsupercapacitor(1)式(1)中，C表示常相位CPE元件的電容系數(shù)，ω表示角頻率，α表示分?jǐn)?shù)階階數(shù)。當(dāng)α=1時，式(1)表示一個理想的電容器。常相位CPE元件與表示電荷擴散的傳遞電阻Rp并聯(lián)，用于描述電荷的擴散效應(yīng)，可以代替整數(shù)階等效電路模型中的多級RC網(wǎng)絡(luò)。類Warburg元件的阻抗表達式為：(2)式(2)中，W表示超級電容器的主電容系數(shù)，β表示電容量分布階數(shù)。當(dāng)β=0時，類Warburg元件為電阻；當(dāng)β=1時，類Warburg元件為電容。類Warburg元件用于描述超級電容器的主電容特性。根據(jù)上述定義，分?jǐn)?shù)階模型的阻抗表達式為：(3)式中包含未知參數(shù)α、β、Rp、Rs、C、W。根據(jù)歐拉公式，虛數(shù)的分?jǐn)?shù)階次表達式為：(4)將式(4)代入式(3)中，可以得到分?jǐn)?shù)階模型阻抗實部和虛部的表達式分別為：(5)(6)式中，Re1表示CPE元件和Rp并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的實部，Re2表示類Warburg元件的實部，Im1表示CPE元件和Rp并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的虛部，Im2表示類Warburg元件的虛部，A=CRpωαcos(απ/2)，B=CRpωαsin(απ/2)。2分頻段辨識法2.1不同頻段下的阻抗特性超級電容器的動態(tài)行為主要取決于其阻抗特性，典型的超級電容器頻率阻抗譜如圖2所示。從圖中可以看出，超級電容器的阻抗特性在不同頻率下呈現(xiàn)不同特性。因此，本文根據(jù)超級電容器阻抗特性和分?jǐn)?shù)階元件特性，按照頻段進行劃分，提出了不同頻段的分?jǐn)?shù)階模型等效阻抗表達式。圖2

超級電容器的典型阻抗頻譜

（1）主電容特性頻段由圖2(a)可知，在較低頻率時，超級電容器特性類似于常規(guī)電容器，Nyquist曲線斜率約為89°。阻抗虛部隨頻率減小而快速增大，超級電容器的主電容特性完全體現(xiàn)。在圖2(b)中，該頻段的幅值和相角隨頻率變化明顯，故將該頻段稱為主電容特性頻段，對應(yīng)的頻率約為10mHz～150mHz。在該頻段內(nèi)，主電容特性由分?jǐn)?shù)階模型的類Warburg元件表示，超級電容器的阻抗虛部可以等效為類Warburg元件的虛部，故阻抗虛部表達式(6)可等效為：(7)式7中，ωL為主電容特性頻段的角頻率，且2π×10mHz≤ωL≤2π×100mHz。當(dāng)頻率接近10mHz時，由于頻率很小，A、B<<1，故阻抗實部表達式(5)可等效為：(8)式中，ωmin為最小角頻率，且ωmin≈2π×10mHz。該情況相當(dāng)于頻率極小的輸入信號通過由CPE元件和電阻Rp構(gòu)成的并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)時，輸入信號被CPE元件阻隔，僅從Rp支路通過。（2）電荷擴散頻段由圖2(a)可知，隨著頻率的增大，在某一頻段上，阻抗曲線的負(fù)虛部和實部隨頻率變化的大小相等，Nyquist曲線斜率約為45°。阻抗虛部和實部都隨頻率增大而減小，主要表現(xiàn)了超級電容器的電荷擴散效應(yīng)。在圖2(b)中，該頻段的幅值和相角隨頻率變化較小，故將該頻段稱為電荷擴散頻段，對應(yīng)的頻率范圍約為300mHz～100Hz。在該頻段內(nèi)，超級電容器等效為完整的分?jǐn)?shù)階模型。（3）電阻特性頻段由圖2(a)可知，在較高頻率時，超級電容器特性類似于純電阻。由圖2(b)可見，該頻段的幅值和相角隨頻率變化幾乎為0，故將該頻段稱為電阻特性頻段，對應(yīng)的頻率約≥100Hz。在該頻段內(nèi)，電阻特性由分?jǐn)?shù)階模型的串聯(lián)電阻Rs元件表示，超級電容器的阻抗實部可以等效為電阻Rs的大小，故阻抗實部表達式(5)可等效為：(9)式中，ωH為電阻特性頻段的角頻率，且ωH≥2π×100Hz。值得注意的是，本文定義主電容特性頻段和電荷擴散頻段的過渡頻率范圍為150mHz～300mHz，不同超級電容器的過渡頻率范圍略有差異，但其阻抗譜仍呈現(xiàn)出主電容特性頻段和電荷擴散頻段的阻抗特性，在各頻段內(nèi)的相角斜率保持不變。2.2參數(shù)辨識步驟恒流充放電是超級電容器常用的儲釋能方式之一，電流選擇范圍大，易于實現(xiàn)，在超級電容器的應(yīng)用場合具有很強的適應(yīng)性，所以直接使用超級電容器恒流充放電過程的實際時域數(shù)據(jù)建模具有重要的實際意義。恒流充放電的波形為方波電流信號，將一個充放電周期的方波電流信號加到超級電容器上，超級電容器端電壓的變化等于電流基波及各次諧波引起電壓變化的疊加。隨著次數(shù)的增加，諧波對超級電容器的充放電周期和電流幅值都成倍減少，且超級電容器容值很大，短周期內(nèi)小幅值的電流充放電引起的超級電容器電壓變化很小，因此，三次及以上諧波引起的超級電容器電壓變化可以忽略不計，即方波電流信號中引起超級電容器電壓變化的主要成分為等頻率的交流正弦基波。通過改變對超級電容器充放電的方波電流頻率，在前1/2周期恒流充電，后1/2周期恒流放電，根據(jù)式(10)的方程組，經(jīng)電壓電流數(shù)據(jù)可以計算出各交流角頻率ω下對應(yīng)的超級電容器阻抗參數(shù)Re(ω)、Im(ω)，代入分?jǐn)?shù)階模型的等效阻抗表達式，即可求出分?jǐn)?shù)階模型的未知參數(shù)。(10)式(10)中，Re(ω)為阻抗實部，Im(ω)為阻抗虛部，T為恒流充放電周期，ω為恒流充放電角頻率，u0為充放電初始時的超級電容器端電壓，uT/2為充電結(jié)束時的超級電容器端電壓，uT為放電結(jié)束時的超級電容器端電壓，i為恒流充放電電流。首先，在主電容特性頻段選擇幾組頻率，通過選定頻率的恒流充放電測試，計算出相應(yīng)角頻率ωL(2π×10mHz≤ωL≤2π×100mHz)下的阻抗虛部Im(ωL)，代入阻抗虛部等效表達式(7)，可以得到以下關(guān)系：(11)式中，分?jǐn)?shù)階階數(shù)β和主電容系數(shù)W是未知參數(shù)。通過計算出的幾組Im(ωL)，近似求解得到分?jǐn)?shù)階階數(shù)β和主電容系數(shù)W。其次，在電阻特性頻段選擇一組頻率，通過選定頻率的恒流充放電測試，計算出相應(yīng)角頻率ωH(ωH≥2π×100Hz)的阻抗實部Re(ωH)，代入阻抗實部等效表達式(9)，可以得到以下關(guān)系：(12)式中，電阻Rs是未知參數(shù)。通過計算Re(ωH)，得到電阻Rs。再選取主電容特性頻段的最小頻率點，通過選定頻率的恒流充放電測試，計算出相應(yīng)角頻率ωmin(ωmin≈2π×10mHz)的阻抗實部Re(ωmin)，代入阻抗實部等效表達式(8)，可以得到以下關(guān)系：(13)式中，電阻Rp是未知參數(shù)，分?jǐn)?shù)階階數(shù)β、主電容系數(shù)W和電阻Rs已由式(11)和式(12)解得。通過計算Re(ωmin)，得到電阻Rp。最后，在電荷擴散頻段選擇幾組頻率，通過選定頻率的恒流充放電測試，計算出相應(yīng)角頻率ωM(2π×200mHz≤ωM≤2π×100Hz)下的阻抗虛部Im(ωM)，代入阻抗虛部表達式(6)?？梢缘玫揭韵玛P(guān)系：(14)式中，包含在表達式A和B中分?jǐn)?shù)階階數(shù)α和CPE元件電容系數(shù)C是未知參數(shù)，分?jǐn)?shù)階階數(shù)β、主電容系數(shù)W、電阻Rs和電阻Rp已由式(11)～(13)解得。通過計算出的多組Im(ωM)，近似求解得到分?jǐn)?shù)階階數(shù)α和CPE元件電容系數(shù)C。上述步驟對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)辨識流程圖如圖3所示。由圖可知，各頻段的等效阻抗表達式包含了分?jǐn)?shù)階模型中不同的未知參數(shù)，在分步求解過程中，減少了未知參數(shù)的個數(shù)，從而大大降低了分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)辨識的難度。圖3

超級電容器分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)辨識流程圖3實驗設(shè)計3.1實驗平臺本文設(shè)計的實驗平臺如圖4(a)所示，具體包括用于實現(xiàn)充放電功能的可編程電源(Chroma62150H-1000Sver007)和電子負(fù)載(Chroma63204V006)，用于采樣數(shù)據(jù)的示波器，用于控制可編程電源啟動和處理數(shù)據(jù)的上位機，用于控制電子負(fù)載啟動的同步開關(guān)等。實驗架構(gòu)如圖4(b)所示，可編程電源在上位機命令下啟動，通過同步開關(guān)同步啟動電子負(fù)載。電源和電子負(fù)載的工作時序互補，前半周期，電源對超級電容器進行恒流充電，電子負(fù)載保持零輸入狀態(tài)；后半周期，超級電容器對電子負(fù)載進行恒流放電，電源保持零輸出狀態(tài)。對超級電容進行若干個周期的循環(huán)充放電，示波器采集超級電容器的端電壓和充放電電流數(shù)據(jù)，送至上位機進行處理。圖4

辨識超級電容器分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)的實驗平臺3.2實驗結(jié)果本文選取型號為CHV-2R7307R-TWX-S1的超級電容器作為研究對象，其額定電壓為2.7V，標(biāo)稱容值為300F。根據(jù)上一節(jié)內(nèi)容的分析，在各頻段內(nèi)任意選取幾組測試頻率，實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階模型的全頻段辨識。本文選擇測試的充放電頻率為10.0mHz、11.1mHz、16.7mHz、25.0mHz、33.3mHz、50.0mHz、50.0Hz、100.0Hz。若充放電電流較大，當(dāng)電容電壓接近超級電容器額定電壓時，難以繼續(xù)維持恒流充電；若充放電電流較小，在固定的充放電周期內(nèi)，超級電容器端電壓變化太小。經(jīng)測試，選取2A大小的電流對超級電容器進行多頻率恒流充放電實驗最佳。不同頻率恒流充放電實驗部分波形如圖6所示，每個頻率下進行6次循環(huán)測試。圖5

超級電容器分?jǐn)?shù)階模型部分參數(shù)擬合曲線圖6

不同頻率的恒流(2A)充放電波形

通過示波器采樣各頻率恒流充放電實驗的電壓電流數(shù)據(jù)，根據(jù)式(10)所示的方程組，計算出不同角頻率ω下對應(yīng)的阻抗參數(shù)Re(Z)、Im(Z)。得到的結(jié)果如表1所示。表1

不同充放電頻率下的超級電容器阻抗參數(shù)4參數(shù)辨識及驗證4.1分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)辨識根據(jù)圖3所示的參數(shù)辨識流程，首先將主電容特性頻段的6組阻抗參數(shù)Im(ωL)代入式(11)，通過FirstOptimization軟件進行曲線擬合，近似求解分?jǐn)?shù)階階數(shù)β和主電容系數(shù)W，擬合曲線如圖5所示，分?jǐn)?shù)階階數(shù)β和主電容系數(shù)W的擬合結(jié)果如表2所示；接著，選取電阻特性頻段的1組阻抗參數(shù)Re(ωH)代入式(12)，求解串聯(lián)電阻Rs；然后，選取主電容特性頻段的最小頻率ωmin的阻抗參數(shù)Re(ωmin)代入式(13)，求解并聯(lián)電阻Rp；最后，選取電荷擴散頻段的兩個阻抗參數(shù)Im(ωM)代入式(14)，求解分?jǐn)?shù)階階數(shù)α和CPE元件電容系數(shù)C。最終得到的參數(shù)辨識結(jié)果如表3所示。表2

超級電容器分?jǐn)?shù)階模型的部分參數(shù)擬合結(jié)果表3

超級電容器分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)辨識結(jié)果4.2驗證分析（1）DST動態(tài)測試為驗證分頻段辨識法求取參數(shù)的有效性，利用動態(tài)工況DST測試對超級電容器進行實體測試。DST測試是美國電池測試手冊提供的變功率充放電測試序列，如圖7所示。該測試根據(jù)車用超級電容在標(biāo)準(zhǔn)循環(huán)工況下行駛時的加載情況，模擬了不同功率等級的方波電流序列，可以有效地激勵超級電容，獲取豐富的測試數(shù)據(jù)，常用作超級電容器模型參數(shù)辨識的測試序列。圖7

DST測試序列圖

將分頻段辨識法得到的參數(shù)代入到超級電容器分?jǐn)?shù)階模型中，仿真得到超級電容器在DST測試下的輸出電壓，并通過示波器采集超級電容器在DST測試下的實測電壓，仿真結(jié)果和實測電壓如圖8所示。由圖可知，在DST測試電流功率等級變化較大時，超級電容器電壓誤差波動變大。經(jīng)計算分析，分頻段辨識法的輸出