廣東省2024屆高三高考模擬測試（二）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省2024屆高三高考模擬測試（二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A.B.CD.〖答案〗C〖解析〗由復(fù)數(shù)滿足，則，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離為.所以.故選：C.2.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得：，所以，由可得：，所以，所以.故選：C.3.在平行四邊形中，點(diǎn)滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，則由，∴.故選：B.4.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C.5 D.7〖答案〗A〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，即，解得，所?故選：A.5.在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時(shí)測量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復(fù)之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如下圖，設(shè)鐘樓的高度為，由，可得：，由，可得：，故，故，故選：D.6.函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，滿足，，則由可得，解得：.故選：B.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若等腰直角的直角邊為圓的一條弦，且圓心在外，點(diǎn)在圓外，則四邊形的面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，設(shè)，則，故，由余弦定理得，故等腰直角三角形的面積為，故四邊形面積為，其中，，其中，故，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故選：A.8.已知球與圓臺(tái)的上、下底面和側(cè)面均相切，且球與圓臺(tái)的體積之比為，則球與圓臺(tái)的表面積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，作出圓臺(tái)的軸截面，設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，球的半徑，則，過A作于點(diǎn)，由，得，化簡得，由球的體積公式，圓臺(tái)的體積公式，已知球與圓臺(tái)的體積之比為，則，化簡得，則，得，又球的表面積，圓臺(tái)的表面積，所以，故選：D.二、選擇題9.若是樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則（）A.極差等于的極差B.的平均數(shù)等于的平均數(shù)C.的中位數(shù)等于的中位數(shù)D.的標(biāo)準(zhǔn)差大于的標(biāo)準(zhǔn)差〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，故的極差等于的極差，故A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故B正確；對(duì)于C，如果是按從小到大排列，則的中位數(shù)為，不一定等于的中位數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的方差，而的方差，但當(dāng)時(shí)兩組數(shù)據(jù)的方差相等，其標(biāo)準(zhǔn)差也相等，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A：，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B：，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D：，所以為非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，，則下列說法正確的有（）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗由已知，，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：，設(shè)點(diǎn)，則，，由，得，所以，，，，所以，故A正確，，故B錯(cuò)誤，，,故，C正確，，由選項(xiàng)C可知，所以，故,D正確；故選：ACD.三、填空題12.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.〖答案〗〖解析〗展開式的通項(xiàng)公式為，故展開式中系數(shù)為，系數(shù)為，故的展開式中的系數(shù)為，故〖答案〗為：13.將一個(gè)直角三角板放置在桌面上方，如圖，記直角三角板為，其中，記桌面為平面.若，且與平面所成的角為，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為______.〖答案〗〖解析〗如圖，過作⊥，交于，過A作⊥，交于，因?yàn)樵谥校?，則，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，點(diǎn)A到的距離最大．因?yàn)椤停允荁C與平面所成的角，則，則，于是，，即A到的最大距離為．故〖答案〗為：．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置著一個(gè)邊長為1的等邊三角形，且滿足與軸平行，點(diǎn)在軸上.現(xiàn)將三角形沿軸在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則的最小正周期為______；在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，如圖，當(dāng)三角形沿軸在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)滾動(dòng)時(shí)，開始時(shí)，先繞旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，旋轉(zhuǎn)到，此時(shí)，然后再以為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后旋轉(zhuǎn)到，此時(shí)，當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)時(shí)，不旋轉(zhuǎn)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)到，當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)后，必以為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后旋轉(zhuǎn)到，點(diǎn)從開始到時(shí)是一個(gè)周期，故的周期為，如圖，為相鄰兩個(gè)零點(diǎn)，在上的圖像與軸圍成的圖形的面積為：.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，其漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程；（2）若為雙曲線上的兩點(diǎn)且不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線過的中點(diǎn)，求直線的斜率.解：（1）橢圓的焦點(diǎn)為，故，由雙曲線的漸近線為，故，故，故雙曲線方程為：.（2）設(shè)，的中點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€，故，而，，故，故，由題設(shè)可知的中點(diǎn)不為原點(diǎn)，故，所以，故直線的斜率為.此時(shí)，由可得，整理得到：，當(dāng)即或，即當(dāng)或時(shí)，直線存在且斜率為1.16.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：如圖，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，因?yàn)槿庵侵比庵裕驗(yàn)?，所以四邊形是正方形，?因?yàn)?，，所以又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以D.因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)?，平面，，所以平面．?）解：因?yàn)?，，所以．如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．因?yàn)槠矫?，所以平面的法向量為．設(shè)平面的法向量為，則即解得取，得設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．17.已知.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請(qǐng)求出直線；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）由題可得因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題意得，斜率，,由得，，即，即令，不妨設(shè)，則，記所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以方程無解，則滿足條件的兩點(diǎn)不存在.18.已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足（其中）.（1）若，且，證明：數(shù)列和均為等比數(shù)列；（2）若，以為三角形三邊長構(gòu)造序列（其中），記外接圓的面積為，證明：；（3）在（2）的條件下證明：數(shù)列是遞減數(shù)列.證明：（1）正項(xiàng)數(shù)列，滿足，兩式相減可得：，因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由兩式相加可得：，即，因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）因?yàn)?，由?）得是等比數(shù)列，所以，即，由（1）知，，因?yàn)?，所以，所以為常值?shù)列，故，由，因?yàn)?，所以等?hào)不成立，故，因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理得外接圓的直徑，所以，所以.（3）由（1）可知，，由（2）可知，，解得：，所以，隨著的增大而減小，又因?yàn)?，所以隨著的增大而減小，所以是遞減數(shù)列，因?yàn)?，所以是遞增數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，所以數(shù)列是遞減數(shù)列.19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)點(diǎn)陣，點(diǎn)陣中所有點(diǎn)的集合為，從集合中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量表示它們之間的距離.（1）當(dāng)時(shí)，求的分布列.（2）對(duì)給定的正整數(shù).（i）求隨機(jī)變量的所有可能取值的個(gè)數(shù)；（用含有的式子表示）（ii）求概率.（用含有的式子表示）解：（1）當(dāng)時(shí)，集合中共有個(gè)點(diǎn)，則所有可能取值為，，，，．所以，，，，．所以的分布列為（2）（i）由題意得，集合中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)之間的不同距離的總數(shù)可以轉(zhuǎn)化成邊長為的正方形邊界上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)之間的不同距離的個(gè)數(shù)的總和，在邊長為的正方形中，有個(gè)不同的距離，在邊長為的正方形中，有個(gè)不同的距離，在邊長為的正方形中，有個(gè)不同的距離，由各正方形大小不同，距離大小各不相同，得的所有可能取值的個(gè)數(shù)為．（ii）由對(duì)立事件，不妨考慮的情況，當(dāng)時(shí)，取出的兩點(diǎn)為邊長為的正方形的頂點(diǎn)，此時(shí)，這種正方形共有個(gè)，每個(gè)正方形中距離等于的情形有種，所以，事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，且，由，得，因?yàn)?，所以，所以，即，，，?dāng)，即時(shí)，取出的兩點(diǎn)為邊長分別為，的矩形的頂點(diǎn)，此時(shí)，這種矩形共有個(gè)，每個(gè)矩形中距