高等數(shù)學(xué)競賽談

高等數(shù)學(xué)競賽

一、大綱

中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（非數(shù)學(xué)專業(yè)類）競賽內(nèi)容為大學(xué)本科理工科專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程

的教學(xué)內(nèi)容，具體內(nèi)容如下：

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

1.函數(shù)的概念及表示法、簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立.

2.函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.

3.復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形、初等函數(shù).

4.數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的左極限與右極限.

5.無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系、無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較.

6.極限的四則運(yùn)算、極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限.

7.函數(shù)的連續(xù)性（含左連續(xù)與右連續(xù)）、函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.

8.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性.

9.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）.

二、一元函數(shù)微分學(xué)

1.導(dǎo)數(shù)和微分的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)

系、平面曲線的切線和法線.

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算、一階微分形式的不變性.

3.復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法.

4.高階導(dǎo)數(shù)的概念、分段函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).

5.微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗II中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.

6.洛必達(dá)（L'Hospital）法則與求未定式極限.

7.函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線（水平、鉛直和斜漸近

線）、函數(shù)圖形的描繪.

8.函數(shù)最大值和最小值及其簡單應(yīng)用.

9.弧微分、曲率、曲率半徑.

三、一元函數(shù)積分學(xué)

1.原函數(shù)和不定積分的概念.

2.不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式.

3.定積分的概念和基本性質(zhì)、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、

牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式.

4.不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法.

5.有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分.

6.廣義積分.

7.定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行

截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函數(shù)的平均值.

四.常微分方程

1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等.

2.變量可分離的微分方程、齊次微分方程、--階線性微分方程、伯努利（Bernoulli）方

程、全微分方程.

3.可用簡單的變量代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程：y(n)=f(x),

y"=/(x，V),y"=f(y,y').

4.線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理.

5.二階常系數(shù)齊次線性微分方程、高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程.

6.簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、

余弦函數(shù)，以及它們的和與積

7.歐拉(Euler)方程.

8.微分方程的簡單應(yīng)用

五、向量代數(shù)和空間解析幾何

1.向量的概念、向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積和向量積、向量的混合積.

2.兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.

3.向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算、單位向量、方向數(shù)與方向余弦.

4.曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.

5.平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、點(diǎn)到平面和

點(diǎn)到直線的距離.

6.球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程、常用的二次

曲面方程及其圖形.

7.空間曲線的參數(shù)方程和一般方程、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程.

六、多元函數(shù)微分學(xué)

1.多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義.

2.二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

3.多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.

4.多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法.

5.二階偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度.

6.空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線.

7.二元函數(shù)的二階泰勒公式.

8.多元函數(shù)極值和條件極值、拉格朗日乘數(shù)法、多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡

單應(yīng)用.

七、多元函數(shù)積分學(xué)

1.二重積分和三重積分的概念及性質(zhì)、二重積分的計(jì)算(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))、三重積

分的計(jì)算(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)).

2.兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算、兩類曲線積分的關(guān)系.

3.格林(Green)公式、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件、已知二元函數(shù)全微分求原函

數(shù).

4.兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算、兩類曲面積分的關(guān)系.

5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及計(jì)算.

6.重積分、曲線積分和曲面積分的應(yīng)用(平面圖形的面積、立體圖形的體積、曲面面

積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、弓I力、功及流量等)

八、無窮級(jí)數(shù)

1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)的和、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件.

2.幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨

（Leibniz）判別法.

3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對收斂與條件收斂.

4.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念.

5.帚級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）、收斂域與和函數(shù).

6.嘉級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分）、簡單

基級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法.

7.初等函數(shù)的基級(jí)數(shù)展開式.

8.函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)、狄利克雷①irichlei）定理、函數(shù)在［T,

1］上的傅里葉級(jí)數(shù)、函數(shù)在［0,1］上一的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

第一部分極限與連續(xù)

一、求和式極限計(jì)算方法

1、定積分的定義求極限

方法：

（一）、按照定積分定義，如果［/。）公存在（。46）,貝IJ

Ja

網(wǎng)f/?）位=J：/。）”》

k=l

其中2=maxA^,。€［苦_|,七］?=1,2,--，〃），x=a,x=b<>

i0n

當(dāng)涉及到無窮項(xiàng)求極限時(shí)，其中有些題目可以利用定積分定義方法將其轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)

算。

由于/l=maxAx,.,所以在此類題目中，通常取4=^二幺，而仇。通常選取為

jn

。=0/=1,。則取的左端點(diǎn)、右端點(diǎn)、中點(diǎn)，甚至是其他特殊點(diǎn)，比如;分點(diǎn)、

n

9rr

士分點(diǎn)。另外此類極限表達(dá)形式一般是上￡/⑴或者上￡/（0其中c為常數(shù)。

3n,=irii=o

（二）、連積形式極限，如!則0/⑴,則采用指數(shù)形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為求和式，然后再利用

垃ln/(i)

一的方法。即將limf(i)轉(zhuǎn)化為e”形式。

AT8

?4”

例］求lim￡丁，

"T8幺4〃2+公

分析此題是利用定積分定義求極限。一般有四個(gè)步驟：

1.將求和表達(dá)式乘上求和范圍值〃，然后將其表示為X（比如x=上）的函數(shù)表達(dá)式,

n

找出被積函數(shù)/（x）；

2.確定定積分的積分區(qū)間，通常為［0』］；

3.求出被積函數(shù)的原函數(shù)；

4.利用牛頓-萊布尼茨公式求定積分值，即得所求極限

An444/7"

解因?yàn)?2一二—"二」方（求和表達(dá)式為:2，X=2）,即有被積函數(shù)

4幾~+k4+（幺/4+r4n+kn

n

4

由此有

'4〃f】41cx.1_I

hm>------r=-----ax-2arctan—l=2arctan—

…￡4/+/20n2

JO4+X2

—Ic4.￡〃x+2Z—l

例2求hm￡-----——

iyn

5nx+2k_1nx+2k_12k—1與、?*2k—11k,,..匚廣”

解-----2----〃=---------=x+-----2,注意------為區(qū)間［——，一］的t中點(diǎn)，所以

nn2n2nnn

..nx+2k~~1nx+2k-12k一1__.,.

有-----$----n=---------=x+-----2=x+2r,此lt即為被積函數(shù)。

nn2n

由此有

..白〃％+2女_1ric、」.

hmX--------=J°(x+2f)力=x+1

k,—2—+〃

例3設(shè)/⑶為連續(xù)函數(shù)，極限lim汽一—/(3"-2

用定積分可表示為()。

"t8Mn3〃

A、F(x+1)f(x)dxB、f(x+l)/(x)dx

C、D、f(X+1-怖)/(X一卷)dx

k---\-n

33k-23k-23k-23k_2,_1k\...

解/(),〃=(+1)/(而------為［-----,—］的一分點(diǎn)處,

3〃3n3n3〃nn3

所以被積函數(shù)是(x+l)/(x),由此得答案為B。

例4求+1)(〃+2)…(2〃-1)

"T8〃v

分析此題是利用定積分定義求極限。一般有五個(gè)步驟：

1,將乘積形式轉(zhuǎn)化為求和形式

2.將求和表達(dá)式乘上求和范圍值〃，然后將其表示為x(比如x=&)的函數(shù)表達(dá)式,

n

找出被積函數(shù)/(%)；

3.確定定積分的積分區(qū)間，通常為［0,1］；

4.求出被枳函數(shù)的原函數(shù)；

5.利用牛頓-萊布尼茨公式求定積分值，即得所求極限

/I-1If

1,-------------------------------------------^-ln(l+-)

解因?yàn)橐?〃(〃+1)(〃+2)...(2〃—1)=>"'，由于

n

Ikk

—ln(l+—)?幾=ln(l+—)=ln(l+x)

nnn

所以

lim-Yln(l+-)=|"ln(l+x)dx=21n2-l=ln-

00〃自〃J。e

故

1I---------------------In-4

lim—4〃(幾+1)(〃+2)...(2"-1)=ee=—

usne

例5求lim,"(2〃+1)(2〃+3)…(4"-1)

“―>8幾

1._____________________￡"(2+也)

解因?yàn)橐?(2〃+1)(2〃+3)...(4〃-1)=合=?！ā?由于

n

1,..2k-1、,..2k-1-、..八、

—ln(2+-----)?n-ln(2H------2)=ln(z2+2x)

nn2n

(注意：生」為士的中點(diǎn))

2nnn

所以

1n2"_|-jQ

lim-Yln(2+-----)=fln(2+2x)dx=31n2—l=ln?

署nJoe

故

1_____________________o

lim-1(2〃+1)(2.+3)…(4〃-1)=-

〃T8〃e

,2k—1

nSin-----

例6求極限lim￡-----J

msy〃+1

,2k—1

.u.1“nn2k-1.中、幾2k—1,.

解因?yàn)?-----——n=----sin-----,如果設(shè)x=-----,則有

〃+1〃+1nn

.21

sin-----

n.

.?n=---sinx

n+171+1

因?yàn)榍蠛褪綐O限轉(zhuǎn)化為定積分以后，被積函數(shù)表達(dá)式中不能含有〃M參數(shù)。所以此時(shí)不能直

n

接利用定積分進(jìn)行計(jì)算，必須首先轉(zhuǎn)換求和式，注意到」一與求和表達(dá)式中變化量k無關(guān),

〃+1

所以有

.2k-I.2k.2k-1

nSin-----“sin-----〃Sin

limV--------=lim----V--------=limV--------

〃->8yn+1"f8〃+i仁n28啟n

由此有

.2k—1

sin

㈣N____n=fsinxdx=-cosx=1-cos1

n+l小0

,2k-1

,,sin——

例7求極限lim￡

〃+一r

k

.21

sin-----1-1

解因?yàn)?----?〃=」「sin'」，不能直接表達(dá)為不含有%％的/(元)形式(其中x

1+工〃

〃+一

knk

為取值［0,1］之間的〃，攵的表達(dá)式)。所以必須進(jìn)行轉(zhuǎn)換，由于

sin"匚而紇1sin空口

n_<幾<——生=1,2,…

+1-T

n〃+一n

k

,2k—1.2k-I

nsin；?sin

而limV--------=1-cos1(例6),limY——=1-cos1(參考例6)

依〃+1n

所以可由夾逼準(zhǔn)則得

.2k—1

nsin-----

limV-----—=1-cos1

—生1

k

注：由例4一7解法可以看出,有些利用定積分求極限題目，首先需要變形然后進(jìn)行轉(zhuǎn)化,

甚至牽涉到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)。但其本質(zhì)在于求和表達(dá)式乘上“以后，是否可以表示成一個(gè)變量的

函數(shù)，此變量是含有“與在1"或者0〃-1之間變化的女表達(dá)式，而且此函數(shù)不含有〃與

k?

2、嘉級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限

方法如果幕級(jí)數(shù)=S(x)(xe/),其中/為區(qū)間，則對于與€/有

n=0

8

Z%Xo"=S(Xo)

n=0

即

hmYakx^=S(x0)

此即為利用基級(jí)數(shù)和函數(shù)求極限的方法。其中需要解決兩個(gè)問題：

（一）、發(fā)現(xiàn)和式極限中對應(yīng)的基級(jí)數(shù)。其關(guān)鍵點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)表達(dá)式中含有黑式表達(dá)毛，如

果沒有發(fā)現(xiàn)X。"形式，就尋找是否存在人項(xiàng)，如果存在，通常此時(shí)設(shè)/=1；

（二）、求基級(jí)數(shù)和函數(shù)。一般方法有：

1）、公式法：利用特殊函數(shù)的嘉級(jí)數(shù)展開式。如：

(1)€=1H----1------1------F???H------1?…(-00<x<+00)

1!2!3!n\

X2x3x4x"+l

⑵ln(l+x)=x++...+(1)+...(-1<X<1)

234〃+1

52

尤3Vr?-'

(3)sinx=x-----+.........+(-1)"-1-----------F......(-co<x<+00)

3!5!(2〃-1)!

22

x-x"

(4)cosx-1------1........+(-1)"-------F......(-00<x<+00)

2!4!(2〃)！

(5)-1+X+x~++...+x"+...(-1<x<1)

1-x

心”,m(/n+1)2,m(m+l)(m+2)

(6)(1-x)-\+mx+----------x+--------------------x3+

2!3!

m(m++n-1)?

(-1<X<1)

n\

/=、z..m(m-1)2m(m-l)(m-2),

(7)(1-x)"'=1+mx+--------x2+----------------x3+.

2!3!

m{m--n+1)?

(-1<X<1)

n!

(8)-=1+2x+3x-++...+(/?+l)x"+...(-1<x<1)

(1-x)-

2)、間接法。通過求導(dǎo)或者求積分方法，將塞級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)換為已有公式方法，即

008C

S(x)=Z《H'=Zg(”)'(xe/)

n=0n=0〃+1

或者

S(x)=￡a"x"=J：xn-ldx(xe/)

n=0n=0

23n

例1求極限lim(l+—+=+…+—-)

3323"T

1s

分析此題含有某項(xiàng)Uy",所以首先可將和式轉(zhuǎn)化為幕級(jí)數(shù)，其次由于X"系數(shù)為"

3臺(tái)

需要通過積分方法消去〃，x"在[0,幻上不定積分為一Lx"。不能消去〃，所以先將

〃+1

力〃￡轉(zhuǎn)換為名〃x"=x￡鹿x"T形式，再求其和函數(shù)。對于之〃X"和函數(shù)另外一種求法

〃=0n=0n=0H=0

是利用公式。

23A7F7I

解1+±+[+…+表達(dá)中通項(xiàng)可以表達(dá)為〃X"T,其中X=士，所以先求塞級(jí)數(shù)

3323'13'13

￡〃x"的和函數(shù)，即有

n=0

------=1+2%+3%2+4/+...+(〃+l)x"+…(—1<x<1)

(1-X)-

則

lim(l+2+W+.??+，Y)=——―1=—

…二3323"一"(1一制T4

?%+2

例2求極限limV.....--------

"T8總?!+(女+1)!+/+2)!

分析此題不含有毒項(xiàng)，但含有階層項(xiàng)，所以可考慮含有階層項(xiàng)的器級(jí)數(shù)展開式，如

e、,sinx,cosx等。其次此題不能直接利用相關(guān)公式，需要對分母化簡，才可轉(zhuǎn)換相關(guān)嘉級(jí)

數(shù)。

解表達(dá)式-------―-------=-5一中沒有與”形式，但存在階層項(xiàng)必，故可設(shè)

Z!+(A+l)!+(k+2)!k!(k+2)°

001

X=1,即有幕級(jí)數(shù)￡一-一/,設(shè)其和函數(shù)為S(x),則有

金人(％+2)

屁---2------=5(1)

"T8￡k!+(%+i)!+(k+2)!

注意到

(-00<X<+00)

81

需要將￡一-一一中表達(dá)式分母中上+2消去，此時(shí)需要先求導(dǎo)后積分方法。由

￡人(4+2)

8

21k+2

xS(x)-EX

k=0k!(k+2)

兩邊求導(dǎo)，得

(x2S(x))，=—xk-xex(-00<x<4-00)

k=ok!

兩邊積分有

x~S(x)=['fe'df=exx-ex+\

即有

exx-ex+\

S(尤)("0)

得極限

k+2

limV1

Z!+(攵+1)!+(Z+2)!

例3求極限

f￡3^+1

分析由阿貝爾定理知，如果幕級(jí)數(shù)￡a“x"收斂半徑為R,且g>"R"（或者￡>“（-/?）"）

〃=0〃=0〃=0

收斂，則如果S（x）=￡a“x",x（或者xe[-R,R））在R處左連續(xù)（或者在一R

〃=0

處右連續(xù)），即有

8

S(R)limS(x)=￡a“R"(或者S(-R)ii%s(x)=Z4(-R)")

XTR-Ox->—R+0

〃=0〃=0

本題即可利用此法計(jì)算。

(―1)"

解因?yàn)閘im￡0-=￡設(shè)

28總3%+1公3n+l

003”

S(x)=fe

有!螃蕓3〃+1

=5(-1),且有xS(x)=Z-一，兩邊求導(dǎo)，得

n=\3〃+1

oo丫3〃+1oo丫3

(xs(x)y=(-1<X<1)

〃=13〃+1n=ii-X

兩邊積分得

。/、r/In(l-x)ln(x2+x+l)12x+l兀

xS(x)=----dt=-x--------+-----------+〒arctan-j=-

1"3673V3673

In26兀,cr.,,

取x=-1,有S(—1)——+-----1,所以

39

］沛之四=m+叵一］

i￡3A+l39

例4求極限lim之1

"一8M(A2-1)2*

解因?yàn)閘im￡————-=Y——-

令

，一￡(公一1)24￡面一］/

8J100v"8丫〃1CO—I1CO〃+l

xw0

有

?三4口八盛產(chǎn)油“土―),(-1<X<1)

n=21n=2n=21"

工n+locooi2

E^=Ef^=f(Zz，,^=fjT7-1-r)d/=-ln(1-x)-x-T(-1<X<1)

n=2n+1n=2n=21*Z

故

xln(l-x)x1In(l-x)

S(x)=------------------1------1------1---------------xw0

2422x

當(dāng)X=L時(shí),53In2

，所以

284

尾一^二3

"f8總供2—1)2女84

g1.9(—1)"(%2-女+1)

例5hm>\'\、------

…白2k

*2用*r(_1)A(^--/c+1)((-1)"(〃2-〃+1)出

解因?yàn)殛柖?-----3------=?------r------'設(shè)

80000

S(x)=Z(/-〃+-x2^n(n-l)xn~2+，x"

n=ln=2n=l

則有l(wèi)imt(一叫=￡〃(〃—1)￡-2,兩邊積分有

"f8M2，2M

0000

/i(x)=￡g?)df=￡1〃(〃-1)"一2由

”=2n=2

對〃(x)兩邊積分得

[〃。辿=￡[""‘山=￡/=1

-l-x(-1<%<1)

，i=2n=2T^x

兩次求導(dǎo)有

g。方言

(-1<X<1)

所以

(-1<x<1)

則有

例6limy(-l/k+i

一占(24+1)!

首先lim汽（-投

解k+1=<(_])“"+1由于

(2A+1)!—4)(2n+l)!

金(-I)"/"

=sinx,

S(2?+1)!

令x=l得

00(-1)"

Z=sin1

?=0(2/J+1)!

同理有

8(-1)"

E=cosl

n=0

而

8

〃+1ly_,(2〃+1)+1

E(-ir=(iy

(2〃+1)!一招‘(2〃+1)!

n=0

1.旦(-1)"sinl)

乙n=0(2〃)！2金(2〃+1)!2

所以

?*+]?

limy(-1/-.........=-(cos1+sin1)?

，—￡儂+1)!2

3、傅立葉級(jí)數(shù)方法求極限

方法：

傅立葉級(jí)數(shù)收斂定理若以2/為周期的函數(shù)/在[T,/]上按段光滑，則在每一點(diǎn)

xe[-/,/],<

小=&+8s吧+"sin”,

22?=i/I

其中

「/(

an=yx)cos^dx,n=0,1,2,…

然=；)mix.

L"*sin---dx,n=1,2,…

由傅立葉級(jí)數(shù)可以計(jì)算特殊求和式極限，其中常見公式為:

1111

產(chǎn)卡r+r4-----17+…

2232n2

111t1兀2

111(-1),,+1寺(―1嚴(yán)兀2

2222

I23n士/12

"(—]YK+I兀2

例1求證limV------

z8Mk~6

分析和中含有兀的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對應(yīng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一般是反三角函數(shù)：arcsinx,arctanx

的幕級(jí)數(shù)展開式，或者是周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)的展開式。級(jí)數(shù)一類常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和

一般采用傅立葉級(jí)數(shù)展開式，選擇的周期函數(shù)一般有：常數(shù)(在半個(gè)周期上)、X、V等,

周期一般為兀、士等。

2

?(-\嚴(yán)*(-]y,+l

對于本題，因?yàn)閘im￡([,所以引入輔助函數(shù)：

28Mk2普n-

cosnx

-1產(chǎn)

“=1

如果能夠找到周期為2兀的偶函數(shù)/(x)使得/(x)分段光滑，且有

/(X+O)+/(XO)="+y_J?+1COS〃X

則令x=0,就可計(jì)算出結(jié)果。而

sinnx71sinnx

1rr/、J1rrzx「,xAI

??=-7(x)cosnxJx=-[/(%)------f(x)-----dr]

兀J-71Kn-nJ"兀n

=1r￡Wco^r_j7r/.1(x)cos^

71nFn'An

2/5)(-1)"1/"(x)cos〃x_1r.

一一J\----1+—/(x)sinnxdr

兀nTin'J-11

=------z----1---j-f(x)sinnxdx

Ttn'nnAn

其中由于設(shè)/(x)為偶函數(shù)，所以/'(x)為奇函數(shù)，即有/'(兀)=一/'(—兀)。顯然如果

/"'(x)=0,則有

2/ux-ir

兀n

即可達(dá)到前面分析要求，所以可設(shè)/(x)=/。下面給出具體證明:

證明

在區(qū)間(一萬，乃)內(nèi)把函數(shù)/0)=/展開成Fourier級(jí)數(shù).

因?yàn)?(x)=/為偶函數(shù)，所以a=0。且

21

aQ--Pxdx——Tt;

%小3

]儼2,2儼2,2x1sinnx.r2,

a=—\xcosnxax=—xcosnxdx=--------——xsinnxdx

兀J?兀兀小Kn0n

——cosnx|K--Pcosnxdx±3=5-1,2,...

rmn0nnnnn

函數(shù)/(x)在區(qū)間(-4，")內(nèi)連續(xù)且按段光滑，因此由傅立葉級(jí)數(shù)收斂定理有

28

x2—+4V(-1)"笑￡Xe(-7T,71).

3￡"

由于/（一兀）=/（兀）,則該展開式在［-左,〃］上成立.

取X=O,可得

n(1M+loo(-1嚴(yán)/

2

Sk2n212

IT2001

取X=兀，得K2—+42(-1)"(一1)n—?所以有

〃1萬2

例2求證lim￡-------=一

…七（21）28

證明把下列函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù):

X2,0<X<7T,

/（X）=<0,x=萬，

-x2,71：<x<27r.

/及其周期延拓的圖形如圖所示.顯然/是按段光滑

的，因此它可以展開成傅里葉級(jí)數(shù).由定積分幾何意

義，有

21fino2

a[)=—ff(x)dx=—Pxdx+-[(-x)dx

兀①兀，)兀品

上_至=_2/

33

112

%=-)f(x)cosnxdx=—xcosnxdr+—￡(-x)cosnxdx

兀

=-[(--N)sin+Vcosnx]兀1/2.2x27i

---[(-------)sinnx+—cosnx]

7tnn〃,0Tinnn~7i

4

RET],

n22

bn=—f/(x)sinnxdx=—Pxsinnxdx+—f(-x)sinnxdx

冗J)兀U)兀&

=-[(-—+-4)cos〃X+乂sinnx]兀」[（一二+馬O與in/兀

71nrrn0?！ǐE〃一兀

所以當(dāng)工￡（0,兀）U（肛2兀）時(shí),

H427r222

/(%)=一兀2+^{—[(_1)，;-l]cosnx+—[—+(-7r----y)(l-(-l)〃)]sin〃x}

TZfn7innn

112

-7i2-8(cosx+—cos3x+—cos5x+???)+—{(3K2-4)sinx

357i

2o2A2

7t...JTC4._71..、

+—sin2x+(-------)sin3x+—sin4x+???}.

當(dāng)X=7l時(shí)，山于

f(7r-0)+f(n:+0)..

--------------------------------=0

2

所以

0=一乃？+8(/+/+$+???).(14)

得

"1

例3求極限lim￡-------------

28￡（4%+1）（4女+3）

初G111、1年?1,八”

￡（4k+l）（4k+3）2占4k+l4k+32&2k+l

下面有兩種方法可以求和，一是某級(jí)數(shù)方法，另外是傅立葉級(jí)數(shù)方法。

方法一傅立葉級(jí)數(shù)方法設(shè)

f（x）=7ixe[0,K]

進(jìn)行奇延拓，得

bn--f7isinnxdx=—（1-cosnn）=-----〃=2&+1伏=0,1,2,?一）

兀力n2Z+1

00QO2

/(x)=Zbnsinnx=￡—~-sin(2Zr+l)xXG(0,兀)

〃=1k=0+1

IT

且因?yàn)閄=—為連續(xù)點(diǎn)，得

2

_8A8|

兀=/中=Ebsin—n-V-----sin(2女+1)--V-----(-1)A

2占2女+12S?2A+1

Zn=l

所以

1

limVTl

(4k+l)(4A+3)8

方法二募級(jí)數(shù)方法設(shè)

S(x)=之8---1--

W2〃+1xe[-l,l)

則

1

limY=-S(l)

〃一＞8

太=0(4k+l)(4k+3)2

有

xe[-l,l)

得

xS(x)=J]1=arctanx