浙江省杭州市2024屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市2024屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.函數(shù)的最小正周期是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗的圖象是將的圖象在軸下方的部分對稱翻折上來所得，所以周期是周期的一半，即周期為.2.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確是（）A.若則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.3.已知是兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A30° B.60° C.90° D.120°〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，是兩個單位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量與向量的夾角為，即.故選：B.4.設(shè)甲：“函數(shù)在單調(diào)遞增”，乙：“”，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若“函數(shù)在單調(diào)遞增”，則，由得，則，解得，所以，甲是乙的充分不必要條件.故選：A5.設(shè)數(shù)列滿足．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，則（）A.110 B.120 C.288 D.306〖答案〗A〖解析〗.故選：A.6.將5名志愿者分配到三個社區(qū)協(xié)助開展活動，每個志愿者至少去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少1名，則不同的分配方法數(shù)是（）A.300 B.240 C.150 D.50〖答案〗C〖解析〗先將5名志愿者分成3組，若這三組的人員構(gòu)成為、、，則共有種分組方案，若這三組的人員構(gòu)成為、、，則共有種分組方案，再將這3組志愿者隨機(jī)分配到三個社區(qū)，共有種分配方案，故共有種分配方法.故選：C.7.設(shè)集合，且，函數(shù)（且），則（）A.為增函數(shù) B.為減函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時，，時，在上不是增函數(shù)，故A不正確；當(dāng)時，，時，在上為增函數(shù)，B不正確；當(dāng)時，，，為偶函數(shù)，故C不正確；當(dāng)時，，，為偶函數(shù)，故D正確；故選：D.8.在中，已知．若，則（）A.無解 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗由，即，則，由，知，則，則，又，故，設(shè)，則，有，即，，即該方程無解，故不存在這樣三角形，即無解.故選：A.二、選擇題9.已知關(guān)于的方程的兩根為和，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗關(guān)于的方程，則，，不妨設(shè)，，，故A正確；由韋達(dá)定理可得，故B正確；，故C正確；，，則，當(dāng)時，，此時，故D錯誤．故選：ABC．10.已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)均滿足，則（）A. B.C. D.函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)〖答案〗ACD〖解析〗對于A，令等價于，則，所以，故A正確；對于B，令，則，令，則，解得：，令，，則，故B錯誤；對于C，由知，，所以，故C正確；對于D，令，所以，解得：，令，則，所以，因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故D正確.故選：ACD.11.過點(diǎn)的直線與拋物線C：交于兩點(diǎn)．拋物線在點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則（）A.直線與拋物線C有2個公共點(diǎn)B.直線恒過定點(diǎn)C.點(diǎn)的軌跡方程是D.的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去得，則，對于A：拋物線在點(diǎn)處的切線為，當(dāng)時得，即，所以直線的方程為，整理得，聯(lián)立，消去的，解得，即直線與拋物線C相切，A錯誤；對于B：直線的方程為，整理得，此時直線恒過定點(diǎn)，B正確；對于C：又選項(xiàng)B可得點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，點(diǎn)除外，故點(diǎn)的軌跡方程是，C正確；對于D：，則，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，D錯誤.故選：BC.三、填空題12.寫出與圓相切且方向向量為的一條直線的方程______．〖答案〗或（寫出一個即可）〖解析〗因?yàn)榍芯€的方向向量為，所以切線的斜率為，故可設(shè)切線方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，又圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，所以或，所以與圓相切且方向向量為的直線為或，故〖答案〗為：或（寫出一個即可）.13.函數(shù)的最大值為______．〖答案〗〖解析〗令，則，故，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，故，即函數(shù)的最大值為.故〖答案〗為：.14.機(jī)場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點(diǎn)時，橢圓的離心率等于______．〖答案〗〖解析〗如圖，設(shè),因,故，又,由余弦定理，，即,設(shè)橢圓中心為,作圓錐的軸截面,與底面直徑交于，與橢圓交于，連交于，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系.則,又由得,從而則得,不妨設(shè)橢圓方程為，把和點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，解得，則，故故〖答案〗為：.四、解答題15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，令，求證：．（1）解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為．由，得，解得：，所以．（2）證明：由（1）知，，即，，，……，，利用累乘法可得：，也符合上式，所以．16.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)．（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，恒成立，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，即，解得，，因?yàn)?，所以，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，此時，所以時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可得：當(dāng)時在單調(diào)遞減；當(dāng)時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）（?。┙猓河桑?）可知．（ⅱ）證明：由（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，所以，則，又，又，所以在上沒有零點(diǎn)，又，則，則，，則，所以，所以在上存在一個零點(diǎn)，綜上可得函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)．17.如圖，在多面體中,底面是平行四邊形,為的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）若多面體的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：中，由余弦定理可得，所以，所以，所以．又因?yàn)?，平?所以平面,平面．所以．由于,所以四邊形為平行四邊形，所以．又，所以，所以．（2）解：因?yàn)?，所以，又，平?所以平面．取中點(diǎn)，連接，設(shè)．設(shè)多面體的體積為，則．解得．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．則平面的一個法向量．所以，設(shè)平面的一個法向量，則即?。裕云矫媾c平面夾角的余弦值為．18.已知是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo).（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（與不重合），連接，交于點(diǎn).（?。┳C明：點(diǎn)在定直線上；（ⅱ）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.（1）解：設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，則，因?yàn)?，①若，解得（舍去），②若，解得（舍去）或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)位.（2）（?。┳C明：設(shè)直線，由，得，所以，所以，①由，得或，易知直線的方程為，②直線的方程為，③聯(lián)立②③，消去，得，④聯(lián)立①④，消去，則，解得，即點(diǎn)在直線上；（ⅱ）解：由圖可知，，即，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)，則，所以，即.故直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得，解得,所以，所以,故.19.在概率統(tǒng)計中，常常用頻率估計概率．已知袋中有若干個紅球和白球，有放回地隨機(jī)摸球次，紅球出現(xiàn)次．假設(shè)每次摸出紅球的概率為，根據(jù)頻率估計概率的思想，則每次摸出紅球的概率的估計值為．（1）若袋中這兩種顏色球的個數(shù)之比為，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機(jī)摸取3個球，設(shè)摸出的球?yàn)榧t球的次數(shù)為，則．注：表示當(dāng)每次摸出紅球的概率為時，摸出紅球次數(shù)為的概率）（?。┩瓿上卤?；0123（ⅱ）在統(tǒng)計理論中，把使得的取值達(dá)到最大時的，作為的估計值，記為，請寫出的值．（2）把（1）中“使得的取值達(dá)到最大時的作為的估計值”的思想稱為最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計方法稱為最大似然估計．具體步驟：先對參數(shù)構(gòu)建對數(shù)似然函數(shù)，再對其關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)，得到似然方程，最后求解參數(shù)的估計值．已知的參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)為，其中．求參數(shù)的估計值，并且說明頻率估計概率的合