上海市奉賢區(qū)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市奉賢區(qū)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、填空題1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則____________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.2.不等式的解集為______．〖答案〗〖解析〗由得，解得，故不等式的解集為.故〖答案〗為：.3.拋物線上一點到點的距離最小值為____________．〖答案〗1〖解析〗設(shè)拋物線上一點，則點到點的距離為，因,則，故當(dāng)時，拋物線上任一點到點的距離最小值為1.故〖答案〗為：1.4.已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為____________．〖答案〗〖解析〗因為圓錐的底面半徑為，母線長為，所以圓錐的側(cè)面積為，故〖答案〗為：5.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且,則____________．〖答案〗．〖解析〗因為，所以，因此．故〖答案〗為：．6.已知，且，則____________．〖答案〗〖解析〗已知，由倍角公式得，由，，解得，則.故〖答案〗為：.7.某商品的成本與產(chǎn)量之間滿足關(guān)系式，定義平均成本，其中，假設(shè)，當(dāng)產(chǎn)量等于____________時，平均成本最少.〖答案〗〖解析〗由題知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故〖答案〗為：.8.已知向量，，則在方向上的投影向量為____________．〖答案〗〖解析〗在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：.9.已知多項式對一切實數(shù)恒成立，則____________.〖答案〗〖解析〗令可得，又展開式的通項為，令可得；令，可得，所以，所以，故〖答案〗為：1.10.學(xué)生到工廠勞動實踐，利用打印技術(shù)制作模型，如圖所示.該模型為長方體中挖去一個四棱錐，其中為長方體的中心，，，，分別為所在棱的中點，，，打印所用原料密度為.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為____________.〖答案〗〖解析〗易知四棱錐的底面積，高為，所以四棱錐的體積為，長方體為，因此該模型的體積為，所以該模型所需原料的質(zhì)量為.故〖答案〗為：.11.點是棱長為1的正方體棱上一點，則滿足的點的個數(shù)為____________．〖答案〗〖解析〗因為正方體的棱長為1，所以，又，所以點是以為焦距，以為長半軸，以為短半軸的橢球上的一點，且焦點分別為，所以點是橢球與正方體棱的交點，在以為頂點的棱上，所以共有6個，故〖答案〗為：6.12.函數(shù)的圖像記為曲線F，如圖所示.A，B，C是曲線與坐標(biāo)軸相交的三個點，直線BC與曲線的圖像交于點，若直線的斜率為，直線的斜率為，，則直線的斜率為____________.(用，表示)〖答案〗〖解析〗由題意，，則，，，由得，則，，，，所以，又，所以，故〖答案〗為：．二、填空題13.設(shè)某大學(xué)女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點的中心（，）C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg〖答案〗D〖解析〗根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤．故選D．14.已知函數(shù)，其中，，其中，則圖象如圖所示的函數(shù)可能是（）．A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗易知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，給出的函數(shù)圖象對應(yīng)的是奇函數(shù)，A.，定義域為R，又，所以是奇函數(shù)，符合題意，故正確；B.，，不符合圖象，故錯誤；C.，定義域為R，但，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；D.，定義域為R，但，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤，故選：A15.有個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字，，，，，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是”，則（）A.甲與乙相互獨立 B.乙與丙相互獨立C.甲與丙相互獨立 D.乙與丁相互獨立〖答案〗A〖解析〗由題意得，甲，乙，丙，丁.對于A，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲與乙相互獨立，故A正確；對于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙與丙不是相互獨立，故B不正確；對于C，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲與丙不是相互獨立，故C不正確；對于D，乙丁，所以乙丁乙丁，所以乙與丁不是相互獨立故D不正確.故選：A.16.如圖，在等腰梯形中，∥，，，.點是線段上一點，點在線段上，.命題①：若，則隨著的增大而減少.命題②：設(shè)，若存在線段把梯形的面積分成上下相等的兩個部分，那么，隨著的增大而減少.則下列選項正確的是（）A.命題①不正確，命題②正確 B.命題①，命題②都不正確C.命題①正確，命題②不正確 D.命題①，命題②都正確〖答案〗A〖解析〗命題①錯誤，理由如下：的大小等價于在上的投影，由圖可知，投影是不斷增加的；命題②正確，理由如下：設(shè)因為，做，垂足為，所以，所以，，，，又，所以化簡得到，求導(dǎo)可得恒成立，所以隨著的增大而減少，故②正確；故選：A.三、解答題17.已知是公差的等差數(shù)列，其前項和為，是公比為實數(shù)的等比數(shù)列，，．（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，計算．解：（1）∵，且，∴，∴．∵，且，∴，∴，∴．（2）由題可知，，等比數(shù)列求和，首項為，公比，∴．18.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級1（優(yōu)）318252（良）6143（輕度污染）5564（中度污染）630（1）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）若某天的空氣質(zhì)量等級為或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)判斷：一天中到該公園鍛煉的人次是否與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？（規(guī)定顯著性水平）人次≤400人次>400總計空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好總計附：，.解：（1）由題知，一天中到該公園鍛煉的平均人次約為：，即一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為.（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，計算出，則完成列聯(lián)表為：人次≤400人次>400總計空氣質(zhì)量好363975空氣質(zhì)量不好19625總計5545100假設(shè)一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量無關(guān).，由可得，原假設(shè)不成立，即一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).19.如圖是由兩個三角形組成的圖形，其中,，，．將三角形沿折起，使得平面平面，如圖．設(shè)是的中點，是的中點．（1）求直線與平面所成角的大小；（2）連接，設(shè)平面與平面的交線為直線，判別與的位置關(guān)系，并說明理由．解：（1）過作于，連接，∵平面平面，且平面平面，，∴平面，∴為直線與平面所成角．∵，不妨設(shè)，在中，由正弦定理得．易知，，∴在中，，，∴直線與平面所成角的大小為．（2）∵是的中點，是的中點，∴DO∥PC；又∵，，∴DO∥平面PBC；又∵平面平面，∴∥，∴∥．20.已知曲線，是坐標(biāo)原點，過點的直線與曲線交于，兩點.（1）當(dāng)與軸垂直時，求的面積；（2）過圓上任意一點作直線，，分別與曲線切于，兩點，求證：；（3）過點的直線與雙曲線交于，兩點（，不與軸重合）.記直線的斜率為，直線斜率為，當(dāng)時，求證：與都是定值.（1）解：由題可知，直線為，代入橢圓方程，解得，所以.（2）證明：設(shè)，當(dāng)時，，不妨取，，，則，，所以，即成立；當(dāng)時，設(shè)，的斜率分別為，直線，由，因為直線與橢圓相切，所以，即，化簡可得，化為關(guān)于的一元二次方程為，所以.因為在圓上，所以，代入上式可得，綜上可得.（3）證明：設(shè)、、、，直線、的斜率分別為、，設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立得，則，，，由得，即，計算分子部分：，所以，設(shè)直線，與雙曲線聯(lián)立得，則，，，，所以，計算分子部分，所以，綜上可得、均為定值.21.已知定義域為的函數(shù)，其圖象是連續(xù)的曲線，且存在定義域也為的導(dǎo)函數(shù).（1）求函數(shù)在點的切線方程；（2）已知，當(dāng)與滿足什么條