東北三省四城市聯(lián)考暨沈陽市2024屆高三下學期質量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1東北三省四城市聯(lián)考暨沈陽市2024屆高三下學期數(shù)學質量檢測（二）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.2.拋物線過點，則的準線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗把點代入拋物線方程，得，解得，所以拋物線方程為，準線方程為.故選：B.3.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當時，，即，故，解得.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗則，即，又因為，故，，，故，因為，則，結合可得，，則.故.故選：C.5.甲、乙、丙三人從事三項工作，乙的年齡比從事工作人的年齡大，丙的年齡與從事工作人的年齡不同，從事工作人的年齡比甲的年齡小，則甲、乙、丙的職業(yè)分別是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得丙的年齡與從事工作人的年齡不同，故從事工作的人不是丙，又從事工作人年齡比甲的年齡小，故從事工作的人不是甲，則推出從事工作的人一定是乙，又從事工作人的年齡比甲的年齡小，故乙的年齡小于甲的年齡，而乙的年齡比從事工作人的年齡大，故從事工作的人是丙，可反推出從事工作的人是甲，顯然甲、乙、丙的職業(yè)分別是.故選：A.6.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，記事件“取出的重卦中至少有1個陰爻”，事件“取出的重卦中至少有3個陽爻”．則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，事件“取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰”，則，則故選：C7.正方體中，為正方形內一點（不含邊界），記為正方形的中心，直線與平面所成角分別為，．若，則點在（）A.線段上 B.線段上 C.線段上 D.線段上〖答案〗B〖解析〗直線與平面所成角大小分別為，等價于直線與直線成角大小分別為，由，可知P在線段上，又，則與所成角更小，則點P在線段上.故選：B.8.在同一平面直角坐標系內，函數(shù)及其導函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點，其坐標為，則（）A.函數(shù)的最大值為1B.函數(shù)的最小值為1C.函數(shù)最大值為1D.函數(shù)的最小值為1〖答案〗C〖解析〗AB選項，由題意可知，兩個函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個為導函數(shù)，則另外一個函數(shù)應該單調遞增，判斷可知，虛線部分為，實線部分為，故恒成立，故在R上單調遞增，則A，B顯然錯誤，對于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調遞增，當，，單調遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯誤.故選：C二、選擇題9.設方程在復數(shù)范圍內的兩根分別為，則下列關于的說法正確的有（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對A，由實系數(shù)一元二次方程求根公式知，則（與順序無關），故A正確；對B，因為，所以，故B正確；對C，由A，，故C錯誤；對D，由韋達定理可得，故D正確．故選：ABD10.已知正四棱錐的所有棱長均相等，為頂點在底面內的射影，則下列說法正確的有（）A.平面平面B.側面內存在無窮多個點，使得平面C.在正方形的邊上存在點，使得直線與底面所成角大小為D.動點分別在棱和上（不含端點），則二面角的范圍是〖答案〗BD〖解析〗已知所有棱長都相等，不妨設為1．對于A：過S作直線，因為，所以，所以為平面與平面的交線，取中點中點F，連接，由正四棱錐，可得，所以，所以為二面角的平面角，連接，在中，所以平面與平面不垂直，故A錯誤；對于B：取中點中點H，連接，因為，又平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以當時，平面，這樣的點P有無窮多，故B正確；對于C：由已知可知當Q在正方形各邊中點時，與底面所成角最大，，所以，所以不布存Q使得與底面成的角為，故C錯誤；對于D：作垂直于，連接，因為平面，又平面，所以，又，所以平面，因為平面，所以，因為則為二面角的平面角，當都無限向點B靠攏時，；當時，，所以二面角范圍是，故D正確．故選：BD.11.已知數(shù)列的通項公式為，則下列說法正確的有（）A.若，則數(shù)列單調遞減B.若對任意，都有，則C.若，則對任意，都有D.若的最大項與最小項之和為正數(shù)，則〖答案〗ACD〖解析〗對于選項A，由條件知，，而，結合，知，所以，所以，即數(shù)列單調遞減，故A正確；對于選項B，首先有.若，則當n為偶數(shù)時，，從而必成立；而當n為奇數(shù)且時，由，知，，從而，即，這意味著.所以只要，就一定有恒成立，所以由恒成立不可能得到，故B錯誤；對于選項C，顯然當同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時，必有同號，故；而當?shù)钠媾夹圆煌瑫r，為奇數(shù)，此時不妨設分別是奇數(shù)和偶數(shù)，則因為，故為偶數(shù)，而為奇數(shù)，所以，所以，故C正確；對于選項D，首先顯然的是，最大項必定是某個第偶數(shù)項，最小項必定是某個第奇數(shù)項.當為偶數(shù)時，要讓最大，即要讓最??；而當為奇數(shù)時，要讓最小，即要讓最小.設和分別是到距離最小的正偶數(shù)和正奇數(shù)，則條件相當于.而，故條件等價于，即.這表明，條件等價于，到距離最小的正奇數(shù)到的距離，大于到距離最小的正偶數(shù)到的距離.若，則到距離最小的正奇數(shù)和正偶數(shù)分別是1和2，而由可知，不符合條件；若，是正奇數(shù)，則到距離最小的正奇數(shù)到的距離為0，不可能大于到距離最小的正偶數(shù)到的距離，不符合條件；若，且不是正奇數(shù)，設到的距離最近的正偶數(shù)為，則.此時到距離最小的正偶數(shù)到的距離為，從而到距離最小的正奇數(shù)到的距離大于，進一步知任意正奇數(shù)到的距離都大于.從而，，這意味著，，所以.綜上，，，故D正確．故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.已知函數(shù)，則________．〖答案〗〖解析〗，，，故〖答案〗為：13.已知，若平面內滿足到直線的距離為1的點有且只有3個，則實數(shù)________．〖答案〗或〖解析〗設點，由可得：，兩邊平方整理得：，即點的軌跡是圓,圓心在原點，半徑為2.若該圓上有且只有3個點到直線的距離為1，則圓心到直線的距離，解得．故〖答案〗為：或.14.有序實數(shù)組稱為維向量，為該向量的范數(shù)，范數(shù)在度量向量的長度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數(shù)為奇數(shù)的的個數(shù)為，則______；______．（用含的式子表示）〖答案〗40〖解析〗根據乘法原理和加法原理得到．奇數(shù)維向量，范數(shù)為奇數(shù)，則的個數(shù)為奇數(shù)，即1的個數(shù)為1，3，5，…，，根據乘法原理和加法原理得到，兩式相減得到故〖答案〗為：2；.四、解答題15.在中，角所對的邊分別為，已知，角的平分線交邊于點，且.（1）求角的大??；（2）若，求的面積.解：（1）因為，由正弦定理可得，所以，故，.（2）由題意可知，即，化簡可得，在中，由余弦定理得，從而，解得或（舍），所以.16.已知函數(shù)．（1）當時，求在處的切線方程；（2）當時，求的單調區(qū)間和極值；（3）若對任意，有恒成立，求的取值范圍．解：（1）當時，，則，，，所以切線方程為．（2）當時，，．令，，故在R上單調遞減，而，因此0是在R上的唯一零點即：0是在R上的唯一零點當x變化時，，的變化情況如下表：x00極大值的單調遞增區(qū)間為：；遞減區(qū)間為：的極大值為，無極小值（3）由題意知，即，即，設，則，令，解得，當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以，所以17.正四棱臺的下底面邊長為，，為中點，已知點滿足，其中．（1）求證；（2）已知平面與平面所成角的余弦值為，當時，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：方法一：∵，∴．∵∴∴．∴，即．方法二：以底面ABCD的中心O為原點，以OM方向為y軸，過O點平行于AD向前方向為x軸，以過點O垂直平面ABCD向上方向為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設正四棱臺的高度為h，則有，，，，，，，，，．故，所以．（2）解：設平面ABCD的法向量為，設平面的法向量為，，，則有，即，令，則．又題意可得，可得．因為，經過計算可得，，．將代入，可得平面的法向量．設直線DP與平面所成角的為θ．18.以坐標原點為圓心的兩個同心圓半徑分別為和，為大圓上一動點，大圓半徑與小圓相交于點軸于于點的軌跡為．（1）求點軌跡的方程；（2）點，若點在上，且直線的斜率乘積為，線段的中點，當直線與軸的截距為負數(shù)時，求的余弦值．解：（1）設，則，消去得，所以點軌跡的方程為.（2）方法一：設，直線的方程為，，消去y得，，即由韋達定理知，，所以，整理得，即，當時，直線的方程為當時，直線的方程為，恒過點，不合題意設，將，將M、N兩點代入到橢圓得，兩式相減得，即，所以，故，設與y軸負平軸所形成的夾角為，因為，所以，設與x正半軸所形成的夾角為，因為，所以，.方法二：設，直線的方程為消去y可得：從而，故，將代入直線的方程可得，所以，又，將式點M中的k換成得到，，下面同方法一方法三：以為坐標原點建立新的直角坐標系，新坐標系下橢圓方程，在新坐標系下設，直線的方程為將橢圓方程變形可得：將直線的方程與橢圓方程結合，構成其次分式可得，整理得即：，所以，故，直線的方程為，下面同方法一方法四：設，直線的方程為消去y可得：因為是上述一元二次方程的兩個根，所以①又，整理得：，，在①式中令得：②令得：③可得：整理得，下面同方法一19.入冬以來，東北成為全國旅游和網絡話題的“頂流”．南方的小土豆們紛紛北上體驗東北最美的冬天，這個冬天火的不只是東北的美食、東北人的熱情，還有東北的洗浴中心，擁擠程度堪比春運，南方游客直接拉著行李箱進入．東北某城市洗浴中心花式寵“且”，為給顧客更好的體驗，推出了和兩個套餐服務，顧客可自由選擇和兩個套餐之一，并在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是該洗浴中心在App平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．日期12345678910銷售量（千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經計算可得：，，．（1）因為優(yōu)惠券購買火爆，App平臺在第10天時系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導致當天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據，求關于的經驗回歸方程（結果中的數(shù)值用分數(shù)表示）；（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，并且套餐可以用一張優(yōu)惠券，套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為張的概率為，求；（3）記（2）中所得概率的值構成數(shù)列．①求的最值；②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若