江蘇省無錫市四校2022-2023學年高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市四校2022-2023學年高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題，每小題只有一個正確選項，每題5分，共40分.）1.已知復數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.2.一個水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（）A. B. C.8 D.〖答案〗D〖解析〗還原直觀圖為原圖形如圖所示，因為，所以，還原回原圖形后，，；所以原圖形的面積為．故選：D.3.一質(zhì)點在力，的共同作用下，由點移動到，則，的合力對該質(zhì)點所做的功為（）A.16 B. C.110 D.〖答案〗A〖解析〗由題意得：，，則合力對該質(zhì)點所做的功為.故選：A.4.在中，，則一定是（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形〖答案〗C〖解析〗，，即，一定是直角三角形.故選：C.5.中國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”，如圖（1）（2），劉徽未能求得牟合方蓋的體積，直言“欲陋形措意，懼失正理”，不得不說“敢不闕疑，以俟能言者”.約200年后，祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”，后世稱為祖暅原理，即：兩等高立體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立體體積相等.如圖（3）（4），祖暅利用八分之一正方體去掉八分之一牟合方蓋后的幾何體與長寬高皆為八分之一正方體的邊長的倒四棱錐“等冪等積”，計算出牟合方蓋的體積，據(jù)此可知，牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設正方體邊長為，因為，，所以.故選：B．6.已知，，則的值為（）A.0 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由于，所以，所以，由化簡得，兩邊平方得，即，解得（負根舍去），由于，所以.故選：A.7.設、、、為平面直角坐標系中兩兩不同的點，若，，且，則稱點、和諧分割點、.已知平面上兩兩不同的點A、B、C、D，若C、D和諧分割點A、B.則下面說法正確的是（）A.點C可能是線段AB的中點B.點可能是靠近點A的線段AB的三等分點C.點C、D可能同時在線段AB上D.點C、D可能同時在線段AB的延長線上〖答案〗C〖解析〗由已知不妨設，則，因為C、D和諧分割點A、B，所以，所以，代入得，（*）若C是線段AB的中點，則，代入(?)得，，此時兩點重合，與題意矛盾，故A錯誤；若是靠近點A的線段AB的三等分點，則，代入(?)得，，此時兩點重合，與題意矛盾，故B錯誤；若C，D同時在線段AB上，則，則，當時，，此時符合題意，所以點C、D可能同時在線段AB上，故C正確；若C，D同時在線段AB的延長線上時，則，則，所以，這與矛盾，所以不可能同時在線段的延長線上，故D錯誤.故選：C.8.已知的內(nèi)角A，B，C滿足，的面積S滿足，記a，b，c分別為A，B，C所對的邊，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，則，即，故，，即，，整理得到，設外接圓的半徑為，由正弦定理可得：，，故，即，，故，即，，則，對選項A：，即，但不一定正確；對選項B：，即，正確；對選項C：，不一定正確；對選項D：，不一定正確.故選：B.二、多選題（本大題共4小題，每小題有多個正確選項，錯選得0分，漏選得2分，每題5分，共20分.）9.下列結(jié)論正確的是（）A.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線BD1與B1C是異面直線B.不共面的四點可以確定4個平面C.圓錐的側(cè)面展開圖是個半圓，則圓錐的母線是底面半徑的2倍D.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱〖答案〗ABC〖解析〗對于A，正方體中，∵平面，平面，，∴由異面直線判定定理得與是異面直線，故A正確；對于B，不共面的四個點中每三個點都不共線，則任意三個點都可確定一個平面，共可以確定四個平面，故B正確；對于C，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得，則，正確；對于D，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，錯誤.故選：ABC.10.在復平面內(nèi)，下列說法正確的是（）A.若復數(shù)z滿足，則B.若復數(shù)、滿足，則C.若，且，則D.若，則的最大值為〖答案〗AD〖解析〗對于A選項，因為，則，得，故A正確；對于B選項，當，時，不滿足，排除B選項；對于C選項，設，，，則，那么，，那么，由于，但，排除C選項；對于D選項，若，如圖：的幾何意義為圓上的動點到定點的距離，則的最大值為.故選：AD.11.下列選項中正確的是（）A.設向量，，若，共線，則B.已知點，向量，點是線段的三等分點，則點的坐標是C.若，，則在方向上的投影向量的坐標為D.若平面向量，滿足，則的最大值是5〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由共線，則，解得，故A正確；對于B，由向量，，則，設，則，由是線段的三等分點，則或，可得或，解得或，故B錯誤；對于C，設與的夾角為，在方向上的投影向量，其坐標為，故C正確；對于D，，設與的夾角為，由，則，當時，取得最大值為，故D正確.故選：ACD.12.下列結(jié)論正確的是（）A.若，∠ABC為銳角，則實數(shù)m的取值范圍是B.點O在△ABC所在的平面內(nèi)，若，則點O為△ABC的重心C.點O在△ABC所在的平面內(nèi)，若，，分別表示△AOC，△ABC的面積，則D.點O在△ABC所在的平面內(nèi)，滿足且，則點O是且△ABC的外心〖答案〗BC〖解析〗對于A，由，得，因為∠ABC為銳角，故且不共線，所以，解得且，故A錯誤；對于B，設邊上的中點為，則，因為，所以，所以，又點為公共端點，所以三點共線，即點在邊的中線上，同理可得點也在兩邊的中線上，所以點O為△ABC的重心，故B正確；對于C，因為，所以，如圖，設的中點為，的中點為，則，所以，又點為公共端點，所以三點共線，且，所以，又，所以，即，故C正確；對于D，由，可得，即，又因，所以，所以是的角平分線，由，可得，即，又，所以，所以是的角平分線，所以點O是且△ABC的內(nèi)心，故D錯誤.故選：BC.三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.）13.已知是關于x的方程的一個根，其中p，，則p＋q＝______．〖答案〗19〖解析〗因為是關于x的方程的一個根，所以是方程的另一個根，所以，解得，所以.故〖答案〗為：19.14.某校研究性學習小組想要測量某塔的高度，現(xiàn)選取與塔底在同一個水平面內(nèi)的兩個測量基點A與，現(xiàn)測得，，米，在點A處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高為_________米．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可知，在中，，可得；利用正弦定理可得，即；又在點A處測得塔頂?shù)难鼋菫?，即，所以，即塔高為?故〖答案〗為：.15.已知正四棱臺中，，若該四棱臺的體積為，則這個四棱臺的表面積為__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示：設分別為底面的中心，分別為的中點，且有，設正四棱臺的上底面面積、下底面面積、側(cè)面積分別為、、，由，即得，，所以，，又及，所以有，解得，由勾股定理可得斜高，所以，從而.故〖答案〗為：.16.在平面內(nèi)，定點，滿足，且，則__________；平面內(nèi)的動點滿足，，則的最大值是__________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，兩邊平方得：，即，解得：，因為，所以，因為，所以；可得到△ABC等邊三角形，且邊長為，如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，垂直AB為y軸建立平面直角坐標系，，，因為，所以設，，由可得：是線段PC的中點，則，則，當時，取得最大值，最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，作答各題時須有必要的計算和推理過程，共70分.）17.根據(jù)要求完成下列問題：（1）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，，求；（2）復數(shù)為純虛數(shù)，求實數(shù)的值．解：（1）由復數(shù)名在復平面內(nèi)對應點在第四象限，可得，又由，可得，解得，所以，所以復數(shù).（2）因為復數(shù)為純虛數(shù)，則，解得，即求實數(shù)的值為.18.已知向量滿足，，且.（1）若，求實數(shù)的值；（2）求與的夾角的余弦值.解：（1）因為，所以，即，解得，若，則，即，即，解得.（2）因為，又，所以，即與的夾角的余弦值為.19.從①；②；③的外接圓的半徑為2且，這三個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并解答.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，__________.（1）求角的大小；（2）若，求的面積.注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.解：（1）選①：因為，所以，即，因為，所以，即，即，解得，因為，所以；選②：因為，在中，將正弦定理代入化簡可得：，即，即，在中，由余弦定理可得：，因為，所以；選③：因為的外接圓的半徑為2且，在中，由正弦定理可得：，解得，因為，所以，所以.（2）由（1）知，，，在中，由余弦定理可得：，即，解得，即，所以，所以.20.如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，其高為，底面三角形的邊長分別為，，.（1）以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個圓柱，求剩余部分幾何體的體積；（2）求該三棱柱的外接球的表面積與內(nèi)切球的體積.解：（1）因為底面三角形的邊長分別為，，，由勾股定理逆定理可知：底面三角形為直角三角形，兩直角邊分別為，，又因為三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，其高為，所以設圓柱底面圓的半徑為，則，圓柱體積所以剩下的幾何體的體積（2）由（1）可知該直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，則內(nèi)切球球的體積直三棱柱可補形為棱長分別為的長方體，它的外接球的球半徑滿足，即所以，該直三棱柱的外接球的表面積為.21.如圖所示，在中，在線段BC上，滿足，是線段的中點．（1）延長交于點Q（圖1），求的值；（2）過點的直線與邊，分別交于點E，F(xiàn)（圖2），設，．（i）求證為定值；（ii）設的面積為，的面積為，求的最小值．解：（1）依題意，因為，所以，因為是線段的中點，所以，設，則有，因為三點共線，所以，解得，即，所以，所以.（2）（i）根據(jù)題意，同理可得：，由（1）可知，，所以，因為三點共線，所以，化簡得，即為定值，且定值為3.（ii）根據(jù)題意，，，所以，由（i）可知，則，所以，易知，當時，有最小值，此時.22.如圖，某公園改建一個三角形池塘，，百米，百米，現(xiàn)準備養(yǎng)一批觀賞魚供游客觀賞.（1）若在內(nèi)部取一點P，建造連廊供游客觀賞，方案一如圖①，使得點P是等腰三角形PBC的頂點，且，求連廊的長（單位為百米）；（2）若分別在AB，BC，CA上取點D，E，F(xiàn)，并建造連廊，使得變成池中池，放養(yǎng)更名貴的魚類供游客觀賞：方案二如圖②，使得為正三角