安徽省宿州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省宿州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數(shù)列，，，，，的一個通項公式為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，，，，……，所以數(shù)列，，，，，的一個通項公式可以為.故選：D2.在數(shù)列中，，，則（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗數(shù)列中，，,則，故，故選：D3.在數(shù)列中，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，令，則，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以.故選：B4.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，得到，所以，故選：C.5.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，上面記載了一道有名的“孫子問題”，后來南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章·大衍求一術(shù)》中將此問題系統(tǒng)解決．“大衍求一術(shù)”屬于現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題，后傳入西方，被稱為“中國剩余定理”．現(xiàn)有一道同余式組問題：將正整數(shù)中，被4除余3且被6除余1的數(shù)，按由小到大的順序排成一列數(shù)，則（）A.115 B.117 C.119 D.121〖答案〗A〖解析〗被4除余3正整數(shù)為，被6除余1的正整數(shù)為，令，得，因為，所以，所以，所以.故選：A.6.若點P是曲線上任一點，則點P到直線的最小距離是（）A. B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，設(shè)和直線平行的曲線的切線的切點坐標為，則，則，則點到直線的距離即為點P到直線的最小距離，即為，故選：A7.正項等比數(shù)列中，，若，則的最小值等于（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由等比數(shù)列中，設(shè)公比為，且，由得，故，由得，，當且僅當，即時等號成立，故最小值為，故選：B8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)，可得，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，可得，令，可得當時，，所以單調(diào)遞增，又因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知等比數(shù)列中，滿足，，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列中，，，仍成等比數(shù)列〖答案〗AC〖解析〗由題意可知，對于A,,所以，故，所以為等比數(shù)列，故A正確，對于B,，，所以為等比數(shù)列，且公比為，首項為1，故是遞減數(shù)列，對于C,，所以為公差為1的等差數(shù)列，故C正確，對于D,，所以，成等比數(shù)列，，，不成等比數(shù)列，故D錯誤，故選：AC10.公差為d的等差數(shù)列，其前n項和為，，，下列說法正確的有（）A. B.C.中最大 D.〖答案〗ABD〖解析〗等差數(shù)列中，，，即，，∴，，，，所以AB正確，C錯誤；，由且，有，所以，D選項正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)有極大值點C.D.若方程恰有兩個不等的實根，則實數(shù)m的取值范圍是〖答案〗BC〖解析〗由函數(shù)，所以令，得，可得當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在時，取極大值，且極大值為，所以A錯誤，B正確；又，所以，C正確；又因為當時，，所以若方程恰有兩個不等的實根，則實數(shù)m的取值范圍是，D錯誤.故選：BC12.已知函數(shù)，，，若，圖象有公共點P，且在該點處的切線重合，則實數(shù)b的可能取值為（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗設(shè)函數(shù)與圖象的公共點為，可得，即，又由與，可得與，又因為點處切線重合，可得，即，解得或，因為，所以，將代入，可得，其中，設(shè)，可得，令，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)極小值，也是最小值，即為，即，所以，解得，結(jié)合選項，可得A、B符合題意.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則_____________．〖答案〗39〖解析〗由題意是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，則，則，故，故，故，故〖答案〗為：3914.已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足，則實數(shù)的值是_____________．〖答案〗－2〖解析〗因為，所以當時，，當時，，當時，，由，得到，由，得到，又因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，得到，解得.故〖答案〗為：.15.定義為n個正數(shù)，，…，的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列的前n項的“均倒數(shù)”為，記，則數(shù)列的前n項和為_____________．〖答案〗〖解析〗設(shè)數(shù)列的前n項和為，則，即，當時，，當時，，也適合該式，故，所以，則，故數(shù)列的前n項和為，故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，其中，若對于任意的，且，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由對于任意的，且，都有，則對于任意的恒成立，令，則不等式等價于對于任意的恒成立，即在區(qū)間單調(diào)遞增，又由，可得，則，即在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，令，可得恒成立，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.在等差數(shù)列中，已知首項，前n項和為，公差，，．（1）試求和k：（2）求數(shù)列的前n項和．解：（1）由，解得，或，，因為，所以，．（2）因為，，所以，則，且為等差數(shù)列，所以．18.已知數(shù)列的前n項和為，，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．解：（1）因為，所以，兩式相減得，當時，，也滿足，又因為，所以數(shù)列是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）可得，所以，，兩式相減得：，，.19.某企業(yè)在2023年全年內(nèi)計劃生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為x百件，生產(chǎn)過程中總成本w（x）（萬元）是關(guān)于x（百件）的一次函數(shù)，且，．預(yù)計生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完，且當年產(chǎn)量為x百件時，每百件產(chǎn)品的銷售收入（萬元）滿足．（1）寫出該企業(yè)今年生產(chǎn)這種產(chǎn)品的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）今年產(chǎn)量為多少百件時，該企業(yè)在這種產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤是多少？（參考數(shù)據(jù)：，，，）解：（1）設(shè)由，可得，解得，所以，依題意得，．（2）由（1）得，，則，令，得，，得，所以上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，有，答：當產(chǎn)量為7百件時，該企業(yè)在這種生產(chǎn)中獲利最大且最大利潤為51萬元．20.已知函數(shù)．（1）若在處取得極大值，求實數(shù)a的值；（2）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）因為，，所以，因為在處取得極大值，所以，所以，即，此時，當時，當時，此時是的極大值點，符合題意，故.（2）因為，，所以，，①當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，不合題意；②當時，，令，得，令，得，（?。┊?，即時，所以時，，即單調(diào)遞減，所以滿足題意；（ⅱ）當，即時，當時，，即單調(diào)遞增，當時，，即單調(diào)遞減，當時，，不合題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍是.21.已知數(shù)列的首項，，.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）是否存在互不相等的正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由.解：（1）因為，，所以，取倒得，所以，因為，所以，所以是，的等比數(shù)列，所以．（2）假設(shè)存在，則，，由（1）得，所以，化簡得，因為，當且僅當時等號成立，又，，互不相等，所以，即不存在符合條件的，，.22.已知函數(shù)有兩個不同的零點，且．（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）求證：．解：（1）由題意得，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點，所以不符合題意，當時，令，解得，當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)