福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng).）1.復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗，實(shí)部為.故選：B.2.若向量，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)橄蛄浚?，所?故選：C.3.有一個(gè)水平放置的多邊形斜二測(cè)直觀(guān)圖是直角梯形（如圖所示），，，，，則原多邊形面積為（）A. B. C.6 D.12〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，可得直觀(guān)圖的梯形中，，可得，由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，可得原多邊形為直角梯形，則，所以原圖形的面積為.故選：B.4.已知，，且與的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，且與的夾角為，所以，所以在上的投影向量為.故選：A.5.設(shè)向量與的夾角為，定義與的“向量積”：是一個(gè)向量，它的模，若，則（）A.5 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，且，可得，因?yàn)?，可得，所?故選：A.6.“今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤兩百丈．”這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷第五“商功”中的問(wèn)題．意思為“現(xiàn)有城（如圖，等腰梯形的直棱柱體），下底長(zhǎng)4丈，上底長(zhǎng)2丈，高5丈，縱長(zhǎng)200丈（1丈＝10尺）”，則該問(wèn)題中“城”的體積等于（）A.立方尺 B.立方尺 C.立方尺 D.立方尺〖答案〗D〖解析〗依題意，該柱體的體積為立方尺.故選：D.7.如圖所示，為了測(cè)量處島嶼的距離，小明在D處觀(guān)測(cè)，分別在D處的北偏西15°，北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀(guān)測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗B〖解析〗在三角形中，，，由正弦定理得，，在三角形中，，所以，所以，由余弦定理得海里.故選：B.8.已知正六棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為正六棱錐外接球上一點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得正六棱錐的高為，設(shè)正六棱錐的外接球的球心到底面的距離為，設(shè)外接球半徑為，則，，解得，設(shè)外接球的球心為，則即為正六邊形的中心，連接，過(guò)作交于，過(guò)作交于，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，所以平面，即為球心到平面的距離，因?yàn)?，，所以在中由等面積法可得，解得，因此點(diǎn)到平面的最大距離為，因?yàn)椋匀忮F體積的最大值為.故選：B.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分．每小題有多項(xiàng)符合題目要求.）9.下列命題中，真命題有（）A.若復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，則且B.若復(fù)數(shù)，則C.若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限D(zhuǎn).已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線(xiàn)〖答案〗BD〖解析〗當(dāng)，時(shí)，且，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；設(shè)，則，可得，故選項(xiàng)B正確；，則，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，且，，表示到點(diǎn)距離，表示到點(diǎn)距離，又，則，所以點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為直線(xiàn)，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.10.下列說(shuō)法中正確的是（）A.已知兩直線(xiàn)平行于平面，那么直線(xiàn)一定平行B.若直線(xiàn)平行，直線(xiàn)在平面內(nèi)，則直線(xiàn)平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)C.若直線(xiàn)不平行于平面，則平面內(nèi)的所有直線(xiàn)均與a異面D.若直線(xiàn)與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線(xiàn)在平面內(nèi)〖答案〗BD〖解析〗A選項(xiàng)，直線(xiàn)平行于平面，可能平行、異面、相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于，所以在內(nèi)與平行的直線(xiàn)（異于），都與平行，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，若直線(xiàn)不平行于平面，如，則內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，根據(jù)平面的性質(zhì)可知，如果一條直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD.11.若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，，，則有兩組解B.在中，已知，則是等腰或直角三角形C.若，則D.若為銳角三角形，且，，則面積的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，由正弦定理得，則，或，同時(shí)，所以三角形有兩組解，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，依題意，則為銳角，由正弦定理得，，所以，，則或，所以或，所以三角形等腰或直角三角形，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如，，滿(mǎn)足，但，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由正弦定理得，由于三角形是銳角三角形，所以，解得，所以，即，由三角形的面積公式得，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD.12.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，，F(xiàn)為邊AB的中點(diǎn)．若E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)E為邊CD的中點(diǎn)時(shí)， B.C.三角形EAB面積的最小值為 D.的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗F為邊中點(diǎn)．若E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，，，，，，故選項(xiàng)A正確；連接，由，可得，又，可得，則，所以直角三角形中，當(dāng)與重合時(shí)，在三角形DAF中由余弦定理可得，，此時(shí)，，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)在位置時(shí)點(diǎn)到直線(xiàn)距離最短，此時(shí)三角形EAB面積取得最小值，，故選項(xiàng)C正確；，當(dāng)時(shí)最小，此時(shí)過(guò)作，垂足為，在直角三角形中由于，所以，可得，所以的最小值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分.）13.設(shè)向量，不平行，，，，若三點(diǎn)共線(xiàn)，則______．〖答案〗〖解析〗，，由于三點(diǎn)共線(xiàn)，所以存在使，即，所以，解得.故〖答案〗為：.14.已知一個(gè)正三棱錐的側(cè)棱為，其底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則此正三棱錐的高為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗如下圖所示正三棱錐，三角形是等邊三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是的中心，設(shè)為，則平面，設(shè)是的中點(diǎn)，則三點(diǎn)共線(xiàn)，且，由于平面，所以，，所以.故〖答案〗為：.15.如圖，在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線(xiàn)AM，BN相交于點(diǎn)P，則的余弦值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗依題意，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，過(guò)作的垂線(xiàn)為軸，如圖所示，因?yàn)?，，，所以，則，，即為向量與的夾角，，，，.故〖答案〗為：.16.如圖，設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，且，若是外一點(diǎn)，，，則當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理得，可得，又因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)?，可得，所以，所以，又因?yàn)椋?，在直角中，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，因?yàn)椋肷鲜娇傻?，所以，所以四邊形的面積為，（其中），所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最大值，此時(shí)，所以.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知復(fù)數(shù)，．（1）當(dāng)m取何值時(shí)，z為純虛數(shù)？（2）當(dāng)時(shí)，求的值．解：（1）若為純虛數(shù)，則，解得.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，所以.18.如圖所示，在四邊形ABCD中，，，，，E為AB的中點(diǎn)，連接DE．（1）將四邊形ABCD繞著線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的封閉幾何體的表面積和體積；（2）將繞著線(xiàn)段AE所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體W，若球O是幾何體W的內(nèi)切球，求球O的表面積．解：（1）依題意，，，所以四邊形是直角梯形，，將四邊形ABCD繞著線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體如圖所示，幾何體上半部分是圓錐，下半部分是圓柱，表面積為，體積為.（2）將繞著線(xiàn)段AE所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體W，是圓錐，如圖所示，設(shè)的內(nèi)切圓半徑，也即圓錐W的內(nèi)切球的半徑為，，則，解得，所以?xún)?nèi)切球的表面積為.19.如圖所示，平行四邊形中，，，分別是的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的一點(diǎn)，且．（1）以為基底表示向量與；（2）若，，與的夾角，求．解：（1）；.（2），，與的夾角，，.20.已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且滿(mǎn)足．（1）求角的值；（2）若角的角平分線(xiàn)交于，且，邊上的中線(xiàn)交于點(diǎn)，且，求的面積．解：（1）在中，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，可得，即，又由余弦定理可得，可得，即，因，所?（2）因?yàn)闉榻堑慕瞧椒志€(xiàn)，所以，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)闉橹芯€(xiàn)，所以，即，即，所以，，所以的面積為.21.已知在中，，，，.（1）求的取值范圍；（2）若線(xiàn)段BE上一點(diǎn)D滿(mǎn)足，求的最小值.解：（1）因?yàn)樵谥?，，，，，所以，?dāng)時(shí)，則取得最小值為，當(dāng)時(shí)，則取得最大值，所以，所以取值范圍為.（2）因?yàn)榍?，，所以，又，所以，因?yàn)锽、E、D三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.22.對(duì)于任意平面向量，則繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到的向量為，已知