河北省衡水市部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省衡水市部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)試題第Ⅰ卷(選擇題)一、選擇題1.若,，則實(shí)數(shù)（）A.6 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，，所以，所以，解?故選：B.2.某中學(xué)舉行數(shù)學(xué)解題比賽，其中5人的比賽成績分別為：70，85，90，75，95，則這5人成績的上四分位數(shù)是（）A.90 B.75 C.95 D.70〖答案〗A〖解析〗將5人的比賽成績由小到大排列依次為：70，75，85，90，95，，5人成績的上四分位數(shù)為第四個(gè)數(shù):90.故選：A.3.生活中有很多常見的工具有獨(dú)特的幾何體結(jié)構(gòu)特征，例如垃圾畚箕，其結(jié)構(gòu)如圖所示的五面體，其中四邊形與都為等腰梯形，為平行四邊形，若面，且，記三棱錐的體積為，則該五面體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闉槠叫兴倪呅危裕?記梯形的高為，因?yàn)?，所以，所以，所以該五面體的體積.故選：C4已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A5.將5本不同的書（2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書）分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書，每本書只能分給一人，其中體育書只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配方法數(shù)為（）A.78 B.92 C.100 D.122〖答案〗C〖解析〗若將體育書分給甲，當(dāng)剩余4本書恰好分給乙、丙時(shí)，此時(shí)的分配方法有種，當(dāng)剩余4本書恰好分給甲、乙、丙三人時(shí)，此時(shí)的分配方法有種.綜上，將體育書分給甲，不同的分配方法數(shù)是.同理，將體育書分給乙，不同的分配方法數(shù)也是50.故不同的分配方法數(shù)是.故選：C6.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A.3 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗設(shè)過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，由，可得，，，由可得，在三角形中，由余弦定理可得：，即有，化簡可得，所以雙曲線的離心率．故選：C．7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)A：∵為偶函數(shù)，則，兩邊求導(dǎo)可得，∴奇函數(shù)，則，令，則可得，則，A成立；對(duì)B：令，則可得，則，B成立；∵，則可得，，則可得，兩式相加可得：，∴關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則，D成立，又∵，則可得，，則可得，∴以4為周期的周期函數(shù)，根據(jù)以上性質(zhì)只能推出，不能推出，C不一定成立，故選：ABD.8.已知正數(shù)，，滿足，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由解得，構(gòu)造函數(shù)，，顯然，故是減函數(shù)，結(jié)合，故時(shí)，，故，，再令，，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，結(jié)合，故，，則，，所以，，，故，由，，都是正數(shù)，故．故選：D．二、選擇題9.已知是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A.若，則B.若為純虛數(shù)，則C.若，則D.若，則集合所構(gòu)成區(qū)域的面積為〖答案〗AB〖解析〗，所以，故A正確；由為純虛數(shù)，可設(shè)，所以，因?yàn)榍遥?，故B正確；由，得，因?yàn)榕c均為虛數(shù)，所以二者之間不能比較大小，故C錯(cuò)誤；設(shè)復(fù)數(shù)，所以由得，所以集合所構(gòu)成區(qū)域是以為圓心為半徑的圓，所以面積為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（）A.B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項(xiàng)正確，所以，由且處在減區(qū)間，得，所以，，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位得，（時(shí)向右平移，時(shí)向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.11.如圖所示，有一個(gè)棱長為4的正四面體容器，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.直線與所成的角為B.的周長最小值為C.如果在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為D.如果在這個(gè)容器中放入4個(gè)完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，連接，由于為的中點(diǎn)，所以⊥，⊥，又，平面，所以直線⊥平面，又平面，所以⊥，故A正確；B選項(xiàng)，把沿著展開與平面同一個(gè)平面內(nèi)，連接交于點(diǎn)，則的最小值即為的長，由于，，，，所以，故，的周長最小值為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，要使小球半徑最大，則小球與四個(gè)面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)球心為，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)，則為的中心，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)椋?，同理，則，故，設(shè)，故，因?yàn)椤?，所以，即，解得，C正確；D選項(xiàng)，4個(gè)小球分兩層（1個(gè)，3個(gè)）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則4個(gè)小球外切，且小球與三個(gè)平面相切，設(shè)小球半徑為，四個(gè)小球球心連線是棱長為的正四面體，由C選項(xiàng)可知，其高為，由C選項(xiàng)可知，是正四面體的高，過點(diǎn)且與平面交于，與平面交于，則，，由C選項(xiàng)可知，正四面體內(nèi)切球的半徑是高的得，如圖正四面體中，，，正四面體高為，解得，D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷(非選擇題)三、填空題12.設(shè)集合，，則，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗由題意，或，若滿足，則，又因?yàn)?，所以，解?故〖答案〗為：.13.已知圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)A，B，的圓的方程為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，由解得，可得，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B，的圓的方程為，所以，解得，即，可得.故〖答案〗為：.14.已知等差數(shù)列（公差不為0）和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，如果關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解,則以下1003個(gè)方程中，有實(shí)數(shù)解的方程至少有__________個(gè).〖答案〗〖解析〗由題意得，，又因?yàn)椋?，代入得，要使方程有?shí)數(shù)解，則，顯然第個(gè)方程有解，設(shè)方程與方程的判別式分別為，則即，等號(hào)成立的條件，所以，中至少一個(gè)成立，同理可得，中至少一個(gè)成立，，，中至少一個(gè)成立，且，綜上，在所給的1003個(gè)方程中，有實(shí)根的方程最少個(gè)，故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為且求的取值范圍.解：（1）.因?yàn)樗怨?由解得當(dāng)時(shí)又所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由得（所以.因?yàn)樗杂炙杂秩切螢殇J角三角形，則，則，所以，又，，則，所以的取值范圍為.16.如圖，在四棱錐中，，，，．（1）證明：平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：為，，所以，所以.又，且，平面，平面，所以平面.（2）解：因?yàn)?，，則，且，可知，在平面內(nèi)過點(diǎn)A作軸垂直于，又由（1）知平面，分別以，所在直線為，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，.因?yàn)?，則，可得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.王老師每天早上7：00準(zhǔn)時(shí)從家里出發(fā)去學(xué)校，他每天只會(huì)從地鐵與汽車這兩種交通工具之間選擇一個(gè)乘坐.王老師多年積累的數(shù)據(jù)表明，他到達(dá)學(xué)校的時(shí)間在兩種交通工具下的概率分布如下表所示：到校時(shí)間7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地鐵0.10.150.350.20.150.05乘汽車0.250.30.20.10.1005（例如：表格中0.35的含義是如果王老師當(dāng)天乘地鐵去學(xué)校，則他到校時(shí)間在7：35-7：40的概率為0.35.）（1）某天早上王老師通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學(xué)校，若正面向上則坐地鐵，反面向上則坐汽車.求他當(dāng)天7：40-7：45到校的概率；（2）已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校，從第二天開始，若前一天到校時(shí)間早于7：40，則當(dāng)天他會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校，否則當(dāng)天他將乘坐汽車去學(xué)校.且若他連續(xù)10天乘坐地鐵，則不論他前一天到校的時(shí)間是否早于7：40，第11天他都將坐汽車到校.記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽車去學(xué)校前坐地鐵的次數(shù)為，求；（3）已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校.從第二天開始，若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時(shí)間早于7：40，則當(dāng)天他會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校；若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時(shí)間晚于7：40，則當(dāng)天他會(huì)乘坐汽車去學(xué)校；若他前一天乘坐汽車去學(xué)校，則不論他前一天到校的時(shí)間是否早于7：40，當(dāng)天他都會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校.記為王老師第天坐地鐵去學(xué)校的概率，求的通項(xiàng)公式.解：（1）記事件“硬幣正面向上”，事件“7：40-7：45到校”則由題有，，，故.（2）可取1，2，3，…，9，10，由題：對(duì)于，；，故，，以上兩式相減得：，故.所以.（3）由題意：，，則，這說明為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.故，所以.18.已知（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程，（2）當(dāng)時(shí)，判斷是否存在極值，并說明理由；（3），求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）解：當(dāng)時(shí)，，可得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）解：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，可得，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，在上遞增，所以，又由，存在使得，存在使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以時(shí)，有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值.（3）解：由，可得，由，因?yàn)椋傻?，令，則在上遞減，當(dāng)時(shí)，可得，則，所以，則，又因?yàn)?，使得，即且?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以在遞增，在遞減，所以，由，可得，由，可得，即，由，可得，所以，因?yàn)?，設(shè)，則，可知在上遞增，且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程，并說明軌跡的形狀；（2）設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動(dòng)點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求證：的值及的周長均為定值；②當(dāng)時(shí)，記的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）解：設(shè)點(diǎn)，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．（2）①證明：設(shè)點(diǎn)，其中且，由（1）可知的方程為，因?yàn)?，所以，因此，三點(diǎn)共線，且，（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，則，由（1）可知，所以，所以為定值1