湖南省常德市2024屆高三下學(xué)期3月模擬考試數(shù)學(xué)試題 （解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省常德市2024屆高三下學(xué)期3月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，解得或，所以集合或，所以，故選：C.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由等差數(shù)列可知，，，解得，，所以.故選：D.3.已知奇函數(shù)是定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在R上單調(diào)遞增B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)在R上單調(diào)遞增D.函數(shù)在上單調(diào)遞增〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上也為單調(diào)遞增函數(shù)，對(duì)于A：不妨令，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：不妨令，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，其定義域?yàn)椋?，所以是奇函?shù)，取，則，，故所以，則函數(shù)在為遞增函數(shù)；所以函數(shù)在也為遞增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D：不妨令，，由反比例函數(shù)的單調(diào)性可知在和上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；故選：C.4.如圖，現(xiàn)有棱長(zhǎng)為6cm的正方體玉石缺失了一個(gè)角，缺失部分為正三棱錐，且分別為棱靠近的四等分點(diǎn)，若將該玉石打磨成一個(gè)球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，而，由，得，解得，棱長(zhǎng)為6正方體的正方體的內(nèi)切球的半徑為，棱長(zhǎng)為6的正方體體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，因?yàn)椋运笄蛐误w積最大時(shí)即為棱長(zhǎng)為6的正方體的正方體的內(nèi)切球，則該球形飾品的體積的最大值為.故選：B.5.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，又，所以，所以，故選：A.6.已知平面向量均為單位向量，且?jiàn)A角為，若向量與共面，且滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，因?yàn)?，又，即，解得，所以，所以，故選：B7.已知，則=（）A.9 B.10 C.18 D.19〖答案〗D〖解析〗由得，分別對(duì)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)得，令，得，得，故選：D8.設(shè)有甲、乙兩箱數(shù)量相同的產(chǎn)品，甲箱中產(chǎn)品的合格率為90%，乙箱中產(chǎn)品的合格率為80%.從兩箱產(chǎn)品中任取一件，經(jīng)檢驗(yàn)不合格，放回原箱后在該箱中再隨機(jī)取一件產(chǎn)品，則該件產(chǎn)品合格的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)事件表示任選一件產(chǎn)品，來(lái)自于甲箱，事件表示任選一件產(chǎn)品，來(lái)自于乙箱，事件從兩箱產(chǎn)品中任取一件，恰好不合格，又，經(jīng)檢驗(yàn)不合格，放回原箱后在該箱中再隨機(jī)取一件產(chǎn)品，則該件產(chǎn)品合格的概率為.故選：A.二、選擇題9.下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)據(jù)6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位數(shù)(75%分位數(shù))為7B.樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)滿足，則兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同C.若隨機(jī)事件，滿足：，則，相互獨(dú)立D.若，且函數(shù)為偶函數(shù)，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)A：將數(shù)據(jù)從小到大重新排列后為：2、3、4、5、6、7、8、9，，則其上四分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故B正確；對(duì)C：，即，故，相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)D：由為偶函數(shù)，則，又由對(duì)稱性知，故，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，下列說(shuō)法正確的是（）A.以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)B.C.若直線的斜率存在，則斜率為D.若，則〖答案〗ABC〖解析〗由題意可知直線斜率不為，設(shè)，，，聯(lián)立得，則，，，，因?yàn)?，所以，以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，A說(shuō)法正確；，B說(shuō)法正確；因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以，若直線的斜率存在，則，直線的斜率，C說(shuō)法正確；若，則，由拋物線的定義可得，D說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：ABC11.若函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗令得，令得，在同一直角坐標(biāo)系中作出，，，，，的函數(shù)圖象，、、在上分別遞增、遞減、遞減，且在上遞減速率，先慢后快，先快后慢，由，且，，所以，所以，故不正確；由，故，由，故，因?yàn)樯虾瘮?shù)，關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，又，所以，故正確；由，所以，故正確；由，所以，由，得，又，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以，所以，故正確.故選：.三、填空題12.已知曲線在處的切線與圓相交于、兩點(diǎn)，則____________．〖答案〗〖解析〗由，定義域?yàn)?，，則切線斜率，又，所以切線方程為：，化簡(jiǎn)為：；又因?yàn)閳A的圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則，則.故〖答案〗為：13.若復(fù)數(shù)滿足：，則________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，故，故所以即，故〖答案〗為：2.14.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線的另一交點(diǎn)為，若為等腰三角形，且的面積是的面積的2倍，則雙曲線C的離心率為_(kāi)________.〖答案〗或〖解析〗設(shè)，，由雙曲線的定義可得，，由的面積是的面積的2倍，可得，又為等腰三角形，可得，或，當(dāng)，即，可得，，，，在中，，在中，，化為，即；當(dāng)，即，可得，，，，在中，，在中，，化為，即．故〖答案〗為：或．四、解答題15.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，，成等差數(shù)列，且的面積為，求的周長(zhǎng)．解：，由正弦定理可得：.由余弦定理可得：.又因?yàn)?，所?（2由,,成等差數(shù)列可得：①.因?yàn)槿切蔚拿娣e為，，，即②.由(1)知：③由①②③解得：.，故三角形的周長(zhǎng)為15.16.某市組織宣傳小分隊(duì)進(jìn)行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊(duì)記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表：時(shí)間（天）123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310（1）從這9天的數(shù)據(jù)中任選4天的數(shù)據(jù)，以表示4天中每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）由于統(tǒng)計(jì)人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)的線性回歸方程.（參考數(shù)據(jù)：，附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：）.解：（1）每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)為3天，則的所有可能取值為，，，，，故的分布列為0123.（2）設(shè)原來(lái)數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，去掉第5天的數(shù)據(jù)后樣本中心點(diǎn)為，，，故，，所以.17.如圖，在四棱錐中，平面平面,,，，.（1）證明：平面；（2）已知三棱錐的體積為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：方法一：取AD的中點(diǎn)O，，.又平面平面，平面平面=，平面.又平面，.，，，，，.又，平面，平面.方法二：，，，，，.又平面平面，平面平面，平面，平面.（2）解：，.取PB的中點(diǎn)M，又為的中點(diǎn)，，又，，平面即為平面，為平面與平面的交線.取AB的中點(diǎn)Q，連結(jié)OQ，由（1）可知，OA、OP、OQ兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，.設(shè)直線與平面夾角為，，則，故直線與平面夾角的正弦值.18.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：的上、下頂點(diǎn)為A、B，橢圓上的點(diǎn)P位于第二象限，直線PA、PB、PO的斜率分別為，且.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)原點(diǎn)O分別作直線PA、PB的平行線與橢圓相交，得到四個(gè)交點(diǎn)，將這四個(gè)交點(diǎn)依次連接構(gòu)成一個(gè)四邊形，則此四邊形的面積是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；否則，請(qǐng)求出其取值范圍.解：（1）由題意可得，設(shè)，則，∵，∴，化簡(jiǎn)得：①，又在橢圓上，②，由①②得，又，∴，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的平行線與橢圓相交于點(diǎn)、（在上方），直線的平行線與橢圓相交于點(diǎn)、（在上方），∴直線方程為，直線的方程為，又，∴，聯(lián)立，解得，∴，聯(lián)立，解得，∴，設(shè)直線EF的傾斜角為，直線GH的傾斜角為，，∴，則，，∴四邊形面積為：，故該四邊形的面積為定值.19.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明；（2）函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.①證明：；②問(wèn)是否存在使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）解：，設(shè)，又，當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，，在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，在上有唯一零點(diǎn).綜上，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)且在零點(diǎn)左右函數(shù)符號(hào)發(fā)生改變，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn).（2）①證