福建省竺數(shù)教研2024屆高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省竺數(shù)教研2024屆高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.某批農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量（單位：千克）服從正態(tài)分布，且其中質(zhì)量大于0.7的數(shù)量等于質(zhì)量小于0.4的數(shù)量，則下列四部分中（）A.質(zhì)量小于0.4的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多 B.質(zhì)量大于1.09的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多C.質(zhì)量大于0.7的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多 D.質(zhì)量小于0.55的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多〖答案〗D〖解析〗因?yàn)檫@批農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，且其中質(zhì)量大于0.7的數(shù)量等于質(zhì)量小于0.4的數(shù)量，所以由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知，觀察各選項(xiàng)，由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性知，質(zhì)量小于0.55的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量對(duì)應(yīng)的概率為，其它選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的概率都小于，所以質(zhì)量小于0.55的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量最多，故D正確.故選：D.2.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，復(fù)數(shù)，若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則（）A.在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸正半軸上B.在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸負(fù)半軸上C.在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限內(nèi)D.在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi)〖答案〗C〖解析〗設(shè)，由復(fù)數(shù)滿(mǎn)足知，故，則，由在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限知，，所以在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限內(nèi).故選：C.3.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若則的取值范圍為（）A.[15，20） B.[15，18）C.[12，20） D.[12，18）〖答案〗A〖解析〗且，，故.故選：A4.設(shè)雙曲線(xiàn)C其中一支的焦點(diǎn)為F，另一支的頂點(diǎn)為A，其兩漸近線(xiàn)分別為.若點(diǎn)B在m上，且，則m與n的夾角的正切值為（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗記兩漸近線(xiàn)的交點(diǎn)為O，設(shè)，雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)，焦距，由雙曲線(xiàn)的定義得：，其漸近線(xiàn)方程為：，由知，，所以，因?yàn)椋獮榈钠椒志€(xiàn)，記n交于點(diǎn)H，因?yàn)闈u近線(xiàn)的性質(zhì)，有，綜上，，則m與n的夾角的正切值為.故選:B.5.若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則整數(shù)A的值是（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗由于函數(shù)在上有零點(diǎn)，所以方程在上有實(shí)數(shù)根，即與在上有交點(diǎn)，令，則，當(dāng)，單調(diào)遞減，故在區(qū)間上最多只有1個(gè)零點(diǎn)，又，即，解得，由于A是整數(shù)，所以.故選：C.6.已知，現(xiàn)有均由4個(gè)數(shù)組成的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差均為m，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差均為n，若將這兩組數(shù)據(jù)混合，則混合后新數(shù)據(jù)的方差（）A.一定大于n B.可能等于nC.一定大于m且小于n D.可能等于m〖答案〗B〖解析〗設(shè)甲組數(shù)據(jù)為，乙組數(shù)據(jù)為，合并后的數(shù)據(jù)為方差，解得，同理，解得，則，對(duì)于AC：若混合后的方差大于n，，即，由知，，但的正負(fù)不確定，故AC錯(cuò)誤；對(duì)于B：若混合后的方差等于n，則，即，由知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，混合后的方差等于n，符合題意，故B正確；對(duì)于D：若混合后的方差等于m，則，即由知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，混合后的方差等于m，不符合題意；故選：B7.一個(gè)底面半徑為2的圓錐的軸截面為正三角形，現(xiàn)用平行于底面的平面將該圓錐截成兩個(gè)部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在圓錐上的截面面積（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知，平面截圓錐后上半部分為一小圓錐，下半部分為一圓臺(tái)，且圓臺(tái)的上底面即小圓錐的底面，即該平面在原圓錐上的截面；圓臺(tái)的下底面即原圓錐的底面.不妨設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，圓臺(tái)下底面半徑為，小圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為，原圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為，由軸截面為正三角形知，，則小圓錐底面積為，底面周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，易知圓臺(tái)側(cè)面積可看作原圓錐側(cè)面積減去小圓錐側(cè)面積則圓臺(tái)側(cè)面積為，下底面積為由于兩部分表面積相等，則，因?yàn)?，則，所以截面面積為.故選:A.8.已知數(shù)列，，c是非零常數(shù)，若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.可能為公差不為0的等差數(shù)列B.可能為公比不為1的等比數(shù)列C.可能為公差不為0的等差數(shù)列D.可能為公比不為1的等比數(shù)列〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列，若為公比為1的等比數(shù)列，則此時(shí)為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：不妨設(shè)，，則，，當(dāng)能成立時(shí)，不是等比數(shù)列；當(dāng)不能成立時(shí)，，則，因?yàn)?，若要使比值是常?shù)，則，此時(shí)，不合題意；所以不可能公比不為1等比數(shù)列，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，同樣符合要求，此時(shí)，由選項(xiàng)A的分析知，可能為公差不為0的等差數(shù)列，即可能為公差不為0的等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，滿(mǎn)足為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，此時(shí)，為公比不為1的等比數(shù)列，D選項(xiàng)正確.故選：B.二、選擇題9.已知正整數(shù)x，n，其中x的因數(shù)不包含3，若的展開(kāi)式中有且只有6項(xiàng)能被9整除，則n的取值可以是（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗AB〖解析〗易知的展開(kāi)式的第項(xiàng)為，即當(dāng)時(shí)必能被9整除，即至少有項(xiàng)可被9整除，故轉(zhuǎn)為研究當(dāng)時(shí)是否滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)為，由于x的因數(shù)不含3，故無(wú)法被9整除；當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)為，若n為3的倍數(shù)，則該項(xiàng)可被9整除；若時(shí)該項(xiàng)可被9整除，則共有n項(xiàng)可被9整除，此時(shí)，為3的倍數(shù)，成立，若時(shí)該項(xiàng)不可被9整除，則共有項(xiàng)可被9整除，此時(shí)，符合題意.綜上，n可以為6或7.故選：AB10.已知正方體，分別是邊上（含端點(diǎn)）的點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)相對(duì)于正方體的位置唯一確定B.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)相對(duì)于正方體的位置唯一確定C.當(dāng)平面時(shí)，直線(xiàn)相對(duì)于正方體的位置唯一確定D.當(dāng)平面平面時(shí)，直線(xiàn)相對(duì)于正方體的位置唯一確定〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)條件成立，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，如圖1，設(shè)在平面上的投影為，，記的中點(diǎn)為，則對(duì)于任何滿(mǎn)足且不重合時(shí)，為平行四邊形，即有，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖1，設(shè)在直線(xiàn)上的投影為，對(duì)于任何滿(mǎn)足的情況，有，所以為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故直線(xiàn)的位置無(wú)法唯一確定，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖2，當(dāng)且僅當(dāng)為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，即點(diǎn)為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，因?yàn)?，面，面，所以面，連接，，連接，易知，面，面，所以面，又，面，所以平面平面，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.11.小竹以某速度沿正北方向勻速行進(jìn).某時(shí)刻時(shí)，其北偏西方向上有一距其6米的灑水樁恰好面朝正東方向.已知灑水樁會(huì)向面朝方向噴灑長(zhǎng)為米，可視為筆直線(xiàn)段的水柱，且其沿東—北—西—南—東的方向每3秒勻速旋轉(zhuǎn)一周循環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng).若小竹不希望被水柱淋濕且不改變行進(jìn)方向和速度，則他行進(jìn)的速度可以是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗依題意，繪出示意圖如圖所示易知，當(dāng)且僅當(dāng)在噴灑范圍與行進(jìn)路線(xiàn)重疊的危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)，小竹可能被淋濕.由于灑水樁最初面朝正東方向，不妨以灑水樁為起點(diǎn)向面朝方向作射線(xiàn)，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為小竹（用點(diǎn)代替）與該射線(xiàn)在行進(jìn)路線(xiàn)上的交點(diǎn)不重合的問(wèn)題.設(shè)時(shí)間為t秒以灑水樁為原點(diǎn)，正東方向、正北方向分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.AI則小竹行進(jìn)路線(xiàn)的方程為，由每3秒旋轉(zhuǎn)一周循環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)知t秒旋轉(zhuǎn)，因?yàn)?，結(jié)合題意可知，因?yàn)樗谏渚€(xiàn)與行進(jìn)路線(xiàn)的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為，又因?yàn)樾≈瘢ㄓ命c(diǎn)代替）的縱坐標(biāo)為，故可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖像，，與圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，即求當(dāng)v為何值時(shí)兩圖像無(wú)交點(diǎn)，由圖可得：.結(jié)合選項(xiàng)可知：AC錯(cuò)誤；BD正確.故選：BD.三、填空題12.在△ABC中，，若，則A的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所以，所?若，由，可得，由正弦函數(shù)在的單調(diào)性可得，，則，原題設(shè)不成立；若，同理可得，由，解得．故〖答案〗為：．13.設(shè)均為單位向量，且可按一定順序成等比數(shù)列，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的的值_________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由均為單位向量，設(shè)的夾角為，則，則，，，，當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，有，解得或（舍），則由二倍角公式得，，同理，當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，解得，當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，有，此時(shí)，.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.已知拋物線(xiàn)，過(guò)B直線(xiàn)交W于M，N兩點(diǎn)，若四邊形AMCN為等腰梯形，則它的面積為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗易知M，N的位置交替不影響結(jié)論，不妨令圖像如圖所示以方便研究，解法一：由等腰梯形的性質(zhì)得：，相似比為，所以，設(shè)直線(xiàn)MN為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得，所以，，解得，代入得，又因?yàn)?，由勾股定理可確定，可得，所以AMCN為等腰梯形的面積為；解法二：（二級(jí)結(jié)論）由題可知，點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線(xiàn)頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且弦MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則，（二級(jí)結(jié)論）又因?yàn)锳MCN為等腰梯形，所以，則，故，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，又因?yàn)?，所以，且，所以AMCN為等腰梯形的面積為；故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)在處的切線(xiàn)在軸上的截距為．（1）求值；（2）若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1），，，則函數(shù)在處的切線(xiàn)為：，即，令，則有，即；（2）由，即，若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)根，令，則，則當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，又時(shí)，，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，即有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).16.袋子中混有除顏色外均相同的2個(gè)白球和2個(gè)紅球，每次從中不放回的隨機(jī)取出1個(gè)球，當(dāng)袋中的紅球全部取出時(shí)停止取球.甲表示事件“第二次取出的球是紅球”，乙表示事件“停止取球時(shí)袋中剩余1個(gè)白球”.（1）求甲發(fā)生的概率；（2）證明：甲與乙相互獨(dú)立.（1）解：記事件丙為“第一次取出的球是紅球”，則，，，，所以，則；（2）證明：由題意知，乙等價(jià)于“停止取球時(shí)共取出了1個(gè)白球和2個(gè)紅球”，且第三次取出的球一定為紅球，故此時(shí)取出順序只有“紅、白、紅”與“白、紅、紅”兩種可能，則，其中，甲乙同時(shí)發(fā)生等價(jià)于“白、紅、紅”的情況，故，于是，所以甲與乙相互獨(dú)立.17.如圖，在三棱錐中，，已知二面角的大小為，.（1）求點(diǎn)P到平面的距離；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求：（Ⅰ）二面角的余弦值；（Ⅱ）直線(xiàn)與平面所成角.解：（1）由已知，得，，過(guò)P作的垂線(xiàn)交其于點(diǎn)D，過(guò)P作平面的垂線(xiàn)交其于點(diǎn)O，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以為二面角的平面角，，故；?）（Ⅰ）三棱錐的體積為，令，則三棱錐的體積，所以，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)；所以二面角的余弦值為；（Ⅱ）求得此時(shí)體積為，可知此時(shí)，，由平面幾何知識(shí)知，，記點(diǎn)C到平面的距離為h，由等體積法可知，求得，記直線(xiàn)與平面所成角為，則，即，所以直線(xiàn)與平面所成的角為.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，數(shù)列滿(mǎn)足，且均為正整數(shù).（1）是否存在數(shù)列，使得是等差數(shù)列？若存在，求此時(shí)的；若不存在，說(shuō)明理由；（2）若，求的通項(xiàng)公式.解：（1）由題意易知，，當(dāng)時(shí)，，由均為正整數(shù)知，為正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，，為整數(shù)，若存在數(shù)列，使得是等差數(shù)列，則，故，此時(shí)為整數(shù)，符合題意，所以，當(dāng)時(shí)，有，兩式相減得，整理得，故，當(dāng)n=2時(shí)，，故，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，充分性成立，故存在數(shù)列，使得是等差數(shù)列.此時(shí)；（2）法一、因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有，兩式相減，整理得：，由遞增數(shù)列的題意與整數(shù)的性質(zhì)知，，故，因?yàn)椋?，則，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以.法二、假設(shè)存在一個(gè)正整數(shù)，使得則，，則，不符合遞增數(shù)列的題意,故假設(shè)錯(cuò)誤，不存在這樣的正整數(shù)，使得，所以.19.一個(gè)面積為9的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，以為右頂點(diǎn)的橢圓Z上.（1）求Z的方程；（2）記該正方形在第一象限的頂點(diǎn)為P，斜率為的直線(xiàn)l與Z交于A，B兩點(diǎn).記△PAB的外接圓為S.（Ⅰ）求S的半徑的取值范圍；（Ⅱ）將Z與S的所有交點(diǎn)順次連接，求所得圖形的最大面積.解：（1）因?yàn)閆以為右頂點(diǎn)，由橢圓的定義，設(shè)，則，由對(duì)稱(chēng)性得，內(nèi)接正方形在第一象限的頂點(diǎn)為，代入橢圓方程，解得，所以的方程為，（2）解法一：（Ⅰ）由（1）得，設(shè)直線(xiàn)，，圓心，聯(lián)立直線(xiàn)l與橢圓Z的方程，得所以，由，解得有即，展開(kāi)得，，故x1，x2是方程的兩個(gè)解，所以故兩式聯(lián)立得若，則，故直線(xiàn)過(guò)，這與題設(shè)矛盾，所以，則，，故圓心的軌跡為，由，，所以，即解法二：（Ⅰ）由（1）得，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)l與橢圓Z的方程，得所以，由，解得由正弦定理得：由弦長(zhǎng)公式得，，代入得，有，，所以，故·解法三：（Ⅰ）由（1）得，當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，圓心與原點(diǎn)重合，此時(shí)當(dāng)直線(xiàn)PA，直線(xiàn)PB的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)，，，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓