安徽省合肥市六校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市六校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1.已知等差數(shù)列前15項(xiàng)和為45，若，則（）A.16 B.55 C.-16 D.35〖答案〗A〖解析〗依題意，，所以，所以.故選：A.2.設(shè)在處可導(dǎo)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo),由導(dǎo)數(shù)的定義可得：，所以，.故選：A.3.已知等比數(shù)列{}，且，則的值為（）A.3 B. C.± D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)公比為，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.4.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閿?shù)列滿足，，，，，，由上可知，對(duì)任意的，，.故選：B.5.設(shè)函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)的部分圖像可以為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，所以排除BC選項(xiàng)，又，∴，所以排除D選項(xiàng)，故選：A.6.5名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有（）A.60種 B.90種 C.150種 D.240種〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5名同學(xué)分為3組，若分為1，2，2的三組，有種分組方法，若分為1，1，3的三組，有種分組方法，則有種分組方法，②將分好的三組安排到3個(gè)小區(qū)，有種情況，則有種不同的安排方法，故選：C.7.定義為個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，又，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)“均倒數(shù)”的定義，有，故，故，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，也符合上式，故.所以，注意到，故，故選C.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若有個(gè)不同零點(diǎn)，則與有個(gè)不同交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又當(dāng)時(shí)，恒成立，，由此可得與大致圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)，即時(shí)，與有個(gè)不同交點(diǎn)；實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.，則 B.，則C. D.〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.關(guān)于的二項(xiàng)展開式，下列說(shuō)法正確的是（）A.二項(xiàng)式系數(shù)和為128 B.各項(xiàng)系數(shù)和為C.項(xiàng)的系數(shù)為 D.第三項(xiàng)和第四項(xiàng)的系數(shù)相等〖答案〗AC〖解析〗由題知，中二項(xiàng)式系數(shù)和為，故選項(xiàng)A正確；將代入二項(xiàng)式中可得各項(xiàng)系數(shù)和為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在中，第項(xiàng)，取，即，所以，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故選項(xiàng)C正確.在中，根據(jù)得第三項(xiàng)的系數(shù)為，第四項(xiàng)的系數(shù)為，因?yàn)?，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.11.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d．已知，S12＞0，，則（）A. B.C.Sn＜0時(shí)，n的最小值為14 D.數(shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)〖答案〗ABD〖解析〗等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為，公差為d．由S12＞0，可得，則又，則，則選項(xiàng)A判斷正確；由，S12＞0，，可得，解之得，則選項(xiàng)B判斷正確；由可得或（舍）由，可得，則Sn＜0時(shí)，n的最小值為13.則選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；由時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，可得時(shí)，，，，時(shí)，二次函數(shù)開口向下，過(guò)原點(diǎn)，對(duì)稱軸則在時(shí)，單調(diào)遞減，且又時(shí)，為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列則在時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，則時(shí)取得最小值.則數(shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)，則選項(xiàng)D判斷正確.故選：ABD12.已知函數(shù)f（x）滿足xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，f（1）＝2．則當(dāng)x＞0時(shí)，下列說(shuō)法中正確的是（）A.f（2）＝ln2＋1 B.x＝2是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)C.函數(shù)y＝f（x）－x有且只有一個(gè)零點(diǎn) D.存在正實(shí)數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)閤f＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，則，，則x∈（0，2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；x∈（2，＋∞）時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．∴函數(shù)f（x）只有一個(gè)極小值點(diǎn)e，即只有一個(gè)極小值f（2）＝ln2＋1，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則，所以當(dāng)x→0時(shí)，y→＋∞，當(dāng)x＝e時(shí)，所以函數(shù)y＝f（x）－x有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；f（x）＞kx，可得，令，則，令，則，故x＞1時(shí)h（x）單調(diào)遞減，0＜x＜1時(shí)，h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）≤h（1）＜0，所以g（x）在x＞0上單調(diào)遞增，無(wú)最小值，所以不存在正實(shí)數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，得，則，所以切線的方程為，即.故〖答案〗為：.14.二項(xiàng)式的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為___________.〖答案〗〖解析〗展開式的通項(xiàng)為，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故〖答案〗為：.15.如圖，一圓形信號(hào)燈分成A，B，C，D四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有4種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號(hào)總數(shù)為___________.〖答案〗84〖解析〗按照使用了多少種顏色分三類計(jì)數(shù)：第一類：使用種顏色，有種；第二類：使用種顏色，必有塊區(qū)域同色，有種；第三類：使用種顏色，必然與同色，且與同色，有種，所以不同的信號(hào)總數(shù)為種.故〖答案〗為：84.16.已知數(shù)列滿足，定義使（）為整數(shù)的k叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為_____．〖答案〗2036〖解析〗當(dāng)時(shí)，，所以，若滿足為正整數(shù)，則，即，所以在內(nèi)的所有“幸福數(shù)”的和為：,故〖答案〗為：2036.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟）17.為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.解：（1）設(shè)的公差為，由，，即，解得，所以.（2），，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.18.設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，曲線在處的切線斜率為8.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在閉區(qū)間上的最大值為10，求的值.解：（1），由已知得，得，解得．于是，由，得或，由，得，可知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合題意，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）知，因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以的最大值為，解得.19.（1）高二（10）班元旦晚會(huì)有2個(gè)唱歌節(jié)目a和b；2個(gè)相聲節(jié)目c和d．要求排出一個(gè)節(jié)目單，滿足第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目，列出所有可能的排列.（2）甲乙丙丁戊己庚7個(gè)人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，有多少種不同排法？（結(jié)果用數(shù)字表示）（3）從4名男教師和5名女教師中選出4名教師參加新教材培訓(xùn)，要求有男有女且至少有2名男教師參加，有多少種不同的選法？（結(jié)果用數(shù)字表示）解：（1）歌唱節(jié)目記為a，b，相聲節(jié)目記為c，d，滿足第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目的排列為：，bcda，bdca.（2）甲乙丙3人必須相鄰，把他們捆綁看作一個(gè)元素與除甲乙丙丁戊外的兩個(gè)元素排列，然后排其內(nèi)部順序，再在3個(gè)元素形成的4個(gè)空中插入丁和戊，故甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，共有種排法.（3）選2名男教師與2名女教師，共有種選法；選3名男教師與1名女教師，共有種選法，所以共有種選法.20.如圖所示，AB為沿海岸的高速路，海島上碼頭O離高速路最近點(diǎn)B的距離是120km，在距離B點(diǎn)300km的A處有一批藥品要盡快送達(dá)海島．現(xiàn)要用海陸聯(lián)運(yùn)的方式運(yùn)送這批藥品，設(shè)登船點(diǎn)C到B的距離為x，已知汽車速度為100km/h，快艇速度為50km/h．（參考數(shù)據(jù)：．）（1）寫出運(yùn)輸時(shí)間關(guān)于x的函數(shù)；（2）當(dāng)C選在何處時(shí)運(yùn)輸時(shí)間最短？解：（1）由題意知，OB⊥AB，則，∴.（2），令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以時(shí)，取最小值.所以當(dāng)點(diǎn)C選在距B點(diǎn)68km時(shí)運(yùn)輸時(shí)間最短.21.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，；數(shù)列中，.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并求的最大整數(shù)n．解：（1）∵，∴，則，∴，即，得．又，∴，即，可得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則；∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，即數(shù)列是等差數(shù)列，又，∴；（2）∵，∴，∴，∴，兩式相減可得：，∴,設(shè)，則，故，是單調(diào)遞增的故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增的，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故滿足的最大整數(shù)．22.設(shè)函數(shù)（1）求的單