第一講 圓的基本性質(zhì)（考點(diǎn)精析+真題精講）（解析版）

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1講圓的基本性質(zhì)№考向解讀第1講圓的基本性質(zhì)№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?題型突破?專題精練第六章圓第1講圓的基本性質(zhì)→?考點(diǎn)精析←→?真題精講←考向一圓周角圓心角考向二扇形弧長及面積考向二切線定理第1講圓的基本性質(zhì)→?考點(diǎn)精析←一、圓的有關(guān)概念1．與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)1）圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形．2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦．3）弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)?。?）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．5）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點(diǎn)的角叫做圓周角．6）弦心距：圓心到弦的距離．2．注意1）經(jīng)過圓心的直線是該圓的對稱軸，故圓的對稱軸有無數(shù)條；2）3點(diǎn)確定一個圓，經(jīng)過1點(diǎn)或2點(diǎn)的圓有無數(shù)個．3）任意三角形的三個頂點(diǎn)確定一個圓，即該三角形的外接圓．二、垂徑定理及其推論1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。P(guān)于垂徑定理的計算常與勾股定理相結(jié)合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形．2．推論1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?、圓心角、弧、弦的關(guān)系1．定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系必須在同圓等式中才成立．2．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．四、圓周角定理及其推論1．定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．2．推論：1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．2）直徑所對的圓周角是直角．圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等．五、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d．(1)d<r?點(diǎn)在⊙O內(nèi)；(2)d=r?點(diǎn)在⊙O上；(3)d>r?點(diǎn)在⊙O外．判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．2．直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點(diǎn)個數(shù)0個1個2個數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，所以關(guān)于圓的位置或計算題中常常出現(xiàn)分類討論多解的情況．六、切線的性質(zhì)與判定1．切線的性質(zhì)1）切線與圓只有一個公共點(diǎn)．2）切線到圓心的距離等于圓的半徑．3）切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．利用切線的性質(zhì)解決問題時，通常連過切點(diǎn)的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題．2．切線的判定1）與圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）．2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線．3）經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點(diǎn)時，作垂直，證垂線段等于半徑．七、與圓有關(guān)的計算公式1．弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長l=；扇形的面積S==．2．圓錐與側(cè)面展開圖1）圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不規(guī)則圖形的面積時，注意利用割補(bǔ)法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解．→?真題精講←題型一圓周角和圓心角1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，若，，則扇形(陰影部分)的面積是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理求得，然后根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，連接，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由是的直徑，得出，進(jìn)而根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)．若，則等于（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，如圖所示，根據(jù)圓周角定理，找到各個角之間的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示：

點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)，，，，根據(jù)圓周角定理可知，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓中求角度問題，涉及圓周角定理，找準(zhǔn)各個角之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，．若，，則的度數(shù)與的長分別為（

）

A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，【答案】C【分析】過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，由題意易得，然后可得，，，進(jìn)而可得，最后問題可求解．【詳解】解：過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，，，∴，∴，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、圓周角定理及三角函數(shù)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、圓周角定理及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理，可以得到的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可以求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)．7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，半徑互相垂直，點(diǎn)在劣弧上．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)互相垂直可得所對的圓心角為，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，

半徑互相垂直，，所對的圓心角為，所對的圓周角，又，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握：同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．8．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，圓的半徑為7，，則弦的長度為___________．

【答案】【分析】連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，，然后解直角三角形可得的長，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，，，∵圓的半徑為7，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三線合一，熟練掌握圓周角定理和解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．9．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則________．

【答案】35【分析】由同弧所對的圓周角相等，得再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得，然后由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：是所對的圓周角，是的直徑，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，以及直角三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．10．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦的長為8，點(diǎn)C在延長線上，且．

(1)求的半徑；(2)求的正切值．【答案】(1)5(2)【分析】（1）延長，交于點(diǎn)，連接，先根據(jù)圓周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，先解直角三角形可得，從而可得，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)正切的定義即可得．【詳解】（1）解：如圖，延長，交于點(diǎn)，連接，

由圓周角定理得：，弦的長為8，且，，解得，的半徑為．（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

的半徑為5，，，，，，即，解得，，，則的正切值為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．題型二切線定理11．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，切于點(diǎn)B，連接交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，連接，證明，，可得，從而可得．【詳解】解：如圖，連接，

∵切于點(diǎn)B，∴，∵，，∴，∴，∴；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．12．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，直線與相切于點(diǎn)C，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖，連接，

直線與相切，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓的切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是外一點(diǎn)，，分別與相切于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，已知，則的度數(shù)是___________．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：如圖，

∵，分別與相切于點(diǎn)，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，求得是解題的關(guān)鍵．14．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，與相切于點(diǎn)，連接，若，則的大小為__________．

【答案】【分析】證明，可得，結(jié)合，證明，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟記基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．15．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別與相切于兩點(diǎn)，且．若點(diǎn)是上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，則的大小為___________．

【答案】或【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，得出，然后根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時，

∵分別與相切于兩點(diǎn)∴，∵．∴∵，∴，當(dāng)點(diǎn)在上時，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，多邊形內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．16．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，，半徑為2的與角的兩邊相切，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)，則t的取值范圍是_____．

【答案】【分析】利用切線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)求得，再求得，分兩種情況討論，畫出圖形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)與兩邊的切點(diǎn)分別為D、G，連接，延長交于點(diǎn)H，

由，∵，∴，∴，∴，如圖，延長交于點(diǎn)Q，

同理，∵，∴，當(dāng)與相切時，有最大或最小值，連接，∵D、E都是切點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴的最大值為；如圖，

同理，的最小值為；綜上，t的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得是解題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．（2）根據(jù)是的切線，可得，在中，勾股定理求得，根據(jù)，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：∵于點(diǎn)，∴，∴．

（2）∵是的切線，是的半徑，∴．在中，∵，∴．∵，∴∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．18．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長線上一點(diǎn)，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若直徑，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，余角的性質(zhì)即可求得結(jié)論；(2)根據(jù)已知條件可知，再根據(jù)正切的定義和相似三角形的性質(zhì)得到線段的關(guān)系即可求得線段的長度．【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，即，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵在中，∴∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，又∵，即，解得（取正值），∴，【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定定理，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)和判定，找出正切的定義與相似三角形相似比的關(guān)聯(lián)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在線段的延長線上，且．

(1)求證：EF與相切；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用圓周角定理得到，結(jié)合已知推出，再證明，推出，即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)半徑為x，則，在中，利用正弦函數(shù)求得半徑的長，再在中，解直角三角形即可求解．【詳解】（1）證明：連接，

∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵為半徑，∴EF與相切；（2）解：設(shè)半徑為x，則，∵，，∴，在中，，，∴，即，解得，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，∴半徑為4，則，在中，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握圓的相關(guān)知識和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型三垂徑定理20．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，則（

）

A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】連接，由圓周角定理得，由得，，，在中，由，計算即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示，

，，，，，，在中，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理，垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線．21．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，是以點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點(diǎn)，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值計算公式：．當(dāng)，時，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，后代入公式計算即可．【詳解】連接，根據(jù)題意，是以點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點(diǎn)，，

得，∴點(diǎn)M，N，O三點(diǎn)共線，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．22．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，，，主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，主橋拱半徑R，，是半徑，且，，在中，，，解得：，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解題關(guān)鍵．23．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)D，M分別是弦，弧的中點(diǎn)，，則的長是________．

【答案】4【分析】根據(jù)圓周角定理得出，再由勾股定理確定，半徑為，利用垂徑定理確定，且，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)D，M分別是弦，弧的中點(diǎn)，∴，且，∴，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓周角定理、垂徑定理及勾股定理解三角形，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．24．（2