上海市黃浦區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市黃浦區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、填空題1.若集合，，則_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榧?，，則.故〖答案〗為：.2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是_________________.〖答案〗2〖解析〗焦點(diǎn)（1，0），準(zhǔn)線方程，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.3.若，，其中，則_________.〖答案〗3〖解析〗，故〖答案〗為：4.若一個(gè)圓柱的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為3，則此圓柱的側(cè)面積為_________.〖答案〗〖解析〗將圓柱的側(cè)面展開為矩形，其中矩形的一邊為3，另一邊為，故側(cè)面積為.故〖答案〗為：5.若的展開式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)_________.〖答案〗〖解析〗通項(xiàng)公式為，令，解得，故，解得.故〖答案〗為：6.在中，，，，則_________.〖答案〗〖解析〗在中，根據(jù)余弦定理可得：，設(shè)，則，整理可得，解得，故.故〖答案〗為：.7.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榍?，所以，則.故〖答案〗為：8.若實(shí)系數(shù)一元二次方程有一個(gè)虛數(shù)根的模為4，則的取值范圍是_________.〖答案〗〖解析〗設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根為和，則.所以.由.故〖答案〗為：9.某校高三年級(jí)舉行演講比賽，共有5名選手參加.若這5名選手甲、乙、丙、丁、戊通過抽簽來決定上場(chǎng)順序，則甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的概率為_________.〖答案〗〖解析〗由題意，若甲第一個(gè)上場(chǎng)，乙則可以第3,4,5個(gè)上場(chǎng)，有種，若甲第二個(gè)上場(chǎng)，乙則可以第4,5個(gè)上場(chǎng)，有種，若甲第三個(gè)上場(chǎng)，乙則可以第1,5個(gè)上場(chǎng)，有種，若甲第四個(gè)上場(chǎng)，乙則可以第1,2個(gè)上場(chǎng)，有種，若甲第五個(gè)上場(chǎng)，乙則可以第1,2,3個(gè)上場(chǎng)，有種，共有種，而所有的上場(chǎng)順序有種，∴甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的概率：,故〖答案〗為：.10.已知數(shù)列是給定的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，且當(dāng)與時(shí)，取得最大值，則的值為_________.〖答案〗21〖解析〗不妨設(shè)數(shù)列的公差大于零，由于，得，且時(shí)，，時(shí)，，不妨取，則，設(shè)，若，則，此時(shí)式子取不了最大值；若，則，又時(shí)，，因?yàn)椋藭r(shí)式子取不了最大值；因此這就說明必成立.若，則，這也就說明不成立，因此，所以.故〖答案〗為：.11.如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長(zhǎng)度為_________百米.〖答案〗〖解析〗設(shè)半圓步道直徑為百米，連接，顯然，由點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，得兩個(gè)半圓步道及直道都關(guān)于過點(diǎn)垂直于的直線對(duì)稱，則，又，則∽，有，即有，因此步道長(zhǎng)，，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，所以步道的最大長(zhǎng)度為百米.故〖答案〗為：12.在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為_________.〖答案〗〖解析〗由，，，則；由，，，則；由，，，則；顯然四面體與四面體共頂點(diǎn)且底面共面，則其高相同可設(shè)為，結(jié)合題意可作圖如下：在底面連接，作圖如下：由，即，則，易知；由，即，則，易知；由，即，則；由，，則，易知；，；.故〖答案〗為：.二、選擇題13.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用分層抽樣的方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有500和300名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果的種數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗該校初中部和高中部分別有500和300名學(xué)生，所以初中部應(yīng)抽取名學(xué)生，高中部應(yīng)抽取名學(xué)生，所以不同的抽樣結(jié)果的種數(shù)為.故選：B.14.函數(shù)是（）A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)〖答案〗A〖解析〗，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，周期，所以此函數(shù)最小正周期為的奇函數(shù)，故選：A.15.設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，上式成立；當(dāng)，，明顯函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，令，則在上恒成立，又開口向下，對(duì)稱軸為，所以的最大值為，所以，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.16.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列為“T數(shù)列”.對(duì)于命題：①存在“T數(shù)列”，使得數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列；②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列為“T數(shù)列”.下列判斷正確的是（）A.①和②均為真命題 B.①和②均為假命題C.①真命題，②是假命題 D.①是假命題，②是真命題〖答案〗A〖解析〗對(duì)于命題①，對(duì)于數(shù)列，令，則，數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)，所以對(duì)任意的，都是數(shù)列中的項(xiàng)，故命題①正確；對(duì)于命題②，等差數(shù)列，令，則，則，因且，，且，所以對(duì)任意的，都是數(shù)列中的項(xiàng)，所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列為“T數(shù)列”，故命題②正確；故選：A.三、解答題17.設(shè)，函數(shù).（1）求的值，使得為奇函數(shù)；（2）若，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由為奇函數(shù)，可知，即，解得，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切非零實(shí)數(shù)恒成立，故時(shí)，為奇函數(shù).（2）由，可得，解得，所以解得：，所以滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，點(diǎn)E是棱PD上的一點(diǎn)，平面.（1）求證：點(diǎn)E是棱PD的中點(diǎn)；（2）若平面，，，與平面ABCD所成角的正切值為，求二面角的大小.（1）證明：連接BD，它與AC交于點(diǎn)，連接EF，四邊形ABCD為矩形，為BD的中點(diǎn)，平面AEC，平面PBD經(jīng)過PB且與平面AEC交于，，又點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（2）解：方法一：∵PA⊥平面，平面，且就是PC與平面ABCD所成的角，故，解得.四邊形ABCD為矩形，，又，PA與AD是平面PAD內(nèi)的兩相交直線，平面PAD.在平面PAD內(nèi)作，垂足為，連接GF，則，是二面角的平面角.在直角三角形PAD中，，點(diǎn)是PD的中點(diǎn)，，且，平面平面，，故，所以，故二面角的大小為.方法二：∵PA⊥平面，平面，且就是PC與平面ABCD所成的角，又四邊形ABCD矩形，，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)是平面AEC的一個(gè)法向量，二面角的大小為，由，可得，則，故，解得且，所以，又是平面AED的一個(gè)法向量，且為銳角，故，可得.所以二面角的大小為.19.某社區(qū)隨機(jī)抽取200個(gè)成年市民進(jìn)行安全知識(shí)測(cè)試，將這200人的得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行匯總，得到如下表所示的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并規(guī)定得分60分及以上為合格.組別頻數(shù)926655347（1）該社區(qū)為參加此次測(cè)試的成年市民制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①合格的發(fā)放個(gè)隨機(jī)紅包，不合格的發(fā)放個(gè)隨機(jī)紅包；②每個(gè)隨機(jī)紅包金額(單位：元)的分布為.若從這200個(gè)成年市民中隨機(jī)選取1人，記（單位：元）為此人獲得的隨機(jī)紅包總金額，求的分布及數(shù)學(xué)期望；（2）已知上述抽測(cè)中60歲以下人員的合格率約為56%，該社區(qū)所有成年市民中60歲以下人員占比為70%.假如對(duì)該社區(qū)全體成年市民進(jìn)行上述測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)其中60歲及以上人員的合格率以及成績(jī)合格的成年市民中60歲以下人數(shù)與60歲及以上人數(shù)之比.解：（1）隨機(jī)抽取的200個(gè)成年市民的成績(jī)合格率為，，，，，，所以的分布為，即的數(shù)學(xué)期望為39；（2）設(shè)“從該社區(qū)成年市區(qū)隨機(jī)抽取1人，此人年齡在60歲以下”為事件，“從該社區(qū)成年市民隨機(jī)抽取1人，此人安全知識(shí)合格”為事件，則，，由，可得，所以，所求比值.估計(jì)60歲及以上人員的合格率約為，成績(jī)合格的成年市民中60歲以下人數(shù)與60歲及以上人數(shù)之比約為98:27.20.如圖，已知是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上的橢圓，是以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的等軸雙曲線，點(diǎn)是與的一個(gè)交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在的右支上且異于頂點(diǎn).（1）求與的方程；（2）若直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線的斜率分別為，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，，，求證：且存在常數(shù)使得.解：（1）設(shè)的方程分別為與，由，得，故坐標(biāo)分別為，所以故，故與的方程分別為與.（2）當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，直線的傾斜角都為鈍角，不適合題意；當(dāng)在第一象限時(shí)，由直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，可知，故，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，可知且，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，（3）設(shè)直線的斜率分別為，點(diǎn)P，A，B的坐標(biāo)分別為，則，的方程為，代入可得，故，所以，同理可得，又，故，故，即，所以存在，使得.21.若函數(shù)的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)的圖象的“自公切線”，稱這兩點(diǎn)為函數(shù)的圖象的一對(duì)“同切點(diǎn)”.（1）分別判斷函數(shù)與的圖象是否存在“自公切線”，并說明理由；（2）若，求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖象不存在“自公切線”；（3）設(shè)，的零點(diǎn)為，，求證：“存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)的圖象的一對(duì)‘同切點(diǎn)’”的充要條件是“是數(shù)列中的項(xiàng)”.（1）解：顯然直線切的圖象于點(diǎn)，直線是的圖象的一條“自公切線”，因此函數(shù)的圖象存在“自公切線”；對(duì)于是嚴(yán)格減函數(shù)，則在不同點(diǎn)處的切線斜率不同，所以函數(shù)的圖象不存在“自公切線”.（2）證明：由恒成立，且僅當(dāng)時(shí)，則是上的嚴(yán)格增函數(shù)，可得它至多有一個(gè)零點(diǎn)，令，由的圖象是連續(xù)曲線，且，因此在上存在零點(diǎn)，即在上存在零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)；假設(shè)的圖象存在“自公切線”，則存在且，使得的圖象在與處的切線重合，即，有，不妨設(shè)，切線，，有相同截距，即，而，則，即，則有，即，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此當(dāng)時(shí)，，即在上無解，所以的圖象不存在“自公切線”.（3）證明：對(duì)